数学基础练习题

1、（1）已知；画出的草图。（2）当时；证明（3）求函数的反函数。（4）已知；求（5）（6）；求（7）（8）（9）（10）（11）（1）（12）（13）（14）（15）（16）（17）（18）（19）（20）（21）；（22）（23）；（24）（25）（26）；（27）；（28）（29）（30）（31）（32）（33）（34）；表示不超过最大整数。（35）试将方程化为极坐标的形式。（36）已知；求（37）已知；且。证明存在并求其值。（38）若；。；，证明。（39）；（n重根号）。试求（40）（41）设为一可微函数，且；求（42）求空间曲线在处的切线方程和法平面。（43）讨论反常积分的敛散性。（44

2、）讨论反常积分；的敛散性。（45）；为自然数。（46）设；求（a），(b)（47）（48）（49）（50）（51）（52）（53）（54）已知，计算反常积分（55）；（56）求；（57）求证；并计算积分（58）设为上的连续函数，令。（1）求证；并计算（59）有一个向量场，其中。设为任意一封闭曲面；则（60）设有力场，求单位质量M，沿椭球圆移动一周（从z轴正向看去为逆时针方向）力所做的功。（61）；为所围成的封闭体积。（62）；（63）；（64）；（65）；（66）；，曲线的方向从z轴上方向下看是顺时针方向。（67）均匀薄板；对于轴上的任意一点；处的单位质量的引力。（68）均匀柱体；对于点，处的

3、单位质量的引力。（69）设有一椭球为，计算该椭球对轴上任意一质点的引力。（70）试计算任意两个带电物体之间的库伦引力（假设电荷连续分布）。（71）计算螺线对轴的转动惯量（72）计算椭球分别绕；轴转动时的转动惯量；（73）以表示椭球的上半部分，表示的外法线的方向余弦，求曲线积分（74）将展成幂级数（75）将按展成幂级数（76）将展成幂级数（77）将展成幂级数（78）求级数的和函数（79）求级数的和函数（80）求级数的和函数（81）求解常微分方程组的解（82）设；在上连续，已知方程组所对应的次方程组的一基本解组为；。试求所给方程组的通解及满足初值条件的特解。（83）试求方程组的一个基解矩阵，并计算

4、。其中（84）试求下列（a）、（b）两种情况方程组的解。其中（a）；，（b）；。（85）求解高维波动方程的cathy问题（86）求孤立子。（提示：令则且，）（87）求解定解问题：（88）在区域内具有一阶连续偏导数，试证明：（a）（b）（89）假设随机变量；分别求；（90）求解方程；其中的非负整数解个数。（91）现在有一座十层楼的宿舍，每层有10000个编了号的房间，宿舍内共住100人，每层分住10人。（a）不考虑这100个人的姓名，每间房所住人数不限，有多少种住法？（b）不考虑这100个人的姓名，每间房至多只能住一个人，有多少种住法？（c）考虑这100个人的姓名，上述两种情况的住法如何修正？（

5、d）比较分析（a）与（b）的两种住法。（92）设有5个穿绿色、3个穿灰色、2个穿蓝色制服的军官一起列队。（a）试问有多少种队形？（b）现在穿绿制服的有3种肩章，并任取一种佩戴，穿灰色的可有2种肩章，穿蓝色的可有4种肩章，试问有多少种队形？（93）假设把某地区的天气划分为：晴、阴、雨三种状态，若今天晴，则明天晴、阴、雨的概率分别是。如果今天阴，则明天晴、阴、雨的概率分别是。而今天雨，则明天晴、阴、雨的概率分别是。如果上述的划分情况一直正确，那么如果今天下雨，则一百天后天气情况如何？若果今天是晴，又如何？（94）设和满足条件（1）。（2）则有：（95）已知：试求：？（96）试确定的值，使（97）试

