结构力学 第17章 结构的塑性分析与极限荷载

1、第1515章 结构的塑性分析与极限荷载第第1717章章 结构的极限荷载结构的极限荷载17-1 17-1 概述概述q弹性设计方法弹性设计方法 没有考虑材料超过屈服极限后的这一部分承载力。事实上，没有考虑材料超过屈服极限后的这一部分承载力。事实上，由塑性材料组成的结构当某一局部的由塑性材料组成的结构当某一局部的maxmax达到了屈服极限时达到了屈服极限时, ,结构还没破坏结构还没破坏, ,还能承受更大的荷载。因而弹性设计有时不够还能承受更大的荷载。因而弹性设计有时不够经济合理。经济合理。q塑性设计方法塑性设计方法 塑性分析考虑材料的塑性，按照结构破坏时的极限状态来塑性分析考虑材料的塑性，按照结构破

2、坏时的极限状态来计算结构所能承受的荷载的极限值（极限荷载）。计算结构所能承受的荷载的极限值（极限荷载）。在塑性设计中，假设材料为理想弹塑在塑性设计中，假设材料为理想弹塑性材料，其应力与应变关系：加载时性材料，其应力与应变关系：加载时材料为线弹性阶段和塑性流动阶段。材料为线弹性阶段和塑性流动阶段。理想弹塑性模型理想弹塑性模型sABoq 理想弹塑性模型理想弹塑性模型q 残余应变残余应变 当应力达到屈服应力后在当应力达到屈服应力后在C C点卸载，卸载时材料为线弹点卸载，卸载时材料为线弹性的。当应力减小为零时，应变为性的。当应力减小为零时，应变为P，P是是塑性应变塑性应变，又，又称称残余应变残余应变。

3、ssPABCDo17-2 17-2 极限荷载、塑性铰和极限状态极限荷载、塑性铰和极限状态MMb bh h随着随着M的增大，梁截面应力的变化为：的增大，梁截面应力的变化为：q 屈服弯矩、极限弯矩屈服弯矩、极限弯矩 以理想弹塑性材料的矩形截面纯弯曲梁为例：以理想弹塑性材料的矩形截面纯弯曲梁为例：a)hb)c)ssy0y0ssssb 图图a）弹性阶段弹性阶段，最外纤维处应力达到屈服极限，最外纤维处应力达到屈服极限s ，弯矩，弯矩M为：为：26SsbhM屈服弯矩a)hb)c)ssy0y0ssssb 图图b）弹塑性阶段弹塑性阶段，y0部分为弹性区部分为弹性区, ,称为弹性核。称为弹性核。 图c）塑性流动

4、阶段塑性流动阶段，y000。相应的弯矩相应的弯矩M为：为：极限弯矩是截面所能承受的最大弯矩。是截面所能承受的最大弯矩。subhM 可见，极限弯矩与外力无关可见，极限弯矩与外力无关, ,只与材料、截面几何形状只与材料、截面几何形状和尺寸有关。和尺寸有关。 设塑性流动阶段截面上受压区和受拉区的面积分别为设塑性流动阶段截面上受压区和受拉区的面积分别为A1 1和和A2 2，并且此时受压区和受拉区的应力均为常量，又因为，并且此时受压区和受拉区的应力均为常量，又因为梁是没有轴力的，所以梁是没有轴力的，所以: :021AAss2/21AAA可见，塑性流动阶段的中性轴应等分截面面积。可见，塑性流动阶段的中性轴

5、应等分截面面积。由此，极限弯矩的计算方法由此，极限弯矩的计算方法: :)(SSMsu对等面积轴的静矩。、分别为面积、AASSq 极限弯矩的计算极限弯矩的计算subhM 例例 已知材料的屈服极限已知材料的屈服极限 ，试求图示截面的，试求图示截面的极限弯矩。极限弯矩。MPa240s解解: :23600mmA 22118002/mmAAAA1的面积形心距等面积轴的面积形心距等面积轴45mm, A2的面积形心距等面积轴的面积形心距等面积轴:mKNAAAASSMSSSSu26.79 . .)(mm80mm20100100mm2020mm90mm90mmA A1 1A A2 2等面积轴等面积轴mmy.图中

