完备基PB(v)的积构造

1、完备基PB(v)的积构造蒋晓云1 冉育红2 黄燕玲3(1 桂林师范高等专科学校 数学与计算机科学系 广西 桂林 541001； 2 广西师范大学 数学与计算机科学学院 广西 桂林 5410043 广西大学 数学与计算机科学学院 广西 南宁 533XXX ）摘要：Etzion提出了一个猜想，即对于正整数v1(mod 6),存在完备基PB(v).本文给出了完备基PB(v)的一个积构造.利用该构造和已知PB(v)的存在结果，部分回答了Etzion的猜想关键词：完备基；广义斯坦纳系；光正交码中图分类号: O157.21 引言设G是阶阿贝尔群，完备基PB(v)定义为集合，,且满足如下性质：, 1it,

2、1j3,互不相同; 1it,互不相同.例1 取，则S即为PB（25）.注：从PB(v)定义的条件可知，|1it, 1j3=G0，|1it = G0.在1中，Yin引入PB(v)来构造光正交码，Yin定义的完备基不限于v1(mod 6). Etzion在2中定义了a good set of elements S(v)来构造广义斯坦纳系GS4(2,4,v,2).当时，Yin定义的完备基PB(v)和Etzion定义的 S(v)是相同的，我们采用完备基这一名称来代替a good set of elements.关于光正交码和广义斯坦纳系的内容，可参看1-5，在此不做介绍.Etzion在2中给出了如下猜

3、想：猜想：对于任意正整数v1（mod 6），存在PB(v)以下引理见2引理1.1 若v1(mod 6)为质数幂，则存在PB(v)在本文中，我们给出完备基的如下一个积构造：定理1.2 若存在PB(v1)和PB(v2),则存在PB(v1 v2)利用定理1.2和引理1.1，可得到完备基PB(v)存在的更多结果，从而部分回答了Etzion的猜想在本文的第2部分，我们将给出定理1.2的证明，并对此结果做进一步的讨论，在第3部分我们将给出v<200时所有PB(v)的构造基金项目：广西自然科学基金（桂科青0339021），广西教育厅科学基金作者简介：蒋晓云（1963），广西全州人，桂林高等师范专科学校

4、数学系副教授；冉育红（1981），湖北公安人，广西师范大学数学与计算机科学学院；黄燕玲，（19XX），广西XX人，广西大学数学与计算机科学学院副教授2 主要结果的证明定理1.2的证明 设G1和G2分别是v1和v2阶的加法群，其中v11（mod 6）,v21（mod 6）,., ,.令，对于任意，,定义G中的运算为 +=，其中中的加法为G1中的代数运算, 中的加法为G2中的代数运算易知G是一个阶的加法群 从G中取出一些特殊元素作成三类三元集族如下：，显然|S1|= t1 =，|S2|= t2 =,| S3|=t1×t2×6=由PB(v1)，PB(v2)的定义可知,，,从而，.

5、令，则=+=.令, 由PB(v1)，PB(v2)的定义知,，, 1i,互不相同, ,，, 1j,互不相同所以中的元素互不相同，中的元素互不相同，中的元素也互不相同由,，, 1i，,，, 1j，知，从而中的元素互不相同令. 由PB(V1)，PB(V2)的定义知1i,互不相同, 1j, 互不相同所以中的元素互不相同，中的元素互不相同，中的元素也互不相同由1i，1j，知，从而中的元素互不相同 综上所述，由完备基的定义知S为G中的一个完备基，即G中存在PB(v1 v2).这样我们就证明了定理1.2例2 设，则为中的PB( 7), 为中的PB(13). 利用定理1.2可以构造出G1G2上的PB（91）如

6、下：S=(1，0)，（2，0），（4，0），（0，1），（0，3），（0，9），（0，2），（0，5），（0，6），(1，1)，（2，3），（4，9），（1，3），（2，9），（4，1），（1，9），（2，1），（4，3），(1，2)，（2，5），（4，6），（1，5），（2，6），（4，2）， (1，6)，（2，2），（4，5），(1，12)，（2，10），（4，4），（1，10），（2，4），（4，12），（1，4），（2，12），（4，10），(1，11)，（2，8），（4，7），（1，8），（2，7），（4，11），（1，7），（2，11），（4，8） 利用数学归纳法和定理1.2，很容

