概率论与数理统计经管类期末试卷A

1、一、填空题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分）是三个随机事件，用文字表示事件；2.若，且，则；【分析】的概率分布为则【分析】当时当时,则，；有，则的协方差；【分析】6.设为来自正态总体的一个样本，且，则服从分布；二、单选题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分）7.随机事件之交为不可能事件，则称与为 【 】 对立事件； 互不相容事件； 相互独立事件； 等价事件.8. 对于任意二事件， 【 】； ； .9. 下列函数中，可以作为随机变量的分布函数的是 【】； ； .10.随机变量服从分布，在计算时，不可采用的方法有【 】 二项分布； 泊松分布逼近； 正态分布逼近； 全概公式.11.设随机

2、变量的联合密度函数为则概率 【 】； ； .【分析】12.设是来自总体的一个简单随机样本，总体的均值,则不是的无偏估计量的是【 】； ； 【分析】用列举法不是的无偏估计，因为是的无偏估计，因为是的无偏估计，因为是的无偏估计，因为综上，由P153定义1知，、都是的无偏估计，而不是的无偏估计所以，选三、判断题（本大题共5小题，每小题2分，满分10分）两个事件满足，则互不相容；【 × 】服从“”分布（），且相互独立，则服从分布； 【 】服从参数的泊松分布，则; 【 × 】【分析】16.两个随机变量与相互独立，则与一定不相关; 【 × 】“纳伪错误”是指：原假设不成立，而

3、检验结果却接受. 【 】四、计算题（本大题共5小题，满分38分）18.某科研项目由三个小组独立研究，3个小组成功完成该项目的概率分别为0.25、0.3、0.4，求该项目被研究成功的概率. （6分）【解】19.一箱产品是由三家工厂生产的，其中是第一家工厂生产的，其余二厂各生产.已知第一、二、三家工厂的不合格品率分别是，现从该箱中任取一只产品，求：（1）取到不合格产品的概率是多少？（2）若任取一只产品是不合格品，求它是第一家工厂生产的概率. （8分）【解】设事件= 取到不合格品 “结果”显然，由3个“原因”引发： 取到的产品是第家工厂生产的 注意到构成一个完备事件组.（1）取到不合格产品的概率为（

4、2）经检验发现取到的产品为次品，则该产品是甲厂生产的概率为20.某元件寿命（小时）的密度函数为（1）确定常数；（2）问一个元件开始使用的150小时中损坏的概率是多少？（3）若某台设备中有3个这样的元件，问开始使用的150小时中至少有一个损坏的概率是多少？【解】（1）确定常数（2）一个元件开始使用的150小时中损坏的概率为（3）若某台设备中有3个这样的元件，开始使用的150小时中至少有一个损坏的概率设事件l 另解21.把一枚硬币连掷三次，以表示三次中正面出现的次数，表示在三次中正面出现的次数与反面出现的次数之差的绝对值，试求的联合分布及边缘分布. （8分）【解】（1）求出二维离散型随机向量的所有

5、可能取值分别为，（2）依次求出二维离散型随机向量在各组取值点取值的概率： 由第一章P26定理3（定理，），得（3）列表写出二维离散型随机向量的联合概率分布及边缘分布其中二维离散型随机向量关于的边缘分布为（分别为表中各行概率值之和）即二维离散型随机向量关于的边缘分布为（分别为表中各列概率值之和）即22. 设二维随机向量的联合概率密度函数为（1）求的边缘密度函数；（2）与是否独立？（8分）【解】（1）二维随机向量关于的边缘密度函数为二维随机向量关于的边缘密度函数为（2）因为所以，与独立五、应用题（本大题共4小题，每小题6分，满分24分）23.某厂产品中，一等品比率为，先从该厂的产品中随机抽出100

6、个，用中心极限定理计算一等品的个数在18个到25个的概率.备查数据：【解】利用棣莫佛拉普拉斯定理的直观模式设 = “从该厂的产品中随机抽出个，一等品的个数” 在重试验中，事件（抽到一等品）恰好发生的次数 ，则24. 设总体的密度函数为取为总体的一组样本观察值，求参数的最大似然估计值.【解】利用最大似然估计法（连续型）在样本观察值附近取值的概率（ 设 ）作似然函数取对数并化简为常数 似然方程：解出25.在某地区小学五年级男生中随意抽选25名，测得其样本的平均身高为150厘米，标准差为12厘米，假设该地区小学五年级的男生身高服从正态分布,试根据所得数据求的置信区间.备查数据：【解】设该地区小学五年

7、级的男生身高为厘米，由题设知：总体（总体均值，总体方差均未知）问题类型：正态总体，总体方差未知利用单正态总体参数的（双侧）置信区间表（教材P178表6-4-1）知，总体均值的置信度为的置信区间（）为由题设，取：样本容量置信度样本均值的观察值厘米样本标准差的观察值厘米分位数 将上述数据代入式得，该地区小学五年级的男生身高的置信度为的置信区间为26.某厂生产的缆绳的抗拉强度，现在从改进工艺后生产的缆绳中随机抽取10根，检测其抗拉强度，得样本方差，当显著性水平时，能否据此样本认为，新工艺生产的缆绳的抗拉强度的方差较以前有显著变化？备查数据：【解】问题类型：正态总体，总体均值未知，对总体方差进行假设检验（双侧检验）由单个正态总体的均值与方差的假设检验的拒绝域表知，可利用检验l 检验假设双侧检验l 枢轴量l 检验统计量其观察值为 l 拒绝域可简化表示为不等式表示l 检验由题设，取：样本容量显著性水平待检总体方差为样本方差的观察值分位数代入上述数据，得检验统计量的观察值满足检验（ 即，值未落入拒绝域中 ）l 推断接受原假设 （即，拒绝备择假设）即，可以认为：新工艺生产的缆绳的抗拉强度的方差未变.从而认为新工艺生产的缆绳的抗拉强度的方差较以前没有显著变化六、证明题（本大题共1小题，满分4分）服从指数分布，概率密度函数为求证：的概率密度函数为【证明】解法1：利用定义的分布