重庆南开中学2019届高三第四次教学检测考试数学（理科)试题-430123867d0548db941e3202817dd6d8

1、绝密启用前重庆南开中学2019届高三第四次教学检测考试数学（理科)试题试卷副标题考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx题号一二三总分得分注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题)请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一、单选题1已知集合，集合，则( )ABCD2若复数为纯虚数，则实数的值为( )ABCD3在等比数列中，若，则( )ABCD4根据下图给出的年至年某地区社会消费品零售额及增长速度情况以下结论正确的是( )A年以来该地区社会消费品零售额与年份负相关B年以来该地区社会消费品零售额与年份宜用线性回归模型拟合C年该地区社会

2、消费品零售额同比增长速度最大D年以来该地区社会消费品零售额增长速度逐年递减5如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各棱中，最长的棱的长度为( )ABCD6若直线与圆相交于，两点，且，则( )ABCD7某旅游公司为了推出新的旅游产品项目，派出五名工作人员前往重庆的三个网红景点一“洪崖洞夜景、轻轨穿楼、长江索道”进行团队游的可行性调研若每名工作人员只去一个景点，每个景点至少有一名工作人员前往，其中工作员甲、乙需要到同一景点调研，则不同的人员分配方案种数为( )ABCD8已知为内一点且满足，若的面积为且，则( )ABCD9如图所示的程序框图，满足的输出有序实数对

3、的概率为( )ABCD10函数在区间内有唯一零点，则的取值范围为( )ABCD11过双曲线1（a0，b0）的一个焦点F1作一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线交于点B，若A恰好是F1B的中点，则双曲线的离心率是（）ABC2D12若函数的图象不经过第四象限，则正实数的取值范围为( )ABCD第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题13向量，向量若，则实数_14已知偶函数的图象关于直线对称，则_15三棱锥的个顶点在半径为的球面上，平面，是边长为的正三角形，则点到平面的距离为_16在正项数列中，其前项和满足，若数列，则数列的前项和为_评卷人得分三、解答题17已知函数

4、（1）求的单调递增区间；（2）求在区间上的值域18在直角梯形中，分别为，的中点（如图1）沿将四边形折起，使得（如图2） （1）求证：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值19“伟大的变革庆祝改革开放周年大型展览”于年月日在中国国家博物馆闭幕，本次特展紧扣“改革开放年光辉历程”的主线，多角度、全景式描绘了我国改革开放年波澜壮阔的历史画卷据统计，展览全程呈现出持续火爆的状态，现场观众累计达万人次，参展人数屡次创造国家博物馆参观纪录，网上展馆点击浏览总量达亿次下表是年月参观人数（单位：万人）统计表日期人数日期人数根据表中数据回答下列问题：（1）请将年月前半月（日）和后半月（日）参观人数统计对比茎叶图填

5、补完整，并通过茎叶图比较两组数据方差的大小（不要求计算出具体值，得出结论即可）；（2）将年月参观人数数据用该天的对应日期作为样本编号，现从中抽样天的样本数据若抽取的样本编号是以为公差的等差数列，且数列的第项为，求抽出的这个样本数据的平均值；（3）根据国博以往展览数据及调查统计信息可知，单日入馆参观人数为（含，单位：万人）时，参观者的体验满意度最佳，在从中抽出的样本数据中随机抽取三天的数据，参观者的体验满意度为最佳的天数记为，求的分布列与期望20过抛物线的焦点且斜率为的直线交抛物线于，两点，且（1）求的值；（2）抛物线上一点，直线（其中）与抛物线交于，两个不同的点（均与点不重合），设直线，的斜率

6、分别为，动点在直线上，且满足，其中为坐标原点当线段最长时，求直线的方程21已知函数，其中（1）若直线与相切，求实数的值；（2）当时，设函数在上的最小值为，求函数的值域22在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）求曲线上的动点到曲线的最短距离23已知（1）证明；（2）若，记的最小值为，解关于的不等式参考答案1C【解析】【分析】先求解A,B，再由并集运算求解即可【详解】=，则故选C【点睛】本题考查二次不等式的解法和对数不等式求解，考查集合运算，准确计算是关键，是基础题2B【解析】【

