因式分解培优题

1、培优. 因式分把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下：因式分解的一般方法及考虑顺序：1、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法2、常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法3、考虑顺序：(1)提公因式法；(2)公式法；(3)十字相乘法；(4)分组分解法一、运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1) a2b2=(a+b)(ab)；(2) a2±2ab+b2=(a±b)2；(3) a3+b3=

2、(a+b)(a2ab+b2)；(4) a3b3=(ab)(a2+ab+b2)下面再补充几个常用的公式：(5) a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6) a3+b3+c33abc=(a+b+c)(a2+b2+c2abbcca)；(7) an-bn=(ab)(an1+an2b+an3b2+abn2+bn1),其中n为正整数；(8) an-bn=(a+b)(an1an2b+an3b2+abn2bn1),其中n为偶数;(9) an+bn=(a+b)(an1an2b+an3b2一abn2+bn1),其中n为奇数.运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符

3、号等正确恰当地选择公式例题1分解因式：(1) 2x5n1yn+4x3n1yn+22xn1yn+4；(2) x38y3z36xyz；(3) a2+b2+c22bc+2ca2ab；(4) a7a5b2+a2b5b7例题2分解因式：a3+b3+c33abc.例题3分解因式：x+x+x+x+x+1.对应练习题分解因式:2nn121Xx9y了(2)x10+x52(3)x42x2y24xy34x3yy2(4x2(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2x59(a-b)2+12(a2-b2)+4(a+b)2(6)(a-b)2-4(a-b-1)3(7)(x+y)+2xy(1-x-y)1二、分组分解法（一）分组

4、后能直接提公因式例题1分解因式：amanbmbn分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a,后两项都含有b,因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系.此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提.例题2分解因式：2ax10ay5bybx对应练习题分解因式：1、a2abacbc2、xyxy1（二）分组后能直接运用公式例题3分解因式：x2y2axay例题4分解因式：a22abb2c2对应练习题分解因式：222xyz2yz223、 x x 9y 3y

5、4综合练习题 分解因式：3221)xxyxy222)ax2bx2bxaxab3) x26xy9y216a28a1224) a26ab12b9b24a5) a4 2a3 a2 922226) 4ax4aybxby227) x2xyxzyzy228) a22ab22b2ab19) y(y2)(m1)(m1)10) (ac)(ac)b(b2a)11)a2(bc)b2(ac)c2(ab)2abc43223412)a2ab3ab2abb.13)(axby)2(aybx)2333333314)xyz(xyz)yzzx33xy42215)x2axxaa3216) x3x(a2)x2a17) (x1)3(x3

6、)34(3x5)222- 2 x y 5x y 6x22(6) m 4mn 4n 3m 6n 2三、十字相乘法1、十字相乘法(一)二次项系数为1的二次三项式2直接利用公式x(pq)xpq(xp)(xq)进行分解.特点：(1)二次项系数是1;(2)常数项是两个数的乘积；(3)一次项系数是常数项的两因数的和.例题1分解因式：x25x6例题2分解因式：x27x6对应练习题分解因式:x2 4x 5x214x24(2)a215a36(4) x2 x 2(5)2y 2y 15(6)2x2 10x 24(二)二次项系数不为1二次三项式ax2 bx c条件：(1) a a1a2(2) c GC2(3) b a

7、g a2G分解结果： ax2 bx c = (a1x例题3分解因式：3x2 11xaa2.C1C2b &C2 a2gC1)(a2x C2)10对应练习题分解因式:(1) 5x2 7x 6(2) 3x2 7x 2（三）二次项系数为1的齐次多项式例题4分解因式：a28ab128b2分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解b16bb+(16b)=8b对应练习题分解因式:(1) x23xy2y2(2) m26mn8n2a2ab6b222例题6分解因式：x y 3xy（四）二次项系数不为1的齐次多项式例题5分解因式：2x27xy6y2对应练习题分解因式:/八，

8、2_2(1) 15x7xy4y,、22(2) ax6ax8(1) 8x6 7x3 1综合练习题分解因式:一2._2(2) 12x11xy15y(3) (xy)23(xy)10(4) (ab)24a4b32x4xy4y22x4y22(8)5(ab)23(a22b)10(ab)(9)24x4xy6x3y102(10)12(xy)11(x22_2y)2(xy)思考:分解因式:abcx2(a2b2c2)xabc2、双十字相乘法Cy2DxEyF型多项式的分解因式.定义：双十字相乘法用于对Ax2Bxy条件：（1）A例题7分解因式:3xy22xa色,Cgc2,Ff1f2(1)(2)解:(1)x23xy10y

9、2xyx10y26y29y2x9yx13y应用双十字相乘法:5y2xy.原式=(x5yx5xy2)(x3xy,5y4y9y,x2xx2y1)3xy2xyxy,4y9y13y,2x3xx.原式=(x2y3)(x3y2)对应练习题分解因式:(1) x2 xy 2y2 x 7y 6222 6x 7xy 3y xz 7yz 2z3、十字相乘法进阶例题8分解因式：y(y1)(x21)x(2y22y1)例题 9 分解因式：ab(x2y2)(a2b2)(xy1)(a2b2)(xy)四、主元法例题分解因式：x23xy10y2x9y222x xy 2y x 7y 6对应练习题分解因式：(1)x2xy6y2x13

10、y6(2)(3) 6x2 7xy 3y2 x 7y 2(4)a2 ab 6b2 5a 35b36五、换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰例题1分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)12例题2分解因式：(x24x8)23x(x24x8)2x2例题3分解因式：(x1)(x1)(x3)(x5)9分析：型如abcde的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘例题4分解因式：(x27x6)(x2x6)56.例题5分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)90例题6分解因式：4(3x2x1)(x22x3)(