6、简支梁随着荷载的增大，梁跨中弯矩达到极限弯矩图中简支梁随着荷载的增大，梁跨中弯矩达到极限弯矩Mu u。跨中截面达到塑性流动阶段，跨中两个无限靠近的截面可以产生有跨中截面达到塑性流动阶段，跨中两个无限靠近的截面可以产生有限的相对转角，限的相对转角，因此，当某截面弯矩达到极限弯矩因此，当某截面弯矩达到极限弯矩Mu u时，就称该截面时，就称该截面产生了产生了“塑性铰塑性铰”。这时简支梁已成为这时简支梁已成为机构机构，这种状态称为，这种状态称为“极限状态极限状态”，此时的荷载，此时的荷载称为称为“极限荷载极限荷载”，记作，记作FPuPu。q 塑性铰、极限荷载塑性铰、极限荷载FPl/2l/2FPuMu塑

7、性铰和普通铰有区别。塑性铰是单向铰，塑性铰和普通铰有区别。塑性铰是单向铰，塑性铰只能沿弯矩增大塑性铰只能沿弯矩增大的方向发生有限的转角，的方向发生有限的转角，卸载时消失。卸载时消失。都江堰市都江之春大厦都江堰市都江之春大厦 底层柱顶塑性铰底层柱顶塑性铰 侧移机构侧移机构柱端塑性铰比较严重柱端塑性铰比较严重 结构由于出现足够多的塑性铰结构由于出现足够多的塑性铰, ,成为机构成为机构( (几何可变体系几何可变体系), ), 失去继续承载的能力失去继续承载的能力, ,称为破坏机构。称为破坏机构。破坏机构可以是整体性的，也可能是局部的。破坏机构可以是整体性的，也可能是局部的。该结构整体变为机构而破坏该

8、结构整体变为机构而破坏结构局部变为机构而破坏。结构局部变为机构而破坏。q 破坏机构破坏机构不同结构在荷载作用下，成为机构，所需塑性铰的数目不同。不同结构在荷载作用下，成为机构，所需塑性铰的数目不同。对于静定结构，只要一个截面出现塑性铰，结构就成为了对于静定结构，只要一个截面出现塑性铰，结构就成为了具有一个自由度的机构，丧失承载能力以至破坏。具有一个自由度的机构，丧失承载能力以至破坏。超静定结构，具有多余约束，必须出现足够多的塑性铰，超静定结构，具有多余约束，必须出现足够多的塑性铰，结构才能成为机构，丧失承载能力以至破坏。结构才能成为机构，丧失承载能力以至破坏。q 结构的极限受力状态应满足的条件

9、（结构的极限受力状态应满足的条件（P P273273）：）：平衡条件：结构的整体或任一局部都能维持平衡；平衡条件：结构的整体或任一局部都能维持平衡；局限条件：任一截面弯矩绝对值都不超过其极限弯矩；局限条件：任一截面弯矩绝对值都不超过其极限弯矩；单向机构条件：结构成为机构能够沿荷载方向作单向运动。单向机构条件：结构成为机构能够沿荷载方向作单向运动。【例【例17.1 17.1 】 图示为矩形截面简支梁在跨中承受集中荷载，试图示为矩形截面简支梁在跨中承受集中荷载，试求极限荷载。求极限荷载。PFPFPuFuM已知uPuMlF解：解：lMFuPu（1 1）唯一性定理：极限荷载）唯一性定理：极限荷载FPu