7、分析】化简z为a+bi(a,bR)的形式利用纯虚数概念求解即可【详解】故 ，解 故选B【点睛】本题考查复数的运算及基本概念，准确计算是关键，是基础题3D【解析】【分析】由等比数列性质得q,即可求解【详解】，则 故选D【点睛】本题考查等比数列的运算及基本性质，熟记公式是关键，是基础题4C【解析】【分析】利用图表逐项分析即可求解【详解】对A, 年以来该地区社会消费品零售额与年份正相关，故A错误；对B, 年以来该地区社会消费品零售额与年份宜用非线性回归模型拟合，故B错误;对C, 年该地区社会消费品零售额同比增长速度最大,故正确；对D, 2013年到2014年该地区社会消费品零售额增长速度递增，故D错

8、误故选C【点睛】本题考查图表分析能力，准确读图识图是关键，是基础题5B【解析】【分析】将三视图还原即可求解【详解】三视图还原成如图所示的几何体:三棱锥S-ABC，则 故选B【点睛】本题考查三视图，考查椎体的有关计算，是基础题6A【解析】【分析】由得圆心到直线的距离求解即可【详解】圆C: , 圆心C到直线的距离为1，则 ，解m=故选A【点睛】本题考查圆的方程，直线与圆的位置关系，距离公式，准确计算是关键，是基础题7B【解析】【分析】按甲乙分情况求解即可【详解】若甲、乙一起（无其他人）有 种若甲、乙与另一人一起（三人一起）有种 ，共18+18=36种故选B【点睛】本题考查排列组合的简单应用，考查分

9、类讨论思想，是基础题8A【解析】【分析】由得O为重心，进而得的面积，结合面积公式及数量积求解即可【详解】，O为重心，故 ， 故 ，则故选A【点睛】本题考查向量的简单应用，面积公式，向量的数量积，考查基本公式是基础题9B【解析】【分析】分析框图的意义结合几何概型求解即可【详解】由题知框图的意义是在内取点（x,y）,满足的概率因为与均关于原点中心对称，故概率为故选B【点睛】本题考查程序框图，考查面积型几何概型，准确理解框图含义是关键，是基础题10D【解析】【分析】由函数的单调性结合零点存在定理得a,b的不等式组，利用线性规划求范围即可【详解】易知单调递增，故即,画出不等式表示的可行域如图阴影所示：

10、表示可行域内的点（a,b）与A(-1,1)连线斜率的倒数，当直线为AB时，斜率最大此时最小，得B,故 故选D【点睛】本题考查函数的单调性及零点存在定理，考查线性规划，考查转化化归能力，是中档题11C【解析】【分析】由题意可知，渐近线方程为y±x，则F1A的方程为y0（x+c），代入渐近线方程yx可得B的坐标，由若A恰好是F1B的中点，所以|OB|c，即可求得离心率【详解】由题意可知，渐近线方程为y±x，则F1A的方程为y0（x+c），代入渐近线方程yx可得B的坐标为（，），因为若A恰好是F1B的中点，所以|OB|c，所以（）2+（）2c2，所以b23a2，所以c2a2+b2

11、4a2，所以e2故选C【点睛】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出B的坐标是解题的关键12C【解析】【分析】求导对a讨论判断函数的单调性求其极值即可求解【详解】 当,即 ,得 或，当 或 ， ，故在 单调递增，又，故图象不经过第四象限，符合题意当，即 时， ,得或，当 ， ，故在 单调递减，在递增，又，故图像经过第四象限，舍去故选C【点睛】本题考查函数的单调性，函数图像的应用，f（0）=0是突破点，是中档题13【解析】【分析】由向量垂直的坐标表示求解即可【详解】，则 ，得 故答案为【点睛】本题考查向量的坐标运算，垂直的坐标表示，熟记公式准确计算是关键，是基础题14【解析】

