随机过程第一章(下)

1、第一章第一章 随机过程的概念与基本类型随机过程的概念与基本类型m随机过程的定义和统计描述随机过程的定义和统计描述m随机过程分布律和数字特征随机过程分布律和数字特征m复随机过程复随机过程m随机过程基本类型随机过程基本类型自然界事物的变化过程分为两大类：自然界事物的变化过程分为两大类：（1）具有确定形式的过程具有确定形式的过程，可以用一个时间，可以用一个时间t的确定的确定函数来描述。函数来描述。（2）另外一种过程）另外一种过程没有确定的变化形式没有确定的变化形式，不能用一，不能用一个时间个时间 t的确定函数来描述。的确定函数来描述。 例如：例如：液面上的质点的运动。用液面上的质点的运动。用x(t)

2、,y(t)表示表示t时时刻该质点在液面上的坐标刻该质点在液面上的坐标。 随机变量随机变量在每次随机试验的结果中，以一定的概率取某个事先在每次随机试验的结果中，以一定的概率取某个事先未知，但为确定的数值。未知，但为确定的数值。在实际应用中，在实际应用中，我们经常要涉及到在随机试验过我们经常要涉及到在随机试验过程中随时间程中随时间t而改变的随机变量而改变的随机变量。此时，这种随。此时，这种随机现象是个机现象是个“过程过程”。随机过程也是有规律的，随机过程也是有规律的，如何描述一个随机过程如何描述一个随机过程？电话交换台接入呼叫次数问题电话交换台接入呼叫次数问题某电话交换台某电话交换台在一定时间段内

3、在一定时间段内 0，t 内接到的呼内接到的呼叫次数是与叫次数是与t有关的随机变量，记为有关的随机变量，记为Z(t)；对于固；对于固定的时刻定的时刻t， Z(t)是一个取非负整数的随机变量，是一个取非负整数的随机变量，故故 Z(t), t 0,)是一个随机过程。是一个随机过程。对于一个固定的时刻对于一个固定的时刻t,Z(t)t,Z(t)是一个随机变量是一个随机变量。天气预报问题天气预报问题每天的天气（晴，雨，阴）是随机的，对于每天的天气（晴，雨，阴）是随机的，对于确定的一天（假设确定的一天（假设t=1，代表第一天），天气，代表第一天），天气状况是一个离散型的随机变量，记为状况是一个离散型的随机变

4、量，记为Zt，所以，所以，每天的天气状况每天的天气状况Zt ，t=1,2,3是一个随机是一个随机过程。过程。对于一个固定的时刻对于一个固定的时刻t, Zt是一个随机变量是一个随机变量对于一个固定的时刻对于一个固定的时刻t,电阻的噪声电压电阻的噪声电压X(t)是一是一个随机变量，个随机变量， X(t)是随时间变化的，是随时间变化的， 所以噪声电所以噪声电压压X(t)， t 0,)是一个随机过程。是一个随机过程。电阻的噪声电压电阻的噪声电压对于一个固定的时刻对于一个固定的时刻t, Xt是一个随机变量是一个随机变量 我们必须对一些随机现象的变化过程进行研我们必须对一些随机现象的变化过程进行研究，必须

5、考虑无穷多个随机变量。针对这个问题，究，必须考虑无穷多个随机变量。针对这个问题，我们必须用我们必须用一族随机变量一族随机变量才能刻画这种随机现象才能刻画这种随机现象的全部统计规律。我们通常将的全部统计规律。我们通常将这族随机变量称为这族随机变量称为随机过程随机过程。定义定义1设设E是随机实验，是随机实验，= e 是样本空间，是样本空间，T是给是给定的参数集，若对每个固定的时刻定的参数集，若对每个固定的时刻tT，X(t,e)或者或者X(t)都是一个随机变量，则称都是一个随机变量，则称随机变量族随机变量族X(t,e),t T是一个随机过程。简记为是一个随机过程。简记为X(t)。在第在第Wi次试验中