10、值是唯一确定的。值是唯一确定的。（2 2）极小定理：极限荷载是可破坏荷载中的极小者。）极小定理：极限荷载是可破坏荷载中的极小者。q 可破坏荷载：可破坏荷载：q 基本定理：基本定理： 对于任一单向破坏机构，用平衡条件求得的荷载值，称对于任一单向破坏机构，用平衡条件求得的荷载值，称为可破坏荷载，常用为可破坏荷载，常用FP+ + 表示。表示。q 确定极限荷载的方法：确定极限荷载的方法：静力法静力法利用静力平衡求极限荷载的方法。利用静力平衡求极限荷载的方法。 虚功法（机动法）虚功法（机动法）沿荷载方向假设单向破坏机构，沿荷载方向假设单向破坏机构，利用虚位移原理计算出极限荷载的方法。利用虚位移原理计算出

11、极限荷载的方法。多采用机动法。多采用机动法。PFABCC2l2l(a)(a)(b)(b)lFMPA弹性阶段PFlFMPC325一单跨超静定梁的极限荷载一单跨超静定梁的极限荷载17-3 17-3 超静定梁的极限荷载超静定梁的极限荷载 为了求得极限荷载，需要确定结构的破坏形态，确定塑性铰为了求得极限荷载，需要确定结构的破坏形态，确定塑性铰的位置及数量。塑性铰首先出现在弯矩最大的截面。的位置及数量。塑性铰首先出现在弯矩最大的截面。弹性阶段，弹性阶段，A截面弯矩最大。截面弯矩最大。塑性阶段，塑性阶段，A截面形成第一个塑性铰。截面形成第一个塑性铰。uM增大PFACBFP继续增大，第二个塑性铰出现在继续增

12、大，第二个塑性铰出现在C 截面，梁变为机构。弯矩截面，梁变为机构。弯矩增量图相应于简支梁的弯矩图（如图）。增量图相应于简支梁的弯矩图（如图）。uMuMPuPFF 达到极限值 例例 求梁的极限荷载求梁的极限荷载FPu, ,截面极限弯矩为截面极限弯矩为Mu。 结构在结构在A、C截面出现塑性铰。截面出现塑性铰。解：解：计算极限荷载只需要考虑最后的破坏机构计算极限荷载只需要考虑最后的破坏机构FPCl/2l/2ABlMlMFMMlFuuPuuuPu64232141FPuMuCABMu极限状态的弯矩图极限状态的弯矩图静力法静力法1 1虚功法虚功法2 2 令机构产生虚位移，C截面竖向位移和荷载FPu同向，大

13、小为。121242/2lll6uPuMFlFPuC CA AB BMuMu121l/2l/2设破坏机构设破坏机构0uuPuMMF得:列出刚体虚功方程：列出刚体虚功方程：0)(llMFuPu 例例 求梁的极限荷载，已知极限弯矩为求梁的极限荷载，已知极限弯矩为Mu。虚功方程：虚功方程：216uuMql解：解：ACBql/2l/2uuuuuuuulMlqMllqMMMdxqyW)(瞬变体系机构瞬变体系机构quACBMuMuMu22l计算刚体虚功：计算刚体虚功：uuMlq由于由于ABAB段、段、 BCBC段段截面极限弯矩不同，故塑性铰不仅截面极限弯矩不同，故塑性铰不仅可以出现在产生最大弯矩的可以出现在

14、产生最大弯矩的A A、D D截面截面，也可能出现，也可能出现在在截面改变处截面改变处B B，可能的破坏机构有两种。，可能的破坏机构有两种。解解: :出现两个塑性铰时梁成为破坏机构。ABCD/3l/3l/3lPF【例【例】AB段极限弯矩为 ，BC段极限弯矩为Mu。求图示梁的极限荷载。uMlMFuPuPuuBuDFMM 36()PuuFMll ，此破坏可实现。当uuMM336BDllABCDFPuMuMuBD/3l/3l/3l如果如果B B、D D截面出现塑性铰截面出现塑性铰1 1此时M图如图，MA=3MuABCDFPuMuMul/6l/3uM3由虚功方程可得：由虚功方程可得：当截面当截面D D和

