第七节 相互独立事件同时发生的概率 - E度教育网

1、第七节相互独立事件同时发生的概率一、基本知识概要：1.相互独立事件：如果事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，那么称事件A，B为相互独立事件。注： 如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也是相互独立的。两个相互独立事件A、B同时发生的概率为：P（A·B）=P（A）·P（B）；如果事件A1，A2，彼此独立，则P（A1·A2·）=P（A1）·P（A2）·P（）；2.事件的积：设事件A、B是两个事件，A与B同时发生的事件叫做事件的积，记作A·B。（此概念可推广到有限多个的情形）3.独立重复试验（又叫贝努里试

2、验）：在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验。n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率记为Pn（k），设在一次试验中事件A发生的概率为P，则Pn（k）=。二、重点难点: 对相互独立事件、独立重复试验的概念的理解及公式的运用是重点与难点。三、思维方式: 分类讨论，逆向思维（即利用P（A）=1P（）四、特别注意：1.事件A与B(不一定互斥)中至少有一个发生的概率可按下式计算：P(A+B)P(A)+P(B)-P(AB)。特别地，当事件A与B互斥时，P(AB)0，于是上式变为P(A+B)P(A)+P(B)2.事件间的“互斥”与“相互独立”是两个不同的概念：两事件互斥是指两个事件不可能

3、同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响.五、例题：例1.（2004年广州模拟题）某班有两个课外活动小组，其中第一小组有足球票6张，排球票4张；第二小组有足球票4张，排球票6张。甲从第一小组的10张票中任抽1张，乙从第二小组的10张票中任抽1张。（1）两人都抽到足球票的概率是多少？（2）两人中至少有1人抽到足球票的概率是多少？解：记“甲从第一小组的10张票中任抽1张，抽到足球票”为事件A，“乙从第二小组的10张票中任抽1张，抽到足球票”为事件B；记“甲从第一小组的10张票中任抽1张，抽到排球票”为事件，“乙从第二小组的10张票中任抽1张，抽到排球票”为事件事件

4、，于是由于甲（或乙）是否抽到足球票，对乙（或甲）是否抽到足球票没有影响，因此A与B是相互独立事件。（1）甲、乙两人都抽到足球票就是事件发生，根据相互独立事件的概率乘法公式，得到答：两人都抽到足球票的概率为。（2）甲、乙两人均未抽到足球票（事件发生）的概率为P（）。两人中至少有1人抽到足球票的概率为P（）1。答：两人中至少有1人抽到足球票的概率是。思维点拨：对题中出现的相互独立事件、对立事件的分析，进而正确地选用公式是解题的关键。例2：有外形相同的球分别装在三个不同的盒子中，每个盒子中有10个小球。其中第一个盒子中有7个球标有字母A，3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中

5、有红球8个，白球2个。试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一球。如果第二次取得的球是红球，则称试验成功，求试验成功的概率。解：设事件A：从第一个盒子中取得一个标有字母A的球；事件B：从第一个盒子中取得标有字母B的球，则A、B互斥，且P（A），P（B）；事件C：从第二个盒子中取一个红球，事件D：从第三个盒子中取一个红球，则C、D互斥，且P（C），P（D）。显然，事件与事件互斥，且事件A与C是相互独立的，B与D也是相互独立的。所以试验成功的概率为本次试验成功的概率为思维点拨：对题中出现的事件进

6、行正确分类与重组是解题的关键。例3：甲、乙、丙3人各进行一次射击，如果甲、乙2人击中目标的概率是0.8，丙击中目标的概率是0.6，计算：(1)3人都击中目标的概率； (2)至少有2人击中目标的概率；(3)其中恰有1人击中目标的概率.解：(1)记“甲、乙、丙各射击一次，击中目标”分别为事件A、B、C彼此独立，三人都击中目标就是事件A·B·C发生，根据相互独立事件的概率乘法公式得：P(A·B·C)P(A)·P(B)·P(C)0.8×0.8×0.60.384(2)至少有2人击中目标包括两种情况：一种是恰有2人击中，另一种

7、是3人都击中，其中恰有2人击中，又有3种情形，即事件A·B·，A··C，·B·C分别发生，而这3种事件又互斥， 故所求的概率是P(A·B·)+P(A··C)+P(·B·C)+P(A·B·C)P(A) ·P(B)·P()+P(A) ·P()·P(C)+P()·P(B) ·P(C)+P(A) ·P(B) ·P(C) 0.8×0.8×0.4+0.8×0.