6、测量获得的噪声电压次试验中测量获得的噪声电压X(t)是一个样是一个样本函数本函数设设E是随机实验，是随机实验， = e 是样本空间，对于每是样本空间，对于每一个样本一个样本e，总可以以某种规则确定一个时间函，总可以以某种规则确定一个时间函数数X(t,e) (称为称为样本函数样本函数或者或者轨道轨道），），t T，则，则对于所有的对于所有的e ，就得到一个函数的集合，就得到一个函数的集合，称称此集合为此集合为随机过程随机过程，简记为，简记为X(t)定义定义2)(1tXw)(2tXw)(3tXw)(tXkw)(tXnw1t2t随机过程随机过程X(t,e),t T可以认为是定义在可以认为是定义在T

7、上上的一个二元函数。的一个二元函数。对固定的对固定的t，X(t,e)是一个随机变量是一个随机变量;对固定的对固定的e， X(t,e)是随机过程是随机过程X(t,e),t T 的一个的一个样本函数样本函数（轨道轨道）。即定义在）。即定义在T上的普通上的普通函数函数;对于固定的对于固定的e 和和t， X(t,e)是一个标量，它表示是一个标量，它表示时刻时刻t所处的所处的状态状态。X(t )所有可能的状态构成的集所有可能的状态构成的集合称为合称为状态空间状态空间;当当t和和e都是变量时，都是变量时， X(t,e)是一个是一个随机变量族随机变量族或者或者时间函数族时间函数族(称为称为随机过程随机过程）

8、。）。判断以下现象是否是一个随机过程？判断以下现象是否是一个随机过程？（1）示波器产生的余弦波示波器产生的余弦波X(t)=acos(wt+B),其中，其中，a,w为常量，为常量，B为初始相位，并为（为初始相位，并为（0，2）上均匀分布的随机变量。）上均匀分布的随机变量。 (2) 正弦波正弦波X(t)=Vcoswt,其中，其中，V为在为在(0,1)分布的随机变量分布的随机变量. 并画出并画出X(t)的一个样本函的一个样本函数数.通常我们可以根据随机变量通常我们可以根据随机变量X(t)在在时间时间和和状态状态上上的类型区分随机过程的类型。的类型区分随机过程的类型。在时间和状态上都连续在时间和状态上

9、都连续连续型随机过程连续型随机过程在时间上连续，在时间上连续，状态上离散状态上离散离散型随机过程离散型随机过程在时间上离散，在时间上离散，状态上连续状态上连续连续型随机序列连续型随机序列在时间上离散，在时间上离散，状态上离散状态上离散离散型随机序列离散型随机序列有限个随机变量统计规律联合分布函数随机过程统计规律有限维分布函数族随机过程的一维分布函数：随机过程的一维分布函数：提示提示: 随机过程的二维分布函数：121(,;,1)2F xx有限个随机变量有限个随机变量统计规律统计规律联合分布函数随机过程随机过程统计规律统计规律有限维分布函数族设XT=X(t),tT是随机过程，对任意n1和t1,t2

10、, ,tn T，随机向量(X(t1),X(t2), ,X(tn)的n维联合分布函数为:)(,)(),(1121,1nnnttxtXxtXPxxxFn称为随机过程随机过程X(t)的的n维分布函数维分布函数.n维概率密度函数为维概率密度函数为:这些分布函数的全体这些分布函数的全体1,),(2121,1nTtttxxxFFnnttn称为称为XT=Xt,t T的的有限维分布函数族有限维分布函数族。有限维分布函数的性质有限维分布函数的性质对于对于t1,t2, ,tn的任意排列的任意排列,21niiittt),(),(111,21,niiniinttttnttxxFxxxF当当mn时，时，),(),(21

11、,21,11mtttmttxxxFxxxFnmm有限维分布函数族有限维分布函数族对称性对称性相容性相容性Kolmogorov存在定理（柯尔莫哥洛夫）存在定理（柯尔莫哥洛夫）设已给参数集设已给参数集T及满足对称性和相容性条件的分布函数及满足对称性和相容性条件的分布函数族族F，则必存在概率空间（，则必存在概率空间（,F,P）及定义在其上的随）及定义在其上的随机过程机过程X(t),tT，它的有限维分布函数族是，它的有限维分布函数族是F。随机过程随机过程设XT=X(t),tT是随机过程，如果对任意tT，EX(t)存在，则称函数TttEXtmdefx),()(为XT的数学期望数学期望，反映随机过程在时刻