15、和A A出现塑性铰时的破坏机构出现塑性铰时的破坏机构2 2PuuAuDFMM 3922PuuuFMMll 3339222ADllllACDFPuMuDuMA2 /3l/3l)(uuPuMMlF弯矩图如图，弯矩 MB= 时，此破坏形态就可实现。1(),32uuuuuMMMMM即ABCDFPuMuuM1(-)2uuMM 计算超静定结构的极限荷载，关键是确定破坏机构，即计算超静定结构的极限荷载，关键是确定破坏机构，即塑性铰的数量及位置。塑性铰的数量及位置。 综上，当 时，两种破坏形态都可能出现，此时，塑性铰出现在位置A、B、D三个截面。3uuMMABCD/3l/3l/3lPF二多跨连续梁的极限荷载计

16、算（重点）二多跨连续梁的极限荷载计算（重点） 连续梁只可能在各跨独立形成破坏机构，而不可能由相连续梁只可能在各跨独立形成破坏机构，而不可能由相邻几跨联合形成一个破坏机构。邻几跨联合形成一个破坏机构。1PF2PFuMuM(a)(a)1PF2PFuMuM(b)(b)uMuM(c)(c)1PF2PF（c)c)图不可能出现图不可能出现 连续梁在竖向向下荷载作用下，每跨内的最大负弯矩连续梁在竖向向下荷载作用下，每跨内的最大负弯矩只可能在各跨两端出现。只可能在各跨两端出现。ABCD45KN15KN/m40KN6m8m8m2mi1.5ii3mABCD25.2649.4974.676012075uMuM(c)

17、(c)1PF2PF（c)c)图不可能出现图不可能出现【例例17.317.3】解：解：分别求出各跨独自破坏时的破坏荷载分别求出各跨独自破坏时的破坏荷载( (穷举法穷举法) )1 1图示连续梁，每跨为等截面。设图示连续梁，每跨为等截面。设ABAB和和BCBC跨的正极限弯矩跨的正极限弯矩为为 ，CDCD跨的正极限弯矩为跨的正极限弯矩为 ；又各跨负极限弯；又各跨负极限弯矩为正极限弯矩的矩为正极限弯矩的1.21.2倍。试求连续梁的极限荷载倍。试求连续梁的极限荷载uquMuM2qlql5 . 1qABCDl 5 . 0l 5 . 0ll75. 0l75. 0(a)uM2 . 1uM(b)(b)qABAB跨

18、破坏时跨破坏时uuuBAuBuMlqllMlMMMql214 . 6)5 . 05 . 0(5 . 02 . 1)(2 . 1qlql5 . 1qA AB BC CD Dl 5 . 0l 5 . 0ll75. 0l75. 0(a)qBCBC跨破坏时跨破坏时uuCBuCuBuMlqMlMMMlq226 .17 8 . 8)(2 . 12 . 12qlql5 . 1qA AB BC CD Dl 5 . 0l 5 . 0ll75. 0l75. 0(a)(c)(c)uM2 . 1uMuM2 . 1qCDCD跨破坏时跨破坏时uDCuDuCuMlMMMql75. 06 . 7 )(24 . 22 . 15

19、 . 1qlql5 . 1qA AB BC CD Dl 5 . 0l 5 . 0ll75. 0l75. 0(a)uMlq23756. 6 (d)(d)uM2 . 1uM2uM4 . 2此处极限弯矩取左右两段的极此处极限弯矩取左右两段的极限弯矩中的较小者。限弯矩中的较小者。24 . 6 lMquu极限荷载取各跨独自破坏时的破坏荷载的极限荷载取各跨独自破坏时的破坏荷载的最小值最小值2 2uMlq214.6uMlq226.17uMlq23756.6连续梁极限荷载的计算方法：连续梁极限荷载的计算方法：对每一跨独立破坏机构分别求出相应的破坏荷载；对每一跨独立破坏机构分别求出相应的破坏荷载；取其中的最小值