8、2×0.6+0.2×0.8×0.6+0.8×0.8×0.60.832(3)恰有1人击中目标有3种情况，即事件A··， ·B·， ··C，且事件分别互斥，故所求的概率是P(A··)+P(·B·)+P(··C) P(A)·P()·P()+P()·P(B) ·P()+P()·P()·P(C)0.8×0.2×0.4+0.2×0.8×0.

9、4+0.2×0.2×0.60.152.说明：题(3)还可用逆向思考，先求出3人都未击中的概率是0.016，再用1-0.832-0.016可得.练习：(2003 江苏)有三种产品，合格率分别是0.90，0.95和0.95，各抽取一件进行检验. （）求恰有一件不合格的概率；（）求至少有两件不合格的概率.（精确到0.001）解: 设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A、B和C.（）， 因为事件A，B，C相互独立，恰有一件不合格的概率为（）解法一：至少有两件不合格的概率为 解法二：三件产品都合格的概率为由（）知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至有两件不合格的概率为

10、思维点拨：解题时要注意把一个事件分拆为n个互斥事件时，要考虑周全。例4：一个元件能正常工作的概率叫做这个元件的可靠性，设构成系统的每个元件的可A1A2A3B1B2B3A1B1A2A3B3B2（）（）靠性为P（0P1，且每个元件能否正常工作是相互独立的。今有6个元件按图所示的两种联接方式构成两个系统（）、（），试分别求出它们的可靠性，并比较它们可靠性的大小。解：系统（）有两个道路，它们能正常工作当且仅当两条道路至少有一条能正常工作，而每条道路能正常工作当且仅当它的每个元件能正常工作。系统（）每条道路正常工作的概率是P3，不能工作的概率是1P3，系统（）不能工作的概率为(1P3)2。故系统（）正常

11、工作的概率是P1=1(1P3)2=P3(2P3)；系统（）有3对并联元件串联而成，它能正常工作，当且仅当每对并联元件都能正常工作，由于每对并联元件不能工作的概率为(1P)2,因而每对并联元件正常工作的概率是1(1P)2, 故系统（）正常工作的概率是：P2=1(1P)23=P3(2P)3。又P1P2= P3(2P3)P3(2P)3=6P3(P1)20,P1P2，故系统()的可靠性大。思维点拨：本题的基本思路是从正反两个方面加以分析,先求出每个系统的可靠性再进行比较.练习：设每门高射炮命中飞机的概率为0.6，试求：（1）两门高射炮同时射击一发炮弹而命中飞机的概率；（2）若今有一飞机来犯，问需要多少

12、门高射炮射击，才能以至少99的概率命中它？解：（1）P=0.84（2）设需要n门高射炮才能达目的，用A表示“命中飞机”这一事件，用Ai表示“第i门高射炮命中飞机”，则A1、A2An相互独立，故也相互独立，故P（A）=1P()=1P()=1P()P()P()=1.据题意P(A)0.99,199,得n5.02.答：至少需6门高射炮才能以99的概率命中。思维点拨： 本题若用直接法就不可能求解，故转化为间接考虑。例5：（2004年福州模拟题）冰箱中放有甲、乙两种饮料各5瓶，每次饮用时从中任意取一瓶甲种饮料或乙种饮料，取用甲种或乙种饮料的概率相等。（1） 求甲种饮料饮用完毕而乙种饮料还剩下3瓶的概率；（

13、2） 求甲种饮料被饮用瓶数比乙种饮料被饮用瓶数至少多4瓶的概率。解：（1）由题意知，甲种已饮用5瓶，乙种已饮用2瓶。记“饮用一次，饮用的是甲种饮料”为事件A，则PP（A）。题（1）中即求7次独立重复试验中事件A发生5次的概率为。(2) 有且仅有3种情况满足要求：甲种饮用5瓶，乙种饮用1瓶；甲被饮用5瓶，乙没有被饮用；甲被饮用4瓶，乙没有被饮用。所求概率为。答：甲种饮料饮用完毕而乙种饮料还剩下3瓶的概率为，甲种饮料被饮用瓶数比乙种饮料被饮用瓶数至少多4瓶的概率为。思维点拨：对事件分类时要做到不重不漏。练习：（2002年全国高考）某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立）。(1)求至少3人同时上网的概率。(2)至少几人同时上网的概率小于0.3。解：（1）至少3人同时上网的概率等于1减去至多2人同时上网的概率。即1。(2)至少