12、反映随机过程在时刻t的平均值的平均值。数字特征数字特征反映随机过程反映随机过程t时刻平均功率时刻平均功率反映随机过程在时刻反映随机过程在时刻t对均值的偏离程度对均值的偏离程度若对任意若对任意tT，E(X(t)2存在，则称存在，则称XT为为二阶矩过程二阶矩过程，而称而称TtstmtXsmsXEtsBXXdefX,),()()()(),(为为XT的的协方差函数协方差函数(混合中心矩混合中心矩)，反映随机过程在时，反映随机过程在时刻刻t和和s时的状态时的状态起伏值起伏值的的线性相关线性相关程度程度。协方差函数和相关函数有如下关系：协方差函数和相关函数有如下关系：)()(),(),(tmsmtsRts

13、BXXXX例题例题2.5: 设随机过程设随机过程0),sin()cos()(ttZtYtX其中，其中，Y和和Z是相互独立的随机变量，且是相互独立的随机变量，且EY=EZ0，DY=DZ=2，求，求X(t)的的均值函均值函数数和和协方差函数协方差函数。 课堂练习：课堂练习：设随机过程设随机过程X(t)=Vcos4t，其中，其中V是随机变量，其是随机变量，其数学期望是数学期望是5，方差为，方差为6，求随机过程，求随机过程X(t)的的均值均值Mx(t)、方差方差Dx(t)、相关函数相关函数RX(t1,t2)和和协方差函协方差函数数Bx (t1,t2)两个随机过程之间的关系两个随机过程之间的关系互协方差

14、函数互协方差函数互相关函数互相关函数定义定义：设设X(t),tT，Y(t), tT是两个二阶矩过程，则称是两个二阶矩过程，则称TtstmtYsmsXEtsBYXXY,),()()()(),(为为X(t),tT与与Y(t), tT的的互协方差函数互协方差函数，称，称)()(),(tYsXEtsRXY为为X(t),tT与与Y(t), tT的的互相关函数互相关函数。两个随机过程两个随机过程X(t),tT与与Y(t), tT的的互互不相关定义不相关定义0),(tsBXY互协方差函数与互相关函数之间的关系互协方差函数与互相关函数之间的关系)()(),(),(tmsmtsRtsBYXXYXY例题例题2.8

15、：设设X(t)为信号过程，为信号过程，Y(t)为噪声过程，令为噪声过程，令W(t)=X(t)+Y(t)，求，求W(t)的的均值函数均值函数和和相关函数相关函数。当两个随机过程互不相关且均值函数为零时:例题例题: 设设X(t)为信号过程，为信号过程，Y(t)为噪声过程，令为噪声过程，令W(t)=X(t)+Y(t)，求，求W(t)的均值函数和相关函数。的均值函数和相关函数。复随机过程复随机过程定义：定义：设Xt, tT，Yt, tT是取实数值的两个随机过程，若对任意tTtttiYXZ其中 ，则称Zt, tT为复随机过程复随机过程。1i复随机过程的数字特征函数复随机过程的数字特征函数tttZiEYE

16、XZEtm)()()()(| )(|)(2tmZtmZEtmZEtDZtZtZtZ),(tsZZZEtsR)()(),(tmZsmZEtsBZtZsZ)()(),(),(tmsmtsRtsBZZZZ两个两个复随机过程复随机过程Xt，Yt的的互相关函数互相关函数定义为定义为)(),(tsXYYXEtsR复随机过程复随机过程互协方差函数互协方差函数定义为定义为)()(),(tmYsmXEtsBYtXsXY随机过程的几种基本类型随机过程的几种基本类型 正交增量过程正交增量过程 独立增量过程独立增量过程 马尔可夫过程马尔可夫过程 正态过程正态过程 维纳过程维纳过程 平稳过程平稳过程定义：定义：设设X(

17、t),tT是是零均值零均值的二阶矩过程，若对任的二阶矩过程，若对任意的意的t1t2t3t4 T，有，有0)()()()(3412tXtXtXtXE则称则称X(t)是是正交增量过程正交增量过程。例题例题设设X(t),tT是正交增量过程，是正交增量过程，T=a,b为有限区为有限区间，且规定间，且规定X(a)=0，当，当astb时，求其协方差时，求其协方差函数函数BX(s,t)。结论结论: 正交增量过程的协方差可以由它的方差确定正交增量过程的协方差可以由它的方差确定.定义定义：设设X(t),tT是随机过程，若对任意的正整数是随机过程，若对任意的正整数n和和t1t2tn T，随机变量，随机变量X(t2

