高考数学一轮复习共87节212空间向量的应用1

1、212 空间向量的应用（1）【知识网络】1理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量。2能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系。3能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；能用向量方法判断一些简单的空间线面的平行和垂直关系。【典型例题】例1（1）a，b是两个非零的向量，a，b是两个平面，下列命题正确的是（）A.的必要条件是是共面向量B.是共面向量，则C.a，b，则abD.a，b，则不是共面向量（2）关于直线、与平面、，有下列四个命题：且，则；且，则；且，则；且，则.其中真命题的序号是（）A. 、 B. 、 C. 、 D. 、（3）设A、

2、B、C、D是空间不共面的四点，且满足，则BCD是（C）A钝角三角形 B直角三角形C锐角三角形 D等腰直角三角形（4）空间中两个有一条公共边AD的正方形ABCD与ADEF，设M，N分别是BD和AE的中点，给出如下命题：ADMN；MN面CDE；MNCE；MN，CE异面则所有的正确命题为。（5）已知PD垂直正方形ABCD所在平面，AB2，E是PB的中点，>以DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间坐标系，则点E的坐标为；又在平面PAD内有一点F，当点F是时， EF平面PCBDBCD1C1AA1B1GEF例2 如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，E,F,G分别是A1D1

3、,D1D ,D1C1的中点，求证：平面EFG平面A B1C.例3如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=，点E是PD的中点证明：PA平面ABCD，PB平面EACDEBACPACMFB例4图DE例4ABC为边长等于a的正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC,且AE=AB=2CD,F是BE的中点，（1）求证：DF平面ABC;（2）求证：AFBD。【课内练习】1设是平面外一点，点满足条件，则直线（）A与平面平行B是平面的斜线C是平面的垂线D在平面内2已知四边形ABCD满足，则该四边形ABCD为（）A平行四边形B空间四边形C平面四边形D梯形3已知

4、非零向量及平面，若向量是平面的法向量，则是向量所在直线平行于平面或在平面内的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4已知四面体ABCD中，AB、AC、AD两两互相垂直，给出下列两个命题：；=则下列关于以上两个命题的真假性判断正确的为（）A真、真B真、假C假、假D假、真5AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于点A，B的任一点，连结AC，BC，PB，PC，则在四面体PABC中，共有对互相垂直的平面。6在四面体ABCD中，M，N分别是ACD与BCD的重心，则四面体的四个表面中，与MN平行的平面是。7在直三棱柱中，有下列条件：；其中能成为的充要条件的

5、是（填上该条件的序号）_第8题8如图，已知四面体中，分别为的中点，若，求证：.9正四棱柱AC1中，E为棱D1D上的点，O是底面正方形ABCD的中心若，证明O点在面AEB1上的射影是的垂心10 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EFPB交PB于点FBACDEFPG第10题（1）证明PA/平面EDB；（2）证明PB平面EFD；（3）求二面角CPBD的大小21、空间向量与立体几何212 空间向量的应用（1）A组1已知=，=，则以为邻边的平行四边形的面积为（）ABC4 D82设、是平面a内的两个非零向量，则，是为平面a的法向量的（）A

6、充分条件B充要条件C必要条件 D既非充分又非必要条件3在正方体ABCD-A1B1C1D1中，PQ是异面直线A1D与AC的公垂线，则直线PQ与BD1的关系是（）A异面直线B。平行直线C。垂直不相交D。垂直且相交4若A(1，2，3)、B(2，4，1)、C(x，1，3)是直角三角形的三个顶点，则x5过一个平面的垂线和这个平面垂直的平面有个。6如图所示，在棱长为a的正方体OABC-O1A1B1C1中，E、F分别是棱AB、BC边上的动点，且AE=BF求证：；OA第6题图A1FECBO1C1B1FEDCBAS第7题7如图，在五棱锥SABCDE中，SA底面ABCDE，SA=AB=AE=2，证明：BC平面SA

