不用积分巧算均质刚体的转动惯量

1、2008年 1 月 Journal of Science of TeachersCollege and University Jan. 2008 文章编号:1007-9831(200801-0087-03不用积分巧算均质刚体的转动惯量孙艳梅(齐齐哈尔大学 实践教学与设备管理处,黑龙江 齐齐哈尔 161005摘要:证明了有一类均质刚体的转动惯量可以用少数几个质点做代表进行计算,并给出了计算的通式,从而可以不用积分就能计算出其转动惯量.提出了不用积分法推出刚体转动惯量计算公式的新方法.关键词:均质刚体;转动惯量;质心中图分类号:O313.3 文献标识码:A1 刚体转动惯量的基本理论和研究现状转动惯

2、量是刚体的一个非常重要的物理量,国内已对其有所研究,有的用积分法1-2对许多物体的转动惯量进行了计算:m R R m I i i Z d 22=.有的运用惯量张量法及平行轴定理,求出了均质圆锥、圆台和圆柱对母线的转动惯量3;有的介绍了标量变换法计算正方体的转动惯量1182;有的找出形状规则常见均质缸体在形状上的联系,利用2种均质刚体的转动惯量推出它他相关刚体的转动惯量4.本文将证明有一类均质刚体的转动惯量可以用少数几个质点做代表进行计算,并给出了计算的通式,从而可以不用积分就能计算出其转动惯量.2 不用积分巧算一类均质刚体的转动惯量2.1 证明及通式的推导物体对轴的转动惯量可以表示为2kml

3、I = (1 其中:k 是常数,由物体的形状和通过物体质心C 的轴的方向j K 决定;l 是物体的特征尺寸;m 是物体的质量.现把物体分成n 个小块,其形状和取向都和原来的物体一样,每个小块对质心的转动惯量都可以用式(1表示,常数k 相同,但m ,l 的值不一定相同.由平行轴定理知: i i i i a j r m I +=2(K K (2 其中:i m 是第i 个小块的质量;i r K 是从整个物体的质心点C 到第i 个小块的质心的位置矢量;i a 是第i 个小块对通过自身质心并与j K 平行的轴的转动惯量.物体的转动惯量可以表示为=ni i I I 1 (3其中:i I 是第i 个小块对通

4、过质心C 的轴的转动惯量.若物体是一维的,则可把其分为2个大小相等的小块,每块的长度和质量都是原来的一半;若物体是收稿日期:2007-09-10作者简介:孙艳梅(1979-,女,吉林前郭人,助教.E-mail:sym791122二维的,则可把其分为4个大小相等的小块,每块长度和宽度都是原来的一半,质量都是原物体的1/4;若物体是三维的,则可把其分为8个大小相等的小块,每块的长度、宽度和高度都是原来的一半,质量都是原物体的1/8.即每个小块的尺寸是原物体的一半,那么可以表示为nkml l n m k a i 42(22= (4 将式(1代入式(4,得nI a i 4= (5 式(3变为4(4(n

5、 1i 212I j r m n I j r m I i i n i i i +=+=K K K K (6 又因为有n 个相等的小块,故nm m i = (7 将式(7代入式(6并化简得21(34=n i i j r n m I K K (8 其中:d n 2=,d 是物体的维数.式(8就是均质刚体转动惯量的表达式.2.2 实例如图1所示,质量为m 的均质细棒,长为l ,求细棒对Z 轴的转动惯量5.细棒是一维的,n =2,即可把细棒分为2个长度为原来一半的细棒,故 222211214(4(234(34ml l l m j r n m I n i i i =+=K K 如图2所示,质量为m 的均

6、质立方体,边长为l ,求其对Z 轴的转动惯量6-7. 立方体是三维的,所以823=n ,即可将其分为8个相等的小立方体,每个小立方体的质量为8 m ,边长为2l ,每个小立方体的质心到Z 轴的距离为l 42,则 226 1842(834ml l m I = 2.3 应用 位置矢量i r K 表示形状和原物体相似而尺寸为原物体一半的第i 个小块质心的位置.令i i r r K K 2=,则位置矢量i r K 确定物体的第i 个顶点的位置.因为有n 个相等的小块,nm m i =,方程(8变为 21(3=n i i j r n m I K K (9 式(9是对物体质心的转动惯量,并把求物体对质心的

7、转动惯量转化为求一组质点的转动惯量.只要考虑适当的质点系,就能求出物体的转动惯量8-9.综上所述,对于均质刚体的转动惯量,提出了不用积分法推出其计算公式的新方法,本文的研究对大学物理的教学和研究都很有意义.(下转第100页施密特触发器的教学内容,属于电子技术基础理论中非常重要的单元电路,因此有对其进行教学研究的必要.对现代电子技术领域内2类不同芯片组成的施密特触发器的特点进行了归纳和定性的比较,并借助于施密特触发器特有的电压传输特性,建立了它的标志符号,从而能够很方便地判断出是反相输入或者是同相输入施密特触发器.参考文献:1 康华光. 电子技术基础(数字部分M.4版.北京:高等教育出版社,20

8、00:364.2 童诗白,华成英. 模拟电子技术基础M. 3版.北京:高等教育出版社,2001:414.3 曹汉房. 数字电路与逻辑设计M.4版.武汉:华中科技大学出版社,2004:314.4 阎石. 数字电子技术基础M.4版.北京:高等教育出版社,2001:375.5 张凤言.电子电路基础M.2版.北京:高等教育出版社,1995:240.Study of teaching method about Schmitt triggerWANG Xue-dian(School of Electricity and Information,Wuhan University of Engineering

9、,Wuhan 430073,ChinaAbstract:Sums up and compares various Schmitt triggers,a kind of unit circuit extremely important in theories of basic electronic technology,points out the similarities and main differences between the ones in common use with two kinds of chips,advances for the first time a simple

10、 and praticable rule to distinguish the phased and phasing-back ones, introduces a standard calculating formula of threshold voltage of the phased and phasing-back Schmitt trigger realized by operational amplifiers,and suggests as well that when giving the lessons about this part,the teachers in thi

11、s field adopt the teaching method of inducing,comparing and then summarizing briefly at the same time while necessarily analizing and explaining to achieve more ideal teaching results.Key words:Schmitt trigger;operational amplifier;logic gate;rise extended line;fall extended line(上接第88页参考文献:1 赵凯华,罗蔚

12、茵.力学M. 北京:高等教育出版社,1995:177-182.2 周衍伯. 理论力学教程M. 北京:高等教育出版社,1985:227.3 楼智美. 巧算常见均质旋转体对母线的转动惯量J. 大学物理,2003,22(11:26-27.4 秦瑶. 常用均质刚体的转动惯量的求法讨论J. 大学物理,2002,21(2:39-41.5 孙炳华,徐春环. 计算转动惯量的方法J.牡丹江医学院学报,1998,19(2:40.6 周海英,陈浩,张晓炜. 巧算一类均质刚体的转动惯量J.大学物理,2005,24(2:16-17.7 张效松. 均质几何体转动惯量计算的一种方法J. 力学与实践,2000,22(2:60

13、-62.8 王玉梅,孙庆龙. 均质球体的转动惯量J.平顶山工学院学报,2005,14(2:63-64.9 吴文旺. 求解刚体转动惯量的一种简捷方法J.工科物理,1997(2:14-17.Obtaining the rorational inertia of some uniformed bodies without doing integralSUN Yan-mei(Department of Practice Teaching and Equipment Management,Qiqihar University,Qiqihar 161006,ChinaAbstract:Proves that the rorational inertia of some uniformed bodies can be calculated with several particles,and gives out general formula for calculation,the rorational