11、4x2x4)2提示:可设3x2x1A,x22x3B，则4x2x4AB.例题7分解因式：x628x327例题8分解因式：(ab)4(ab)4(a2b2)2例题9分解因式：(y1)4(y3)4272例题9对应练习分解因式：a444(a4)4例题10分解因式：(x2+xy+y2)24xy(x2+y2)分析：本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式.对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y,v=xy,用换元法分解因式例题11分解因式：2x4x36x2x2分析：此多项式的特点一一是关于x的降哥排列，每一项的次数依次少1,并且系数成“轴对称”.这种多项式属

12、于“等距离多项式”方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法.例题11对应练习分解因式：6x4+7x336x27x+6例题11对应练习分解因式：x44x3x24x1对应练习题分解因式:/、4r3/2r/(1) x+7x+14x+7x+1(2) x42x3x212(xx2)(3) 2005x2(200521)x2005(4) (x1)(x2)(x3)(x6)x2(5) (x1)(x3)(x5)(x7)15(6) (a1)(a2)(a3)(a4)24(7) (2a5)(a29)(2a7)91(8) (x+3)(x2-1)(x+5)-20(9) (a21)2(a25)24(a23)2(

13、10) (2x23x+1)222x2+33x1(11) (a2bc)3(ab)3(bc)3/c、12(xy(xy1)(xy3)2(xy3(xy1)2(13)(ab2ab)(ab2)(1ab)六、添项、拆项、配方法因式分解是多项式乘法的逆运算在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解说明用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项

14、并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种例题1分解因式：x39x+8例题2分解因式：(1)x9+x6+x33；(2)(m21)(n21)+4mn；(3)(x+1)4+(x21)2+(x1)4；(4)a3bab3+a2+b2+1对应练习题 分解因式：( 1 ) x3 3x2 4(3) x4 7x2 1(5) x4 y4 (x y)4( 7) x3+3x2 4( 9) x3+9x2+26x+24( 11) x4 x2 1 ；2222)x22(ab)x3a210ab3b24224)xx2ax1a2222224446)2ab2ac2bc

15、abc8)x411x2y2+y210)x412x+32313 ) a5 a 1(14)x2 y2 4x 6y 512)x311x20；(15) (1a2)(1b2)4ab七、待定系数法例题1分解因式：x2xy6y2x13y分析：原式的前xy6y2可以分为(x3y)(x2y)，则原多项式必定可分为(x3ym)(x2yn)对应练习题分解因式：1)6x27xy3y2x7y2)2x23xy9y214x3y203)x23xy10y2x9y4)x23xy2y25x7y6例题21)当m为何值时，多项式x2mx5y6能分解因式，并分解此多项式3)式.(4)式.2)如果xx22xyk为何值时，x232ax3y2

16、2xybx6xky28有两个因式为x1和x2，求ab的值.14yp能分解成两个一次因式之积，求常数p并且分解因3x5y2能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项八、余式定理(试根法)1、fx的意义：已知多项式fx,若把x用c带入所得到的值，即称为多项式值，用fc表布.2、被除式、除式、商式、余式之间的关系：设多项式fx除以gx所得的商式为qx,余式为rx,则：fx=gxxqx+rx3、余式定理：多项式f(x)除以xb之余式为f(b)；多项式f(x)除以axb之余式f(上).a例如：当f(x)=x2+x+2除以(x-1)时，则余数=f(1)=12+1+2=4.211、21、一人当f(x)9x6x

17、7除以(3x1)时，则余数=f()9()6(-)78.3334、因式定理：设a,bR,a0,f(x)为关于x的多项式，则xb为f(x)的因式_bf(b)0；axb为f(x)的因式f(一)0.a整系数一次因式检验法：设f(x)=gxnCn1xn1CiXCo为整系数多项式，若ax-b为f(x)之因式(其中a,b为整数，a0,且a,b互质)，则(1) ag,bco(2)(a-b)|f(1),(ab)f(1)例题1设f(x)3x32x219x6,试问下列何者是f(x)的因式(1)2x-1,(2)x-2,(3)3x-1,(4)4x+1,(5)x-1,(6)3x4例题2把下列多项式分解因式:3x5x43,

18、2-(2) x4xx63x35x24x2(4) x49x3 25x2 27x 10x4课后作业分解因式：（1）x44(3) 4x331x15（3）3x37x10（4）x341x30（5）x34x29（6） x35x218（7） x36x211x6（8）x33x23x7（9）x311x231x21（10） x41987x21986x1987（11） x41998x21999x1998（12） x41996x21995x1996（13）x33x2y3xy22y3（1412）x39ax227a2x26a32（15） 4（x5）（x6）（x10）（x12）3x2（16） （x26x8）（x214x48

19、）12（17） （x2x4）28x（x2x4）15x2（18） 2（x26x1）25（x26x1）（x21）2（x21）2（19）x4x2y2y4（20）x423x2y2y4（19） 21）a3b33（a2b2）3（ab）2（22） a3b312ab64（23）a3bab3a2b21.（24） （ab）2（ab1）1（25） x42（a2b2）x2（a2b2）2（26） （aybx）3（axby）3（a3b3）（x3y3）（27） x619x3y3216y6（28） 28）x2yy2zz2xx2zy2xz2y2xyz（29） 3x510x48x33x210x8因式分解的应用1、证明：四个连续整数的的乘积加1是整数的平方.2、2n-1和2n+1表示两个连续的奇数(n是整数)，