20、为极限荷载。取其中的最小值为极限荷载。 例例 试求连续梁的极限荷载。试求连续梁的极限荷载。1) 第一跨破坏时第一跨破坏时1(2)2PuulFM16uPuMFl解：解：ABC2FPMu1.2Mu0.5l0.5l0.75l0.75lFPABCFPu1MuMu2/2l2) 第二跨破坏时第二跨破坏时2321.2(2)4PuuulFMM234.62PuulFM23.07uPuMFl3.07uPuMFl故16uPuMFlABCMu2FPu21.2Mu1.2Mu23/4lABC2FPMu1.2Mu0.5l0.5l0.75l0.75lFP17-4 17-4 比例加载时判定极限荷载的一般定理比例加载时判定极限荷

21、载的一般定理q 所有荷载变化时都彼此保持固定的比例。所有荷载变化时都彼此保持固定的比例。q 荷载只是单调增大，不出现卸载现象。荷载只是单调增大，不出现卸载现象。1 1）平衡条件：平衡条件：在极限受力状态下，结构的整体或任一在极限受力状态下，结构的整体或任一局部都保持平衡。局部都保持平衡。2 2结构的极限状态应当满足的条件结构的极限状态应当满足的条件1. 1. 比例加载比例加载2 2）内力局限条件（屈服条件）：内力局限条件（屈服条件）：在极限受力状态下，在极限受力状态下，结构任一截面的弯矩绝对值都不大于其极限弯矩，即结构任一截面的弯矩绝对值都不大于其极限弯矩，即MMu 。3 3）单向机构条件：）

22、单向机构条件：在极限状态，结构中已经出现足够在极限状态，结构中已经出现足够数量的塑性铰，使结构成为机构，该机构能够沿荷载数量的塑性铰，使结构成为机构，该机构能够沿荷载方向作单向运动。方向作单向运动。解：解：【例例17.417.4】试求图示梁在均布荷载作用下的极限荷载。试求图示梁在均布荷载作用下的极限荷载。cABCxA(b)ABqEI常数lA A端出现塑性铰端出现塑性铰, ,另一个塑另一个塑性铰有待确定。设坐标为性铰有待确定。设坐标为x，列虚功方程，列虚功方程CAuMlq2lMxlxxlqu2)(2)(xlxlxCA求求q的最小值的最小值lxlxllxxdxqd 22( 2202402122舍去

23、），227 .1142322lMlMquuu极限荷载1. 1. 极限分析的目的是什么？极限分析的目的是什么？答：寻找结构承载能力的极限，充分利用材料。答：寻找结构承载能力的极限，充分利用材料。2. 2. 试说明塑性铰与普通铰的异同。试说明塑性铰与普通铰的异同。答：当截面弯矩达到极限弯矩时，这种截面可称为塑性铰；答：当截面弯矩达到极限弯矩时，这种截面可称为塑性铰；塑性铰是单向铰，塑性铰只能沿弯矩增大的方向发生有限的塑性铰是单向铰，塑性铰只能沿弯矩增大的方向发生有限的转角；塑性铰可传递弯矩，普通铰不能传递弯矩。转角；塑性铰可传递弯矩，普通铰不能传递弯矩。极限荷载复习题极限荷载复习题1、静定结构只要

24、产生一个塑性铰即发生塑性破坏，静定结构只要产生一个塑性铰即发生塑性破坏，n次超次超静定结构一定要产生静定结构一定要产生n +1个塑性铰才产生塑性破坏。个塑性铰才产生塑性破坏。 2、塑性铰与普通铰不同，它是一种单向铰，只能沿弯矩增塑性铰与普通铰不同，它是一种单向铰，只能沿弯矩增大的方向发生相对转动。大的方向发生相对转动。 3、超静定结构的极限荷载不受温度变化、支座移动等因素超静定结构的极限荷载不受温度变化、支座移动等因素影响。影响。 4、结构极限荷载是结构形成最容易产生的破坏机构时的荷结构极限荷载是结构形成最容易产生的破坏机构时的荷载。载。 答案：错误答案：错误答案：正确答案：正确答案：正确答案

