留数在物理学中的应用

1、摘要：留数定理是复变函数理论的一个重要定理,它与解析函数在孤立奇点处的洛朗展开式、柯西复合闭路定理等都有密切的联系. 应用留数定理可以求解某些较难的积分运算问题, 所以它可以起到采用不同方法,相互检验所得结果的作用.具体的物理问题中遇到的一些积分在数学分析中没有对应的原函数，留数定理往往是求解这些积分的有效工具。本文介绍留数概念，留数定理，对留数定理进行一定的拓展，以及留数理论在电磁学中安培环路定理、高斯定理公式推导，以及在阻尼振动、热传导、光的衍射等问题中积分计算上的的一些应用，大大简化了计算过程。关键词：留数定理、安培环路定理、高斯定理、阻尼振动、热传导目录第1章 留数.3 1.1 引言

2、1.2 留数的定义1.3 留数定理 1.4 留数定理的计算规则 1.5 留数定理的拓展第2章 留数定理在电磁学中的应用.6 2.1 安培定理及其与留数定理的区别2.2 应用留数定理对安培环路定理的推导 2.3 留数定理在静电学中的应用2.4 留数在电磁学中一类积分中的应用第3章 留数定理在物理学其他领域的应用.153.1 留数在有阻尼的振动的狄利克雷型积分中的 3.2 留数定理在研究光的衍射时需要计算的菲涅尔积分中的应用3.3 留数定理在用傅里叶变化法求解热传导问题的偏微分方程时将遇到的积分中的应用第4章 结语.18参考文献.19第一章 留数1.1 引言留数是复变函数论中重要的概念之一，它与解

3、析函数在孤立奇点处的洛朗展开式、柯西复合闭路定理等都有密切的联系. 留数定理是留数理论的基础，也是复积分和复级数理论相结合的产物，利用留数定理可以把沿闭路的积分转化为计算在孤立奇点处的留数，需要正确理解孤立奇点的概念与孤立奇点的分类和函数在孤立奇点的留数概念.掌握留数的计算法，特别是极点处留数的求法，实际中会用留数求一些实积分.现在研究的留数理论就是柯西积分理论的继续，中间插入的泰勒级数和洛朗级数是研究解析函数的有力工具.留数在复变函数论本身及实际应用中都是很重要的它和计算周线积分（或归结为考察周线积分）的问题有密切关系.此外应用留数理论，我们已有条件去解决“大范围”的积分计算问题，还可以考察

4、区域内函数的零点分布状况.1.2 留数的定义如果函数在的邻域内是解析的，则根据柯西-古萨基本定理 （1）其中C为邻域内的任意一条简单闭合曲线.但是如果是的一个孤立奇点，且周线C 全在的某个去心邻域内，并包围点，则积分的值，一般说来，不再为零并且利用洛朗级数公式很容易计算出它的值来 （2）我们把（留下的）这个积分值除以2后所得的数为在的留数,记作Res，即 Res= （3）从而有 Res= （4）此处的是函数通过洛朗级数展开的第负一次项系数.1.3 留数定理定理一 设函数在区域D内除有限个孤立奇，.，外处处解析.C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，那么=2 （5）利用这个定理，求沿封闭曲线C

5、的积分，就转化为求被积函数在C中的各孤立奇点处的留数.定理二 如果函数在扩充复平面内只有有限个孤立奇点，那么在所有各奇点（包括点）的留数的总和必等于零.1.4 留数求法及一般规则I 如果是的可去奇点，那么 Res=0，以为此时在的展开式是泰勒展开式，所以=0II 如果是本性奇点，那就往往只能把在展开成洛朗级数的方法来求.III 在是极点情形，有以下三种特殊情况下的规则 规则一 如果为的一级极点，那么 Res=（z-） （6） 规则二 如果为的m级极点，那么 Res= （7） 规则三 设=，P(z)及Q(z)在都解析，如果P(z)0，Q（z）=0，Q(z)0，那么为的一级极点，而 Res= （8

6、） 规则四 （9）1.5 留数定理的拓展对于复变函数积分，无论留数定理还是柯西定理、柯西公式及高阶导数公式都只能处理解析函数沿内部有有限个极点的闭曲线的复积分问题，对于积分区线上有极点的情况没有提及 如果用极限的方法，不但相当复杂且不能保证最终求出 当被积函数满足一定的条件，即区域D 的境界线为C，函数 在D 内解析且在C 上连续并满足Hölder 条件: ，(01 ) ，其中K 、 都是实常数，、为C 上任意两点，此时可以推导出一个该积分的“积分主值”的计算公式: (10)鉴于留数定理和柯西公式之间的关系，可以将积分曲线上有限个极点的情况推广到留数定理上 函数 在闭曲线 所围的区域

