圆锥曲线定义、方程与性质

1、第11讲I主干知识整合第11讲锥曲线定义、方程与性质第11讲圆锥曲线定义、方程与性质第11讲I主干知识整合主干知识整合F1.圆锥曲线的统一性(1)从方程的形式看，在直角坐标系中，椭圆、双曲线和抛物线这三种曲线的方程都是二元二次的，所以也叫二次曲线.(2)从点的集合(或轨迹)的观点看，它们都是与定点和定直线距离的比是常数e的点的集合(或轨迹)，这个定点是它们的焦点，定直线是它们的准线，只是由于离心率e取值范围的不同，而分为椭圆、双曲线和抛物线三种曲线.（3）这三种曲线都可以是由平面截圆锥面得到的截线，因而才称之为圆锥曲线.(4)锥曲线第一定义把“曲线上的点“焦点F”、 “相应准线I”和“离心率e

2、”妙地联系起来，所以在圆锥曲线的问题中,四者巧凡与准线、离心率、焦点有关的问题应充分利用第二定义.主干知识整合2.焦半径锥曲线上一点与其焦点的连线段称为这一点的焦半径,F面是用的较多的焦半径公式:对于椭=1(。>5>0)而言，IPfl=+ex0,1pp=a-ex（）.x2v2对于双曲线一方=l（a>0,方>0）而言，若点尸在右半支上，则IPPil=a+ex（”lPF2l=exQa；若点尸在左半支上，则IPBI=一（"o+。），IPF2l=-（ex0一。）.（3）对于抛物线y2=2px（p>0）而言，IPPI=xo+g.第11讲 主干知识整合以上各式中，尸

3、(Xo,泗)是曲线上的一点，为、F2分别是椭圆、双曲线的左、右焦点，F是抛物线的焦点，在这里特别强调的是,由于曲线方程的不同，焦半径公式也各不相同.1讲|主干知识整合3.几个常用结论(1)椭圆的焦点三角形：椭圆上一点尸与椭圆的两个焦点尸|、户2组成的三角形称为椭圆的焦点三角形，解决与椭圆焦点三角形有关的问题时，应注意椭圆的定义、正弦和余弦定理的运用.(2)关于抛物线焦点弦的几个结论：设AB为过抛物线/=2Px(p>0)焦点的弦，A(xi9月)、B(x29Ji)，直线A3的倾斜角为0,则XiX2=,yyi=-p；=以AB为直径的圆与准线相切;焦点尸对A、3在准线上射影的张角为90。;肃+，

4、=2第11讲I要点热点探究要点热点探究A探究点一椭圆的标准方程与几何性质例1已知两点入(一2,0),尸2(2,0),曲线。上的动点“满足IMFJ+MF2=lF.F2f直线Mg与曲线C交于另一点2.(1)求曲线。的方程及离心率；(2)设N(-4,0),若S4MNF?：S4PNF?=3：2,求直线MN的方程.第八讲要点热点探究【解答】(1)因为IFiFzl=4,MFt+MF2=2FxF2=8>4,所以曲线。是以为，尸2为焦点，长轴长为8的椭圆.曲线C的方程为卷+右=1,离心率为去(2)显然直线MN不垂直于x轴,也不与x轴重合或平行.设yM),P(xP,yP)9直线MTV的方程为y=A(x+4

5、),其中4羊0.X,得(3 + 4 左 2)y2_24y = 0.由16产A(x+4)解得=0或=依题意加=24A 4k2+3916k2-12U工，.因为SAMNF?：SAPNF?=3:2,所以则/6【点评】解决椭圆，双曲线，抛物线的问题，要牢牢抓住其定义和性质，一些看起来很复杂，没有头绪的问题,如果从定义上来考虑，往往会迎刃而解.一定不可脱离基本概念，过分去追求技巧方法.本题的第二问需要把面积问题转化为方程问题，用方程思想解决，对运算化简能力要求较高.第11讲要点热点探究变式题已知线段。=2/，。的中点为O,动点A满足AC+A&=2«Q为正常数).(1)求动点A所在的曲线方

6、程;若存在点A,使试求。的取值范围;(3)若=2,动点万满足C+BO=4,KAOrOB,试求403面积的最大值和最小值.第11讲I要点热点探究【解答】（1）以O为圆心，CD所在直线为轴建立平面直角坐标系.若AC+AO=%v2小，即动点A所在的曲线不存在；若4。+4。=%=2,3,即。动点4所在的曲线方程为y=0（一,WxW巾）；若AC+AD=2a>2小,即>小，动点4所在的曲线方程为加工3=1.第11讲I要点热点探究由知Q>木，要存在点4,使4CJLA0,则以。为圆心，OC=，5为半径的圆与椭圆有公共点.故乖"/一3,所以/W6,所以。的取值范围是/3<