25、：正确答案：正确答案：正确5、塑性铰处的弯矩值可以小于极限弯矩值塑性铰处的弯矩值可以小于极限弯矩值 。6、当截面的弯矩达到极限值当截面的弯矩达到极限值极限弯矩时，该截面的应力极限弯矩时，该截面的应力（ ）。 A 继续增加；继续增加； B 不再增加不再增加 C 迅速增加迅速增加 D 缓慢增加缓慢增加 7、当结构中最大弯矩所在截面的边缘应力达到屈服应力时，如果继续、当结构中最大弯矩所在截面的边缘应力达到屈服应力时，如果继续加载，则结构加载，则结构（ ）。 A. 处于弹性阶段处于弹性阶段 B. 进入塑性阶段进入塑性阶段 C.进入弹塑性阶段进入弹塑性阶段 D.处于弹性阶段终点处于弹性阶段终点 答案：错

26、误答案：错误BC8、塑性铰的性质是塑性铰的性质是（ ）。 A A 单向铰，不能传递弯矩；单向铰，不能传递弯矩； B B 单向铰，能够传递弯矩；单向铰，能够传递弯矩； C C 双向铰，能够传递弯矩；双向铰，能够传递弯矩； D D 双向铰，不能传递弯矩双向铰，不能传递弯矩 B9、极限荷载应满足的条件是（、极限荷载应满足的条件是（ ）。）。 A 单向机构条件、屈服条件；单向机构条件、屈服条件； B 屈服条件、平衡条件；屈服条件、平衡条件； C 单向机构条件、平衡条件；单向机构条件、平衡条件； D 单向机构条件、屈服条件、平衡条件单向机构条件、屈服条件、平衡条件 10、在计算超静定结构的极限荷载时，需

27、要考虑的因素有（、在计算超静定结构的极限荷载时，需要考虑的因素有（ ）。）。 A 变形条件；变形条件； B 温度变化；温度变化； C 支座移动；支座移动； D 平衡条件平衡条件 答案：答案：D答案：答案：D则：则：F-12.3 试验证工字型截面的极限弯矩为试验证工字型截面的极限弯矩为21241bhbhMsu由图可得静矩：由图可得静矩：解：解：2822448224222222121222222212222122221hhbbhhhbbhhhhbSS忽略高阶项可得：忽略高阶项可得：)(822121221相比很小、与、bhhbhSS2122141bhbhSSMssubh221等面积轴F-12.7(类

28、似题目类似题目) 试计算图示梁的极限荷载试计算图示梁的极限荷载FPu。若第一跨出现破坏，则破坏机构如下图所示。若第一跨出现破坏，则破坏机构如下图所示。Mu常数常数2/ l2/ l2/ l2/ l2FPFP解：解：1123MuMu2FPFP用虚功方程可得：用虚功方程可得：可解得可破坏荷载为：可解得可破坏荷载为：321upuMFlMFupu6lll4223211123MuMu2FPFPMu常数常数2/ l2/ l2/ l2/ l2FPFP若第二跨出现破坏，则破坏机构如下图所示。若第二跨出现破坏，则破坏机构如下图所示。用虚功方程可得：用虚功方程可得：lll422321可解得可破坏荷载为：可解得可破坏

29、荷载为：32112upuMFlMFupu4lMFupu82综上综上, ,则极限荷载为则极限荷载为: :lMFupu41123MuMu2FPFPMu解解： 机构一：机构一：AC跨破坏跨破坏. 机构二：机构二：CD跨破坏。跨破坏。C端端出现塑性铰出现塑性铰,另一个塑性铰有另一个塑性铰有待确定。设坐标为待确定。设坐标为x。 计算极限荷载计算极限荷载.【练习【练习】试试计算图示结构的极限荷载计算图示结构的极限荷载qu。ql2qACDBuM2l2/ l2/ luMql2quM2uM2uM2机构一机构一ql2quMDC机构二机构二CDuMx虚功方程：虚功方程：22222lqlMMMuuu217lMquu2