7、上除具有有限个奇点外是解析的，此时，留数定理的结论可改写为 （11）经过这样的推广后，直接可以用到积分区间上有极点的实变函数无穷积分上，无需针对实轴上的极点取辅助曲线，使得这类积分的求解过程得以简化 第二章 留数定理在电磁学中的应用2.1 安培环路定理及其与留数定理的区别电磁学中安培环路定理的表述：磁感应强度B沿任何闭合琦璐L的线积分，等于穿过这环路所有电流强度的代数和的 倍.即 （12）其中电流I的正负规定如下；当穿过回路L的电流方向与回路L的环路方向服从右手法则时，I>O，反之，I<O.该定理与留数定理虽然是属于不同领域中的定理但是它们在数学形式上有着极其相似的形式.(12)式

8、和(5)式的左边都是沿着某一闭合回路的线积分，面其右边又都是表示某些标量的代数和而这些量都直接同方程左边的函数有着某种内在的联系.从以上的分析我们能否得出；直接利用复变函数的方法导出电磁学中的安培环路定理而不要直接计算线积分？ 回答是肯定的.2.2 应用留数定理对安培环路定理的推导我们知道留数定理是适用于复数领域，而安培环路定理中的磁感应强度是矢量，因此不能直接将留数定理应用于电磁学中的安培环路定理，必须重新构造一个复数场才能应用.为此我们考虑一无限长截流导线周围空间的磁场分布，如图1所示. 图1 无限长截流导线周围空间的磁场分布设无限长载流导体中的电流为I，电流的方向指向纸面的外部由电磁学知

9、，空间的磁感应强度为 （13）其中 为极径。在直角坐标系中B可以写成分量形式，如下： （14）其中和分别为轴和轴的单位矢量.我们可以构造一个下面的复变量来代替（14）式. （15）函数和为满足柯希 里曼方程的解析函数于是可以改写成如下形式： （16）设回路中有个电流源通过.如图2所示,在C内除去点外的所有区域上是解析的.对于这个个点分别用回路包围，则按照按照柯希 里曼定理有； （17）图2 回路C中有个电流源而根据留数定理有 (18)又 （19）考虑到(17)式和（18 )式，则可得 （20）和 （21）以上是我们讨论回路中只有一个电流源的情况，下面我们将导出回路中包含有个电流源的情况：于是

10、即 （22）到此为止，我们利用复变函数的方法推导出了电磁学中的安培环路定理，其方法比较简便，避免了一些教材中的复杂推导.从以上的推导过程我们可以看出只要选择合适的复数来表示电磁学中的电学量和磁学量，便可以利用留数定理推导出电磁学中的一些有用结论.在前面的推导过程中，利用复数和留数定理得到方程(20)式和(21)式.(21)式即为安培环路定理.但方程(21)式我们还没有给出它们的物理意义.方程(20)式可以改写成=0对于二维情况表示的是一个“二维通量 ”，即表示通过长度的磁通量。因此方程(20)式可以看作磁学中的磁高斯定理，它表示通过环路C的总“二维磁通量”为零 这表明B线应该是闭合环线，这也就

11、是我们通常所说的磁场为涡旋场。2.3 留数定理在静电学中的应用同磁学中的讨论方法相同，现在我们考虑二维平面静电场问题，这里选择线电荷分布其电荷线密度为（>0）.考虑线电荷在空间产生电场的轴对称性选取线电荷沿z轴分布，它所产生的电场E在平面内成径向分布，如图四所示.由电磁学知: (23)在直角坐标系中分量形式为现在我们构造一个复函数=那么除z=0外在空问各点都处处解析在z=0处，由留数定理有 （24）又 （25）由(24)式和(25)式可得即 （26）和 （27）有以上推导可知，利用复数 和留数定理得到方程(26)式和（27)式，(26)式即为电磁学中的静电场环路定理，它表明静电场是保守场

12、，且静电场中电力线不可能是闭合线。(27)式与电磁学中的静电场高斯定理相对应，只不过这里是二维情况，因此，我们仅需利用一个复数便可以导出静电学中的两个基本方程。2.4 留数在电磁学中一类积分中的应用应用留数定理求解定积分问题时, 一般先进行解析延拓。解析延拓主要有两种方法:(1 ) 将原来的积分区间变换为新复数平面的一条闭合回路(+) , (2) 选择另一段积分与原积分区间, 构成复数平面的闭合回路(+) , 如图l所示 图3 积分区间变换图即： （28）利用留数定理求出(1) 式左边的值及右边的第二项复变函数积分, 则即可求得待求积分的值.下面结合电磁学中的间题,利用留数定理进行求解,问题如