7、B第8题8如图，四棱锥中,平面，与平面所成的角为，在四边形中，(1)建立适当的坐标系,写出点的坐标；(2)若的中点为,求证：平面平面21、空间向量与立体几何212 空间向量的应用（1）B组1ABDCACBD第1题图如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把ABD和ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：；BAC60°；三棱锥DABC是正三棱锥；平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直.其中正确的是（）ABCD2若，（），则与一定（）A共线B相交C垂直D。不共面3已知直线a平行于平面a，且它们的距离为d，则到直线a与到平面a的距离都等于d的点的集合是（ ）

8、A两条平行直线B空集C一条直线D一个平面4已知直线l面M，直线mÌ平面N，给出下面的命题：若面M面N，则lm；若面M面N，则lm；若lm，则面M面N；若lm，则面M面N。其中所有正确命题的序号为。5已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=1，则是线段EF的中点。则AM与平面BDE所成的角为，AM与平面BDF所成的角为。6已和四边形是矩形，第6题(1)证明:；(2)若,求证:.7已知矩形，平面，分别是的中点，能否确定，使直线是直线与的公垂线？若能确定，求出的值；若不能确定，说明理由第8题8如图所示，已知四棱锥中，底面是矩形，底面，为棱上一点，且，问是否存在实数，使平面

9、？参考答案212 空间向量的应用（1）【典型例题】例1（1）A（2）D（3）C提示：AB、AC、AD两两垂直用AB、AC、AD的长度分别表示BCD中三边的长，后用余弦定理得BCD的每一个内角均为锐角（4）。（5）（1，1，1）；点F是AD的中点 例2设=a,=b,=c,则=+=+=b + a,=+= a+b,=2,故，即EGAC.又=+=+=bc,=+ = bc =2, 即EFB1C .又FGEF=F, ACB1C=C, 平面EFG平面A B1C.例3先证明PA平面ABCD建立空间直角坐标系A-xyz，则A（0，0，0），B（），D（0，a，0），P（0，0，a），于是，=（），=（0，a，0

10、）DEPBACOGH zyx=0+0+0=0，=0+0+0=0， APAB，APADAB、AD为平面ABCD内的两相交直线，AP平面ABCD再证明PB平面EAC因为，所以、共面又PBË平面EAC，所以PB平面EAC 例4（1）取AB的中点M,连接CM.=()=()=()=()=()=。DFCM,又BFË平面ABC,CMÌ平面ABC,DF平面ABC .(2)=(),=()×()=(-) =()=() =(-a2+a2)=0,AFBD 。【课内练习】1D。2B。3C。4 A。提示：由ABAC、ABAD，得AB平面ACD，故ABCD，即有同理，于是，命题为真命

11、题又以AB、AC、AD为同一顶点出发的三条棱，构造长方体，则为自点A的出发的长方体的对角线所在的向量，从而易知命题亦真53。6平面ABC，平面ABD。7。8是的中点,连结,则有,同理,由是的中点,得.,.,即.9设O点在面AEB1上的射影为H，则是面AEB1的法向量OB1HEA易证 面BDD1B1，故于是，同理，H为的垂心10以D为坐标原点，DA，DC，DP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系。设（1）连结AC，AC交BD于G，连结EG依题意得底面ABCD是正方形，G是此正方形的中心，故点G的坐标为，且，这表明PA/EG而平面EDB且平面EDB，PA/平面EDB（2）依题意得，又，故由已知，且

12、，所以平面EFD（3）设点F的坐标为，则，从而，所以由条件知，即，解得，点F的坐标为，且，即，故是二面角CPBD的平面角，得所以二面角CPBD的大小为212 空间向量的应用（1）A组1A2C。3B。4或11。5无数。6以O为原点，OA为x轴，OC为y轴，OO1为z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，则A1（a，0，a），C1（0，a，a）设E（a，t，0），F（a-t，a，0），0ta，7以A为原点，AB、AS边所在的直线分别为x轴、z轴，以平面ABC内垂直于AB的直线为y轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（2，0，0），S（0，0，2），且C（2，0），8 (1)分别以射线为轴建立空间直角坐标系.,.由平面，得为与平面所成的角,.在直角三角形中，由，得，(2)为的中点,点的坐标为,.，,又,平面平面B组1B。2C。3A。提示：与a平行的在a两侧的两条平行直线，且a