30、)(lxqMMCDCuCulMxlxxlquu2)(22lxdxdqu.取令lMquulMquu.得 矩阵位移法矩阵位移法 结构的动力计算结构的动力计算 结构的稳定计算结构的稳定计算 结构的极限荷载结构的极限荷载本学期目录本学期目录: 掌握单元刚度矩阵（局部坐标系、整体坐标系）、连掌握单元刚度矩阵（局部坐标系、整体坐标系）、连续梁的整体刚度矩阵、刚架的整体刚度矩阵及等效结点荷续梁的整体刚度矩阵、刚架的整体刚度矩阵及等效结点荷载的求解载的求解. . 熟悉对连续梁、刚架、桁架进行整体分析熟悉对连续梁、刚架、桁架进行整体分析. . 理解组合结构整体分析理解组合结构整体分析. .矩阵位移法主要考点矩阵

31、位移法主要考点 动力自由度的判断动力自由度的判断 单自由度体系的相关计算单自由度体系的相关计算 固有频率、周期的计算；固有频率、周期的计算； 强迫振动中动内力、动位移的计算；强迫振动中动内力、动位移的计算； 两个自由度体系的相关计算两个自由度体系的相关计算 固有频率、主振型的计算；固有频率、主振型的计算； 对称性的应用；对称性的应用； 动力计算的基本方法动力计算的基本方法 刚度法刚度法 柔度法柔度法结构的动力计算主要考点结构的动力计算主要考点 稳定分析中的几个基本概念稳定分析中的几个基本概念 失稳、临界状态、临界荷载、两类失稳问题、稳定自由度失稳、临界状态、临界荷载、两类失稳问题、稳定自由度.

32、 . 稳定自由度的判断稳定自由度的判断 静力法计算临界荷载静力法计算临界荷载 一个自由度结构；一个自由度结构； 两个自由度结构；两个自由度结构； 无限个自由度结构无限个自由度结构. . 能量法计算临界荷载能量法计算临界荷载 一个自由度结构；一个自由度结构； 两个自由度结构两个自由度结构. . 复杂体系的简化复杂体系的简化结构的稳定计算主要考点结构的稳定计算主要考点 极限荷载分析中的几个基本概念极限荷载分析中的几个基本概念 屈服弯矩、极限弯矩、塑性铰、破坏机构、极限荷载屈服弯矩、极限弯矩、塑性铰、破坏机构、极限荷载. . 比例加载时有关极限荷载的几个定理比例加载时有关极限荷载的几个定理 极小定理

33、；极小定理； 唯一性定理唯一性定理. . 单跨梁极限荷载的计算单跨梁极限荷载的计算 静力法利用静力平衡条件；静力法利用静力平衡条件； 机动法利用虚功原理机动法利用虚功原理. . 连续梁极限荷载的计算连续梁极限荷载的计算 机动法利用虚功原理机动法利用虚功原理. .结构的极限荷载主要考点结构的极限荷载主要考点复复 习习()()第九章第九章 矩阵位移法矩阵位移法1 1、单元刚度矩阵的形式、单元刚度矩阵的形式 lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAk460260612061200000260460612061200000

34、22232322232342 24eiikii1010000010100000eEAkl2 2、转角方向的规定、转角方向的规定是整体坐标系以按顺时针转至局部坐标系为正。是整体坐标系以按顺时针转至局部坐标系为正。123xy12390903 3、转换矩阵的形式、转换矩阵的形式cossin0000sincos0000001000 000cossin0000sincos0000001TP-9.9 图示连续梁，各杆刚度为图示连续梁，各杆刚度为EI，忽略轴向变形，写出其整体刚，忽略轴向变形，写出其整体刚度矩阵。度矩阵。 连续梁单元的刚度矩阵连续梁单元的刚度矩阵.解： 24422EIEIEIEIkBDC8m