7、易得到以下结果：推论2.1 若存在PB(v1)，PB(v2)，,PB(vn),则存在PB（v1 v2vn）利用推论2.1和引理1.1，可得到以下结论：推论2.2 设v1(mod 6)为正整数，若 v不含模6余5的质因数; v的标准分解式为, 其中1(mod 6), 5(mod 6), , （）均为偶数则存在PB(v) 利用推论2.1可知，若以下命题成立，则Etzion的猜想成立，从而要证明Etzion的猜想，只要证明以下命题即可： 命题设，为两个质数，且,5(mod 6)，则存在PB（）.注：在第部分中，我们将对某些质数，5(mod 6)，给出PB（）的构造3 V<200时的PB(v)在

8、本部分，对任意v 1(mod 6),v<200,我们将给出PB（v）的构造，从而说明Etzion的猜想对小于200的正整数成立定理3.1 若v 1(mod 6),v<200, 则存在PB(v)证明 令V=v| v1(mod 6)，v<200 =EFH，其中， E=7, 13, 19, 25, 31, 37, 43, 49, 61, 67, 73, 79, 97, 103, 109, 121, 127, 139, 151, 157, 163, 169, 181, 187,193,199， F=91，133，175，H=55，85，115，145，187.E中元素为模余的质数幂，

9、由引理1.1，对vE，存在PB(v)对中元素，91=7×13，133=7×19，175=7×25，由定理1.2和引理1.1知，若vF，则存在PB(v)对中每个元素v，利用计算机搜索，得到PB（v）的构造如下：v=55S=2,7,21,9,26,49,10,19,20,5,33,44,13,31,37,1,3,23,4,30,38,8,12,15,14,27,39v=85S=4,9,36,11,35,51,14,22,23,10,20,64,12,41,58,6,55,68,3,25,67,8,15,19,1,52,72,16,28,46,5,38,53,2,59,

10、61,7,42,45,29,48,54v=115S=11,13,60,17,53,73,21,48,61,10,38,41,9,51,52,28,36,58,18,27,109,25,35,46,22,72,89,14,30,49,20,59,84,1,7,70,19,24,81,16,39,113,4,33,65,5,12,83,8,23,68,3,15,29,37,71,75v=145S=10,26,63,12,76,105,13,57,98,24,29,115,14,20,50,6,37,46,2,67,89,18,21,32,28,45,49,19,58,86,11,94,106,7,

11、79,81,5,53,73,17,83,101,16,43,118,23,38,48,22,112,120,31,54,55,1,35,70,8,65,111,3,52,85,9,41,141,15,71,109,42,61,68v=187S=17,35,56,38,61,133,6,140,180,44,115,135,22,83,141,33,74,108,13,110,127,8,86,89,12,114,125,15,78,84,2,123,153,16,68,92,37,59,87,9,137,142,3,70,147,4,42,91,24,80,88,10,58,146,1,90,

12、106,21,66,173,19,48,105,20,27,39,18,102,111,25,29,71,5,30,31,26,53,63,36,67,69,28,43,75,11,55,138,32,94,164,51,65,130.参考文献1 Yin J. Some combinatorial constructions for optical orthogonal codesJ. Discrete Mathematics, 1998, 185: 201-219.2 Etzion T. Optimal constant weight codes over Zk and generalize

13、d designsJ. Discrete Mathematics, 1997, 169: 55-82.3 Brickell E. F and Wei V. K. Optical orthogonal codes and cyclic block designsJ. Congress Numerantium, 1987, 58 : 175-192.4 Wu D, Ge G and Zhu L. Generalized Steiner systems GS4(2,4,v,g) for g=2,3,6J. J Combinatorial Designs, 2001, 9: 401-423.5 吴佃华

14、. 广义斯坦纳系GSk+1(2,k,v,g)的一个构造方法及简单应用J. 广西师范大学学报, 2002, 4: 50-53.A Product Construction for Perfect Base PB(v)Jiang Xiao-yun1 Ran Yuhong 2 Huang XXXXXX3（1 Department of Mathematics and Computer Science ,Guilin Teachers College, Guangxi 541001,China2 Department of Mathematics and Computer Science, Guangxi Normal University, Guilin 541004,China3 XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX）Abstract: Etzion conjectured that there exists a perfect base PB(v) for any integer v1(mod 6). In this paper, a pr