7、71;W，6.（3）当。=2时，其曲线方程为椭圆+丁=1.2由条件知A,小两点均在椭圆;+/=1上，且4OJLO氏设A（xi，力），8（X2,及），OA的斜率为依A#0）,则。4的方程为丁=履，08的方程为y=一y=kx，解方程组+/=,得“仁中户同理可求得遥=普7,£=厂占要点热点探究AOB的面积S=|Vl+F'I'+古出1=!(1+公)22(1+42)/2+4)令1+*="，>1)，则S=2'y4?+9/=_/+?+；令g«)=X+；+4=9(：；)+竽”>1),所以4vgO)W掌即*SvL当"0时，可求得S=l,

8、故M$wi,故S的最小值为去最大值为1.例2如图所示，已知点W是双曲线%一5=13,5>0)的一个焦点，4(一a,0),5(0,b),双曲线的离心率为2,点。在x轴上，mr?M=o,b,c,产三点所确定的圆"恰好与直线心x+W+3=0相切，求双曲线的方程.要点热点探究【解答】依题意，设双曲线的半焦距为C,由离心率e=2=，得c=2a,b=i3afB(09!3a)9F(-2a,0).设C(x,0),故孔=(x,3a),J7F=(2«,一&),由"呼=0,得工=学，所以0).易知产。是6,C,产三点所确定的圆M的直径，圆心4/一：,0,直径为李一(一%)

9、=".要点热点探究又圆M恰好与直线/：x+gy+3=0相切，则。+31言岩音，即号+3卜看，得a=>双曲线的方用出一三1an25x225y2程为口_亚_1，即飞"41_L2525【点评】江苏高考对双曲线要求不高，本题以双曲线为载体，实质是对直线与圆的知识的考查.A探究点三抛物线的标准方程与几何性质例3设抛物线丁=4衿（心0）的焦点为A,以点33+4,0）为圆心，出AI为半径，在x轴上方画半圆，设抛物线与半圆相交于不同的两点"、N,点是的中点.求L4MI+L4NI的值;是否存在实数恰使IAMI、L4PI、1AM成等差数列？若存在，求出。；若不存在，说明理由.讲

10、I要点热点探究【解答】设 M、N、P在抛物线的准线上的射影分别为M',N',P',由抛物线定义得:IAMI+IANI=IMM'l+INN'I=Xm+xn+2h,又圆的方程为x(a+4)f+y2=16,将y2=4ax代入得x22(4a)x+a2+8a=0,xM+xN=2(4a),所以IAMI+IANI=8.(2)假设存在这样的a,使得：2IAPI=IAMI+IANI,VIAMI+IANI=IMIVVl+INN,l=2IPP'I,AIAPI=IPP'l.由定义知点P必在抛物线上，这与点P是弦MN的中点矛盾，所以这样的a不存在.【点评】本题的“

11、几何味”特别浓，这就为本题注入了活力.圆锥曲线的有关问题常常与平面几何知识相结合，这也提醒广大师生对圆锥曲线几何性质的重视，也只有这样才能挖掘出丰富多彩的解析几何的题目.第11讲I规律技巧提炼规律技巧提炼1 .当椭圆的焦点位置不明确，而无法确定其标准方程时，可设方程为5+：；=1（帆>0,且mw），这样可以避免讨论和繁杂的运算，椭圆与双曲线的标准方程均可用简单形式机/+”2=（机=0）来表示，所不同的是：若方程表示椭则要求，>0, >0且机若方程表示双曲线，则要求.v0,利用待定系数法求标准方程时，应注意此方法的合理使用,以:免讨论.第11讲I规律技巧提炼2 .双曲线是具有渐

12、近线的曲线，复习中要注意以下两个问题:(1)已知双曲线方程，求它的渐近线方程，将双曲线的标准方X2v2/2程一1=1中的常数T”换成“0”，即得%=0,然后分解因式即可得到其渐近线方程:土力=0；若求中心不在原点，对称轴平行于坐标轴的双曲线的渐近线方程，只需将双曲线方程x,y分别配方,然后将常数“1”换成“0”，再分解因式，则可得渐近线方程，例如双曲线(+2)2：2=1的渐近线方程为3+2)2-12=0,即产土3(x+2),因此，如果双曲线的方程已经确定，那么它的渐近线方程也就确定了.第11讲规律技巧提炼(2)求已知渐近线的双曲线方程：已知渐近线方程为ax±by=0时，可设双曲线方程为a2x2-b2y2=4x0),再利用其他条件确定z的值，求法的实质是待定系数法，如果已知双曲线的渐近线，双曲线方程却不是唯一确定的.第11讲规律技巧提炼3.在建立抛物线的标准方程的坐标系时，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系，这样不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用.第11讲|江苏真题剖析江苏真题剖析2010江苏卷在平