35、4mA3mBDCA EIEIEIEIk221 343232343EIEIEIEIk 24422EIEIEIEIk EIEIEIEIk221 343232343EIEIEIEIk 单元定位向量单元定位向量. 101 212 323 单元集成整体刚度矩阵单元集成整体刚度矩阵. 343203261140423EIEIEIEIEIEIEIKBDCA）（ ）（ ）（ ）（ P-9.10 图示刚架，各杆刚度为图示刚架，各杆刚度为EA、EI，写出其整体刚度矩阵。，写出其整体刚度矩阵。 局部坐标系下的单元刚度矩阵局部坐标系下的单元刚度矩阵.解：llABC常数常数EIEAABC），（3211），（0002），（

36、0003Oxy 单元定位向量单元定位向量. T0003211 T0003212 lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAk 整体坐标系下的单元刚度矩阵整体坐标系下的单元刚度矩阵. kkABC），（3211），（0002），（0003Oxy 单元集成整体刚度矩阵单元集成整体刚度矩阵. lEIlEIlEIlEIlEIlEAlEIlEIlEAK86661206012222323lEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEITkTkT090F-9.4

37、 计算图示连续梁的刚度矩阵计算图示连续梁的刚度矩阵K（忽略轴向变形影响）。（忽略轴向变形影响）。2EI解：分析：上述结构有四个位移，因此总刚矩阵为分析：上述结构有四个位移，因此总刚矩阵为44阶。阶。 lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIkk46266126122646612612222323222323 计算单元刚度矩阵：计算单元刚度矩阵： kk2lll134EI2EIOxy32222312600612400412600612lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIK 形成总刚矩阵：形成总刚矩阵： 各杆单元定位向量

38、：各杆单元定位向量： TTT0430302020012134F-9.7 试求图示刚架的等效结点荷载列阵。试求图示刚架的等效结点荷载列阵。 m2kN5123OxykN10mkN 6m4m215 kN/m），（），（），（kN5kN10mkN 615 kN/m解： 计算综合等效结点荷载计算综合等效结点荷载. 编总码编总码.TPTEFTP 直接等效结点荷载：直接等效结点荷载：综合等效结点荷载：综合等效结点荷载：TDP固端力列阵：固端力列阵：间接等效结点荷载：间接等效结点荷载：TPF TEDPPP14540F-9.8 计算图示连续梁的结点转角和杆端弯矩。计算图示连续梁的结点转角和杆端弯矩。解：解：分析

39、：总刚矩阵为分析：总刚矩阵为2阶。阶。 11114224iiiikk（1）计算单元刚度矩阵）计算单元刚度矩阵( )12ii （2）各杆单元定位向量：）各杆单元定位向量： TT2110,m62q=10 kN/m1m61i12ii 12011114228iiiiK（3）形成总刚矩阵：）形成总刚矩阵：（4）计算等效结点荷载：）计算等效结点荷载：单元单元上无荷载，对单元上无荷载，对单元有：有：TpF3030 TpFp3030（5）解方程求位移：）解方程求位移：PK30304228211111iiii可解得：可解得：11745i12775im62q=10 kN/m1m61i12ii （6）计算杆端弯矩：

40、）计算杆端弯矩：对单元对单元有：有：（7）弯矩图如下：）弯矩图如下：mkNiiiiiMM71.2586.12745042241111121M图（图（kNm）对单元对单元有：有：mkNiiiiiiMM071.25303077574542241111112125.7112.86m62q=10 kN/m1m61i12ii 局部坐标系下刚架单元的刚度矩阵局部坐标系下刚架单元的刚度矩阵. 例例 试求图示结构总刚度矩阵中的元素试求图示结构总刚度矩阵中的元素k k1111、k k2222、k k1313，各杆，各杆EIEI相同（忽略轴向变形影响）相同（忽略轴向变形影响） 。解解： 定坐标系，编码定坐标系，编码. 单元定位向量单元定位向量. T T3012011 lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAkk im6m6iOxy），（），（），（ 所求元素所求元素. T3012011 lEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIk406206000060126012206406000060126012222323222323223111212lilEIk 整体坐标系下刚