湍流的多重分形谱分析

1、 其中幂 ( q 被称作质量指数，q 可以从-到+，一维情况下， Pij 转化为 Pi ，q 被称作 权重因子，不同的 q 表示不同的 Pij 在配分函数中具有的重要作用。当 q 正得甚大时，配分 函数中最大的 P ( 起决定作用；当 q 负得显著时，最小的 P ( 起决定作用，所以通过 q 的加权达到了把一个复杂分形体分成不同奇异程度的子集来处理的目的。 由统计物理学8 ： (q = q f ( min f ( = min q (q q (q = q (6 由于公式(6与热力学中温度和内能的关系式极为相似， 故称(6式也叫分形热力学公式。 于是一个多分形问题的研究，最后就归结为确定 , f

2、( 参数或 (q q 的关系了。在本 文具体应用于湍流信号的分析中，采用 A Arneodo 等人提出的基于连续小波变换的“子波极 大模 WTMM”理论来计算 f ( 或 (q q 的关系4,9。 当 q=0 时， P q ij = N ，此时 (0 = D 0 就是集合的分数维，同时由 df = q ，所以 d df = 0 （q=0）的极值点 f (q = 0 = (0 = D 0 也是集合的分数维。 d 四、 WTMM 理论研究图 1（b）的多分形谱 首先应用 WTMM 理论对一图(b cantor 集进行分析，由于它与湍流的 Richardson 能 量级串结构假设很相似， 因此对它的

3、分形研究有助于对湍流细致结构的了解。 先定义一个和 函数 s (i = p(i ，得到描述该 cantor 集的“魔鬼”曲线图。 i 图（4） （5）为采用 WTMM 理论对“魔鬼”曲线求出的 (q q 和 f ( 关系， 并与理论解析的 f ( 进行了比较。从图形看出 WTMM 理论求出的多分形谱与理论分 形的值在图的右半部分吻合得较好 （它对应了 q > 0 的情况） ； 而在左半部分 （它对应了 q < 0 的情况）吻合程度有所下降，尤其是 小的时候，出现偏差的原因是此时子集中小的概率 6 q 时，微小的计算误差会被放大（因为此时 q 为负数） Pi 起主导作用，当计算 P

4、i ，造成了计 算的不稳定性，于是很难正确计算出 min 和 f ( min 。但总体上将，用 WTMM 计算 f ( 是可以接受的和合理的。 6 4 2 0 0.7 WTMM 0.6 0.5 0.4 (q f ( -2 -4 -6 -8 -10 -5 0 5 10 0.3 0.2 0.1 0.0 0.45 0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 WTMM K=100 Theory q-1 图( WTMM 理论计算的 ( q q 图( WTMM 和理论结果的 f ( 比较 五、 WTMM 理论在 Rayleigh-Benard 湍流中的应用 本文对由香港

5、中文大学物理系湍流实验室提供实验温度数据9进行分析。 35 34 33 32 10 5 0 WTMM T(i (q 0 5000 10000 15000 20000 25000 31 30 29 28 -5 -10 -15 -10 -5 0 5 10 i q-1 图( Rayleigh-Benard 对流温度信号 图( Rayleigh-Benard 对流 WTMM 的 ( q q 7 1.2 1.0 0.8 f ( 0.6 0.4 0.2 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 图( Rayleigh-Benard 对流 WTMM 的 f ( 图（） Rayl

6、eigh-Benard 是温度信号，可以看到该信号具有很强的间歇性，实验 Ra 1.2 × 108 已达到充分发展湍流阶段。 图（） （）为采用 WTMM 理论求出的 (q q 和 f ( 关系，从图形看该分 形的确是一个多分形的结构，它与图(c的结构相似，也就是说在湍流的每一次的能量与大 小的级串分裂过程中， 大能量的涡旋和小能量的涡旋的个数比中等能量涡旋个数要少， 而大 能量的涡旋所占的个数相对比小能量涡旋的个数要多， 而由 = max min 约为 0.76， 与图(b的接近，说明奇异性最强与最弱的涡旋，在奇异的强度方面相差是比较大的，这也 符合了真实 Rayleigh-Ben

7、ard 湍流发展的很充分这个事实。 一般的说， 越小，信号的奇异度越大，局部信号越不光滑； f ( 越小，该类信号 的数目占总信号的比重也越小。在图（5） 1 的部分 f ( 也比较小，说明最奇异的激发 性 间 歇 事 件 在 这 个 湍 流 中 所 占 的 比 例 是 不 多 的 。 同 时 从 f (q = 0 1.2 = (0 = D 0 1.2 看到，该湍流的分数维是 1.2，即该信号比一维的信 号要复杂。 六、 结论： 通过本文分析和计算，得到如下结论： 1 分数维只给出了系统的整体复杂度信息， 而通过多分形谱则将系统划分成具有不同 奇异度的分形子集，给出了描述所有子集特性的谱函数

8、f ( ，因此对系统信 息的了解更多、更具体。 WTMM 理论可以以来计算复杂现象的多分形谱。 湍流具有多分形结构，且可以运用 WTMM 理论进行分析，得到湍流信号的多分形 信息。 多分形谱分析能够得到序列(或集合不均匀的整体分布信息，但对有关信号奇异度 8 2 3 4 发生的局部位置信息以及具体的局部结构形态的描述能力是有限的。 七、 参考文献： 1 Halsey T C et al. Phys. Rev. A, 1986,33:11411151。 2 A. Arneodo and G. Grasseau, 1988, Wavelet, transform of multifractals,

9、 Phy. Rev. Letters,61(20,22812284。 3 J. F. Muzy, E. Bacry and A. Arneodo, 1994, The multifractal formalism revisited with wavelets, International J. of Bifurcation and Chaos, 4 (2, 245302。 4 A. Arneodo, F. Argoul, E. Bacry, J. F. Muzy and M. Tabard, 1992, Golden Mean Arithmetic in the Fractal Branch

10、ing of Diffusion Limited Aggregates, Phy. Rev. Letters, 68(23,34563459。 5 A. Arneodo, E. Bacry and J. F. Muzy, 1995, Oscillating singularities in locally self-similar functions, Phy. Rev. Letters,74(24,48234826。 6A. Arneodo, etal., 1996, Wavelet based fractal analysis of DNA sequences, Phy. D, 192320 multifractal nature of the Richardson cascade, Nature 338, (6210:5153。 7 王晓平，吴自勤，多重分形谱及其在材料研究中的应用，物理，1999 年 第