18、)-X(t1),X(t3)-X(t2), ,X(tn)-X(tn-1)是互相独立的，则称是互相独立的，则称X(t),tT是是独立增量过程独立增量过程。特点特点：独立增量过程在任一个时间间隔上过程状态的独立增量过程在任一个时间间隔上过程状态的改变，不影响任一个与它不相重叠的时间间隔改变，不影响任一个与它不相重叠的时间间隔上状态的改变。上状态的改变。例如例如：电话交换台0，t时间内接受到的电话呼叫数量。 服务系统（例如商场）在 0，t时间内的顾客数。互不相关互不相关相互独立相互独立二阶矩存在，均值函数恒为零二阶矩存在，均值函数恒为零定义：定义：设设X(t),tT是独立增量过程，若对任是独立增量过程

19、，若对任意意st，随机变量，随机变量X(t)-X(s)的分布的分布仅依仅依赖于赖于t-s，则称，则称X(t),tT是平稳独立是平稳独立增量过程。增量过程。例题例题2.10考虑一种设备一直使用到损坏为止，然后换考虑一种设备一直使用到损坏为止，然后换上同类型的设备。假设设备的使用寿命是随上同类型的设备。假设设备的使用寿命是随机变量，令机变量，令N(t)为在时间段为在时间段0,t内更换设备内更换设备的件数，通常可以认为的件数，通常可以认为N(t)，t0是是平稳独平稳独立增量过程立增量过程。定义：定义：设设X(t),tT是随机过程，若对任意正整数是随机过程，若对任意正整数n及及t1t2, 0，且，且其

20、条件分布其条件分布)(|)()(,)(|)(111111nnnnnnnnxtXxtXPxtXxtXxtXP则称则称X(t),tT是是马尔可夫过程马尔可夫过程。马尔可夫性马尔可夫性系统在已知系统在已知现在所处状态现在所处状态的条件下，它的条件下，它将将来所处的状态来所处的状态与与过去所处的状态过去所处的状态无关。无关。例如例如:天气预报天气预报 随机游动随机游动定义：定义：设设X(t),tT是随机过程，若对任意正整数是随机过程，若对任意正整数n及及t1,t2, ,tnT，(X(t1),X(t2), ,X(tn)是是n维维正态随机变量正态随机变量，则称，则称X(t),tT是是正态过程正态过程或或高

21、斯过程高斯过程。特点：特点： 在通信中应用广泛；（在通信中应用广泛；（中心极限定理中心极限定理） 只要只要n充分大，充分大，x1,x2,xn之和近似正态分之和近似正态分布布. 例如例如：高斯白噪声：高斯白噪声; 一个城市某个时刻的一个城市某个时刻的总耗总耗 电量；实验的测量误差。电量；实验的测量误差。 2.正态过程只要知道其正态过程只要知道其均值函数均值函数和和协方差函协方差函数数，即可确定其有限维分布，即可确定其有限维分布。一维正态随机变量的概念：一维正态随机变量的概念：一维正态随机变量X的概率密度函数可以表示为22()21( )2x aXfxe记为记为特征函数为特征函数为:2 ( ,)XN

22、a2 2 22 2( )exp(2)ujauXujueauC二维正态随机变量的概念：二维正态随机变量的概念：若随机变量X1,X2的联合概率密度函数可以表示为21112212221122221122()()11( ,)exp ()22(1)21 () xaaxaxaf x xx则称X1,X2为二维正态随机变量。其中为X1和X2的相相关系数关系数。对于上述二维随机变量，其边际概率密度函数可表示为211211()211( )2xaXfxe222222()221( )2xaXfxe因此其边际分布为一维正态分布 ，),(2111aNX),(2222aNX二维正态随机变量的联合密度也可表示为二维正态随机变量的联合密度也可表示为122211211( ,)exp()()2(2 )|Tf xxCxxaaC其中1122,xaxaxa21111222211212212222()()1()2(1)1 (1( ,)exp )22xaxaxaxxafx 21122122C n维正态随机变量的定义：维正态随机变量的定义：若若n维随机变量的联