6、求所有整数，使在有理数域上可约。（98）已知；，试求商和余式。（99）设方阵满足条件，证明和都可逆，并求和。（100）求解线性方程组的基础解系，并表示其通解。（101）如果，证明：当且仅当。（102）设、满足，其中为三阶单位矩阵，是的伴随矩阵，求（103）设求（104）设，其中为四阶单位矩阵，是的转置矩阵。求矩阵（105）设求（106）已知二次型的秩为2。（a）求参数及此二次型矩阵的特征值。（b）指出方程表示何种曲面？（107）已知二次型通过正交变换化为标准型，求参数及所用的正交变换矩阵。（108）讨论二次型在什么条件下是正定的？（109）设是以为周期的连续函数，并且其傅里叶系数为，。（a）求

7、的傅里叶系数，。(b)利用(a)的结果证明：。（110）设且，求，。（111）已知三阶矩阵与三维向量使得向量组、线性无关，且满足。（a）记，求三阶矩阵，使。（b）计算行列式。（112）证明：阶实对称矩阵正定的充要条件是可逆矩阵，使得：。（113）已知、均为阶正定矩阵。证明：的特征值全大于零，当时，为正定矩阵。（114）验证函数（）满足微分方程（b）利用（a）的结果求幂级数的和函数。（115）设（a）求的值（b）试证：对任意的常数，级数收敛。（116）设，相互独立，同分布，求和。（117）设二维随机变量的概率密度函数为，其中和都是二维正态密度函数，且它们对应的二维随机变量的相关系数分别为和，它们

8、的边缘密度函数所对应的随机变量的数学期望都是零，方差都是1。（a）求随机变量和的密度函数，及和的相关系数。（b）问和是否相互独立？（118）设试验成功的概率为，失败的概率为。独立重复试验直到成功两次为止，以表示所需进行的试验次数，求的概率分布及数学期望。（119）设随机变量的分布函数为，求（120）设随机变量独立同分布，方差存在且大于零。求随机变量和的相关系数（121）电信公司将个人的电话资费单寄给个人，但信上各收件人的地址是以随机的次序填写的，以表示收到自己的电话资费单的人数，（a）求和。（b）试求这个人全都收不到自己的信件的概率是多少？当充分大时情况又如何？（122）如下电路网络，每条线上

9、标出的是电阻，点接地，由点通入的电流皆为100A，求四点的电势。（123）已知形如的微分方程，且已知它的一个特解为。试证明该方程的通解是可解的，并求解（）（124）试求的通解。（125）求解的通解。（126）已知空间点群，试列出群的乘法表以及它的特征标表。（127）中的紧致曲面，如果它的高斯曲率，证明它同胚于一球面。（128）试将方程化为线性方程组，然后对方程组求二次型函数，使其通过方程组的全导数，并判断函数的定号性。（129）求解方程微分方程满足初始条件的特解。（130）设集合，证明集合构成群，并讨论其紧致性。（是定义在复数域上的方阵的集合）（131）试给出维旋转群的群体积，并讨论其群的紧致

10、性。（132）已知群的特征标表（数据不完整）以及两个可约表示和如下：作用对象作用对象11？1？1，111？一1一1？一11一11一11一1？一1一1121一1一2？一1一12001032一32272一2322（a）完成上表未填写的数据（已知？）。（b）将和分解成的不可约表示。（133）求函数和在群的群元的作用下的变换性质。（134）设一集合，若在上定义向量场为，则向量场的总指标为？（135）证明群是交换群的充分必要条件是。（136）证明形如：的方阵对矩阵的乘法构成群。（137）设集合构成一群，试证（138）已知，求？（取正整数。）（139）计算多项式的展开式中的系数。（140）设是一个群，对于。定义在中的中心化子为。证明：（a）是的子群；（b）。（141）设是一个群，集合是的一个子集，且满足关系式（a）（b）。试列出群的所有元素以及的乘法表。（142）设有一多项式，