基于多分辨分析的时域与频域相结合的微带线特性的分析

1、基于多分辨分析的时域与频域相结合的微带线特性的分析The Multiresolution-Based Combined Time/Frequency Domain Method for the Analysis of Microstrip lines摘要本文以数值模拟基片各向异性微带线色散特性为例给出了一种改进的基于多分辨分析理论的数值分析波导特性的方法。这种方法的特点是巧妙的将时域分析和频域分析有机地结合起来，避免了纵向开放边界条件的处理，减少了内存需求及运算工作量。其精度与类似的FDTD相当，但计算时间可以减少近一半。关键词 时域与频域相结合分析, FDTD, 多分辨分析一 引言基于小波理

2、论的数值分析方法已被用于电磁场理论分析当中，通过用正交尺度函数，小波函数与矩量法相结合直接求解Maxwell差分方程来提高运算效率。与传统的FDTD分析方法相比，小波基函数在电磁场分析中允许更宽松的网格离散，具有适用于不均匀网格差分的能力，引入阈值方法，基于小波理论的方法还能进一步节省运算量，提高计算效率。K.Goverdhannam等给出一种二维的基于多分辨分析的时域方法(MRTD, multiresolution time-domain)用来分析波导横截面场分布，但没有给出如何从数值模拟数据中提取色散特性，而且只适用于各向同性介质。本文基于波导的横向谐振原理（波导纵向无衰减传播，场在横向必

3、取驻波分布），通过对某一网格点上某一场分量在达到稳态后的时刻（t0,t0+t,t0+Nt）上的一组离散值进行Fourier变换提取波导的色散关系信息。与文献2不同，从和出发同时利用张量形式本构关系使之适用于各向异性介质波导的问题。本文给出的时域与频域相结合的Haar（T/F D-Haar）小波基分析方法的基本要点是：给定纵向传播常数，对用Haar小波基扩展的横向场量进行迭代，把其随时间的演变做Fourier变换，得出与给定的对应的频率f。其优点是消除了三维MRTD方法中的开放边界的影响，降低计算所需内存，有利于在PC上运行；与FDTD相比，运算时间可以缩短近一半。二 公试推导：1）2-D Ha

4、ar基函数差分方程采用如下二维标量Maxwell方程组： （1）图1. Ez的二维基函数，阴影部分代表+1，空白部分代表-1，(x)(y)，(x)(y)，(x)(y)，(x)(y). 图2. 二维差分网格单元用图1所示的二维Haar小波基函数对场分量Ex,Ey,Ez,Hx,Hy,Hz,Dx,Dy,Dz进行扩展，并根据图2中的差分网格，构成T/F D-Haar小波基分析方法的基本差分算式：（2）其中场量左边下标0 ,h , 1 分别表示n, n+1/2, n-1/2, n+1；场量右边下标如：0h 则表示（i, j+1/2）, h1 表示 (i+1/2, j+1) 等等。，=，为尺度和小波方程。

5、上述迭代算式(2)与传统的FDTD类似，唯一不同的是在多分辨分析中，是对四个小波基函数=，分别进行计算。上面的差分方程组中包含了、及分量，从差分方程中求得分量后，分量可以利用介质结构方程得出，即：（3）其中介电常数可以为张量，表示介质的电特性是各向异性的。采取由、而不是仅仅由、表示的Maxwell基本方程出发的优点是：可以将基于多分辨分析的时域和频域相结合的方法推广到研究包括各向异性介质的情况。2）边界条件处理如文献2中所述，各个基函数之间在内部网格中是独立进行计算，而只有在边界处才产生耦合，因此必须使其尺度和小波函数在边界处满足其边界条件。(a) 完全电导体（PEC,perfect elec

6、tric conductor）边界处理由于PEC边界和90度奇异点的边界处理相对比较简单，这里不作叙述。而只对0度奇异点进行分析。0度奇异点网格划分如图3, 以Ez场分量为例，使ul采样点恰好落在0度拐点上，即基函数中心（0，0）位置离拐点距离分别为x/4,y/4。 图4，介质分界面处网格分布图3. 零度奇异点边界处网格分布，实线代表Yee网格由边界处切向场量为0，和后向差分近似可得Ez00场在四个采样点ll,lu,ul,uu的值：（4）也可以采用高阶Lagrange插值法得出上述四个脉冲函数值。本文没有采用高阶Lagrange插值法是因为在差分网格点不是特别多时，反而需要增加额外的处理。由此

7、可以算出电场Ez在（0，0）点的Haar基函数系数，由下面线性运算得到： （5）其中 （6）A矩阵表示Haar基函数和采样点函数的转换矩阵。它是一个对称矩阵，具有其转置矩阵和逆矩阵都是它本身的性质。(b) 介质分界面处理：如图4所示的介质分界面为软边界。Z方向介电系数分别为1，2，使00，01，的采样点ul,uu都落在介质分界面上。令diz=2,diz1=(1+2)/2,其中diz1为交界面处的等效介电常数。可得电场Ez0k在各个采样点值。如下： （7）由（5）（6）两式计算可以得出Ez在（0，k）点的Haar基系数。3）提取色散特性初始激励的选取和三维Haar小波基多分辨分析方法不同。因为本