13、下:如图4 所示, 一无限长载流直导线与一半径为R 的圆电流处于同一平面内, 它们的电流强度分别为与 , 直导线与圆心相距为a , 求作用在圆电流上的磁力。分析: 这是有关载流导线在不均匀磁场中受力的电动力学问题. 利用安培定律和毕奥萨伐尔定律, 可求得载流圆线圈所受磁场力在x 轴和y 轴上的分量分别为=（29）= （30）= 经计算得： =0= （31）在的表示式中出现定积分, 此积分的被积函数为三角函数形式, 在以往求解这类积分时,采用的方法为先进行三角函数式的万能变换, 然后进行积分, 而这种方法在计算此类积分时显得非常麻烦,不易求出正确答案。为了避免这种情况, 这里我们将用留数定理来计

14、算此积分, 计算方法如下: 先作变换使定积分的积分区间变为复平面上的闭合回路, 即这里采用第一种变换方法, 作变换为: Z= 取值在之间, 对应的复变数z 取值在=1范围内, 所以有关系：cos=（z+） sin=(z-) (32) d=dz 图4 直导线与圆导线通电后受力分析图当变量从0变至2时, z从z=1 沿复平面上的单位圆 =1逆时针旋转一圈回到z=1 , 此时定积分化为复变函数回路积分= = = (33)(33) 式中参数=, (33) 式中的被积复变函数形式为= 判断的极点有三个，=0，=，=，且三个极点都是一阶极点, 其中在、在=1的单位圆内。应用留数定理可求得 （34）所以 =

15、 = (35)将(34) 、(35 ) 式代入(31) 式即可求出:= (36)以上计算有以下有几点：（1） 思路清晰（2） 较少涉及到计算技巧，极易掌握（3） 和其他方法起到互补作用 第三章 留数定理在物理学其他领域的应用3.1 留数在有阻尼的振动的狄利克雷型积分中的应用.该积分属于 类型的积分 不妨假设0，设由 所唯一确定的解析函数 在复平面的上半平面及实轴上仅有有限个极点 若满足当z时0( 一致地趋于零) ，根据推广的留数定理，只需取图3所示的辅助闭曲线，即得：图5由实轴上直线段（-R,R）和所围的闭曲线 （m>0）属于在积分路径上有单极点的实变函数积分，即由所唯一确定的解析函数在

16、整个平面上仅有实轴上一个单极点z = 0，则根据上式有:3.2 留数定理在研究光的衍射时需要计算的菲涅尔积分中的应用设=，=在研究菲涅尔衍射时，其光场中某点的振动可为下面公式表示: （37）该式称为菲涅尔衍射公式，一般来说计算式相当复杂的，但在傍轴近似下，可以利用二项式近似简化，通过求解菲涅尔积分 图6闭曲线由实轴上（0，R）,圆弧z=及z=（r从R变化到0）组成取图6 所示辅助曲线构成复平面上的闭合曲线，当R时，沿实轴的积分即待求积分 在此极限下沿圆弧的积分根据若尔当引理其值为零，沿射线的积分可以通过第二类欧拉积分( x) =,由() = ， t = ，可得 则:从而 =3.3 留数定理在用

17、傅里叶变化法求解热传导问题的偏微分方程时将遇到的积分中的应用对于一维无源导热问题，各点在任意时刻的温度可以用定解问题描述: （38）用傅里叶变换法求解该方程时， 得到的像函数的一部分为， 其原函数需要通过求解积分 得到辅助曲线取矩形，即: 实轴上(N,N) ，: 平行于虚轴的( N，0 )( N，) ， : 平行于实轴的( N,)(N，) 及: 平行于虚轴的(N，)( N,0) 四段构成闭曲线，如图5 所示:图7 矩形闭曲线图7 矩形闭曲线由于在该闭曲线内函数无奇点，根据留数定理可知函数沿闭曲线积分的值为零:当N时，可以证明沿， 的积分值为零，沿的积分在h =时可以借助第二类欧拉积分在=时的值求出，即，则因此，利用留数定理求解实变函数反常积分，一般要通过取适当的辅助曲线，将实变函数积分转化为求解沿闭曲线的复变函数积分这种方法的前提是被积函数要满足一定的条件，即并非所有的实变函数反常积分都能通过这种方法来求解 对于物理问题的积分，由于有明确的物理意义，一般是满足数学上求解的条件的第四章 结语留数定理是复变函数论具体应用于积分计算和一些公式推导中的一个非常有力的工具 本文阐述了留数的定义，留数定理及计算一般规则，就区域上及区域境界线上有极点的情况对留数定理进行了推广，并将留数定理及留数定理及推广了的留数定理应用于电磁学、阻尼振动、菲涅尔衍射及热传导等具体的物理问题所遇