12、【分析】由对称性及奇偶性求得函数的周期求解即可【详解】由题 ，则函数的周期T=4, 则 =故答案为【点睛】本题考查函数的奇偶性对称性的应用，熟记性质的相互转化求得周期是关键，是基础题15【解析】【分析】由题意，球心在三棱锥各顶点的距离相等，球心到底面的距离等于三棱锥的高PA的一半，求出PA,，然后利用等体积求点到平面的距离【详解】ABC是边长为的正三角形，可得外接圆的半径2r2，即r1PA平面ABC，PAh，球心到底面的距离d等于三棱锥的高PA的一半即，那么球的半径R,解得h=2,又 由 知 ，得 故点到平面的距离为故答案为【点睛】本题考查外接球问题，锥的体积，考查计算求解能力，是基础题16【

13、解析】【分析】由递推关系得通项公式，进而求得 ，裂项相消求和即可【详解】,得，则 ，因为 ，则 ，又 ，即 ，故为等差数列， = ，则数列的前项和为 故答案为【点睛】本题考查数列递推关系求通项，等差数列的通项及求和公式，考查裂项相消求和，熟记基本公式是关键，是基础题17(1) ；(2) 【解析】【分析】（1）利用两角差的余弦和诱导公式化简f(x),再求单调区间即可；（2）由结合三角函数性质求值域即可【详解】（1）令，得，的单调递增区间为；（2）由得，故而【点睛】本题考查三角恒等变换，三角函数单调性及值域问题，熟记公式准确计算是关键，是基础题18(1)见证明；(2) 【解析】【分析】（1）证明平

14、面，利用面面垂直的判定即可证明；（2）建立空间角坐标系，由得DE的长，求面的法向量，利用二面角的余弦公式求解即可【详解】（1）由题设条件，则，又且则平面，又平面故平面平面（2）如图，建立空间角坐标系，则， ，设，则有，由知解得 从而， 平面的法向量为 设平面的法向量为 由得取y=,得则二面角的余弦值为【点睛】本题考查面面垂直的判定，考查空间二面角的向量求法，熟记判定定理，准确计算是关键，是基础题19(1)见解析；(2)3.3 (3)见解析【解析】【分析】（1）利用图表数据补全茎叶图即可判断；（2）利用等差数列确定7个数据再求平均数即可；（3）由（2）知所抽样本天中，有三天参观人数超过万人，其余

15、四天体验满意度最佳，得可取值，分别计算概率即可求解【详解】（1）由茎叶图可知，后半月数据分布较集中，故后半月数据的方差小于前半月数据的方差 （2）由题意，抽取到的样本编号分别是号、号、号、号、号、号和号，对应的样本数据依次是、和故平均值为： （3）由（2）知所抽样本天中，有三天参观人数超过万人，其余四天体验满意度最佳从而可取值，的分布列如下：【点睛】本题考查茎叶图分析，考查古典概型，考查超几何分布，准确计算是关键，是基础题20(1) (2) 【解析】【分析】（1）设直线方程为，联立抛物线方程由焦点弦长公式求解即可得P值；（2）直线与抛物线联立由结合韦达定理得直线恒过定点，利用得动点地轨迹为圆，

16、利用圆的性质即可求最小值【详解】（1）抛物线的焦点为，设直线方程为联立抛物线方程可得故：，解得（2）由（1）知抛物线方程为，从而点，设， 由可得，即从而该式满足式即直线恒过定点 设动点，动点在，故与重合时线段最长，此时直线，即：【点睛】本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，直线过定点问题，圆的应用，转化化归关键，是中档题21(1) (2) 【解析】【分析】（1）设切点为，由题意得解方程即可求解；（2）求导，得在上单调递增，由零点存在定理得唯一使得，进而判断g（x）的单调性求得最小值为，构造函数得其最小值即可【详解】（1）设切点为由题意得 （2），在上单调递增，唯一使得，在上单调递减，在上单调递增在处取得最小值，最小值为 令在）单调递减， 在单调递减，对，存在唯一的，使得，即的值域为综上，当时，函数在上有最小值，的值域为【点睛】本题考查导数的几何意义， 导数与函数的最值单调性，零点存在定理得应用，考查转化化归能力，是中档题22(1) 曲线:，曲线：(2)见解析【解析】【分析】（1）由参数方程与普通方程的互化及极坐标与普通方程互化求解即可；（2）由曲线上动点，得点到线的距离公式求解即可