8、文关心的主要是色散特性，而不是瞬态特性，因而没有必要选用高斯脉冲作为激励信号，可选用冲激函数作为激励脉冲。初始激励的空间分布应根据具体情况而定。从原理上来说初始激励场的空间分布与实际所要分析的模式的场分布越接近，其差分方程解达到稳定所需的时间就越少，即收敛速度越快。对图5所示屏蔽接地微带线，初始激励场空间分布可选为，在导带下面法向电场是均匀的，而其他位置，任何场分量都为零。对于研究主模的特性这样处理收敛较快，精度也高。图5. 屏蔽微带线横截面示意图，a=6.5mm,b=3.5mm,w=1.75mm,h=1.5mm在求解差分方程组以前，不仅要对波导结构进行剖分，而且必须预先给定一个。给定后，在给

9、定的边界及初始激励下，通过求解方程组（2），就可得到各个网格点上场分量在各离散时刻的值。由于数值计算的局限性，时间不可能达到无穷大，只能在横截面上场分布已趋于稳定的某一时刻Nt截断。场是否达到稳定可以从计算网格点上各个时刻场的平均值进行判断。 （8）其中 （9）表示空间在 ( ix, jy )一点上在nt时刻的场。由谐振原理可知：限定在纵向传播的电磁场在横向必定呈驻波分布，即发生横向谐振，谐振模式的场分量的频谱必然在谐振频率点上取得极值。由此可以合理选择某一网格点上某一场分量在达到稳态后的时刻（t0,t0+t,t0+Nt）上的一组离散值，对其进行Fourier变换 (10）|F(f)|必定具有

10、一系列极值点f,使|F(f)|取得最大值的频率f就是被分析的结构在所给定的初始激励场条件下最容易激励出模式的频率。波导结构的色散特性就可从（10）式得到。如果在还没达到稳态后的时刻选取其数据，则计算出的误差则比较大，因此应合理选取达到稳态后的起始时刻。这种方法一次计算只能获得一个频率点的传播常数，其优点是消除了三维基于Haar小波基的MRTD方法中开放边界的影响，计算所需内存可以降低一个数量级以上，有利于在PC上运行，它还可以处理包括复杂的边界及包括各向异性、色散及非线性介质的波导问题。三 数值模拟及验证：为了验证T/F D-Haar基模型的正确性和计算效率的优越性，对横截面尺寸为0.015

11、x 0.003的矩形波导分别用二维FDTD法和T/F D-Haar基方法求解TE10模的色散曲线，并与理论值比较，结果如表1所示。表1. 二维FDTD法和T/F D-Haar小波基法求解波导色散曲线与理论值比较(计算30个色散点)矩形波导Yee网格数t迭代次数N运算时间*相对误差%二维FDTD法44 x 60.6ps170014m 2s0.51T/F D-Haar小波基法21 x 21ps10008m 21s0.49*运算时间为在主频366内存128M处理机上计算的结果误差的大小跟迭代次数和所计算的频率段有关。迭代次数越多，误差越小；频率越靠近截止频率，计算的误差则越大。由表可以看出，T/F

12、D-Haar小波基分析方法采用的网格步长大致为相应二维FDTD法的2倍，由此可以具有更宽松的时间步长，因此只需大约一半的时间就可以达到二维FDTD法所能达到的精度。这是T/F D-Haar小波基法比FDTD法优越的地方，本文从多分辨分析角度分析，进一步得出其运算高效率的原因在于：T/F D-Haar小波基法是在空间网格点上，通过大尺度差分迭代达到其快速收敛，通过小尺度差分达到场分布的精度要求。这正是多分辨分析理论的优点所在。其本质是一种优化了的FDTD法。对如图5所示屏蔽微带线进行T/F D-Haar小波基分析。其介质基片在主光轴上的相对介电常数p=9.4,q=11.6,z =9.4，主要尺寸

13、也示于图中。实际中利用了其结构的对称性，以减少计算工作量。网格数取为：Nx=8,Ny=14,ct/x=0.401,激励源Ex选用冲激函数，分布在导带下面。稳态时刻场从迭代250次开始选取，即t0=250t。图6为主光轴与坐标轴夹角为90度时的色散曲线。与网格数取为Nx=16,Ny=28的二维FDTD法计算结果相比，二维TD-Haar基法具有类似的精度，但它在计算速度上将近快一倍。图中实线为文献3的结果。虚线为本文计算的结果。图6，色散曲线比较：是2维FDTD计算结果，-：是T/F D-Haar小波基计算结果四 结论：本文以求解各向异性微带线色散特性为例导出了基于多分辨分析的时域与频域相结合的H

14、aar小波基分析方法，并在矩形波导色散特性的求解中得到了验证，对微带线色散特性作了分析。结果表明，与传统二维FDTD法相比，T/F D-Haar小波基方法具有运算速度快的优点，在纵向均匀的波导色散分析中具有一定的意义。参考文献：1M. Fujii and W. J.R.Hoefer, “A three-dimensional Haar-wavelet-based multiresolution analysis similar to the FDTD methodderivation and application”, IEEE Trans. Microwave Theory Tech., vol. 46,pp.2463-2475