2020年九年级数学三轮冲刺复习培优练习：《二次函数动点综合压轴》（二）

1、2020年九年级数学三轮冲刺复习培优练习：二次函数动点综合压轴（二）1如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：ykx+n与y轴交于点C，与抛物线yx2+bx+c的另一个交点为D，已知A（1，0），D（5，6），P点为抛物线yx2+bx+c上一动点（不与A、D重合）（1）直接写出抛物线和直线l的解析式；（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，连接PA、PD，当PAD的面积最大时，P点的坐标是 ；当AB平分DAP时，求线段PA的长（3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M

2、的坐标；若不存在，请说明理由2如图，抛物线yx2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点点A坐标的为（3，0），点C的坐标为（0，3）（）求抛物线的解析式；（）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQAB交抛物线于点Q，过点Q作QNx轴于点N若点P在点Q左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求AEM的面积；（）在（）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ，过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）若FG2DQ，求点F的坐标3已知：二次函

3、数yx22mxm2+4m2的对称轴为l，抛物线与y轴交于点C，顶点为D（1）判断抛物线与x轴的交点情况；（2）如图1，当m1时，点P为第一象限内抛物线上一点，且PCD是以PD为腰的等腰三角形，求点P的坐标；（3）如图2，直线ymx和抛物线交于点A、B两点，与l交于点M，且MOMB，点Q（x0，y0）在抛物线上，当m1时，h+12my026my0时，求h的最大值4已知点P（2，3）在抛物线L：yax22ax+a+k（a，k均为常数，且a0）上，L交y轴于点C，连接CP（1）用a表示k，并求L的对称轴及L与y轴的交点坐标；（2）当L经过（3，3）时，求此时L的表达式及其顶点坐标；（3）横、纵坐标都

4、是整数的点叫做整点如图，当a0时，若L在点C，P之间的部分与线段CP所围成的区域内（不含边界）恰有4个整点，求a的取值范围；（4）点M（x1，y1），N（x2，y2）是L上的两点，若tx1t+1，当x23时，均有y1y2，直接写出t的取值范围5如图，直线yx3分别与x轴、y轴交于点B，C，抛物线yax2+bx+c经过B，C两点，且与x轴的另一交点为A（1，0）（1）求抛物线的函数解析式；（2）如图，点P在第三象限内的抛物线上连接AC，PB，PC，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标；在的条件下，G为x轴上一点，当PG+AG取得最小值时，求点G的坐标；（3）如图，Q为x轴下方抛物线上任意一

5、点，D是抛物线的对称轴与x轴的交点，直线AQ，BQ分别交抛物线的对称轴于点M，N问：DM+DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由6如图，抛物线yax23ax+4（a0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线ym，交抛物线于D、E两点（1）当a时，求A，B两点的坐标；（2）当m2，DE4时，求抛物线的解析式；（3）当a1时，方程ax23ax+4m在6x4的范围内有实数解，请直接写出m的取值范围： 7如图1所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知C点坐标为（0，4），抛物线的顶点的横坐标为，点P是第四象限内抛物线上的动点，四边形OPAQ是平行四边形，设点P的

6、横坐标为m（1）求抛物线的解析式；（2）求使APC的面积为整数的P点的个数；（3）当点P在抛物线上运动时，四边形OPAQ可能是正方形吗？若可能，请求出点P的坐标，若不可能，请说明理由；（4）在点Q随点P运动的过程中，当点Q恰好落在直线AC上时，则称点Q为“和谐点”，如图（2）所示，请直接写出当Q为“和谐点”的横坐标的值8如图，一条抛物线与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），D为抛物线的顶点，点P在x轴上（1）求抛物线解析式；（2）若PCBCBD，求点P的坐标；（3）过点P作直线lAC交抛物线于Q，是否存在以点A，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出

7、点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（4）坐标平面内一点M到点B的距离为1个单位，求DM+OM的最小值9在四边形OABC中，ABOC，BCx轴于C，A（1，1），B（3，1），动点P从O点出发，沿x轴正方向以3个单位/秒的速度运动过P作PQOA于Q设P点运动的时间为t秒（0t），OPQ与四边形OABC重叠的面积为S（1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式并确定顶点M的坐标；（2）用含t的代数式表示P、Q两点的坐标；（3）将OPQ绕P点逆时针旋转90°，是否存在t，使得OPQ的顶点O或Q落在抛物线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由；（4）求S与t的函数解析式；10如图所示

8、，抛物线yax2+bx+4的顶点坐标为（3，），与y轴交于点A过点A作ABx轴，交抛物线于点B，点C是第四象限的抛物线上的一个动点，过点C作y轴的平行线，交直线AB于点D（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点E在y轴的负半轴上，且AEAD，直线CE交抛物线yax2+bx+4于点F求点F的坐标；过点D作DGCE于点G，连接OD、ED，当ODECDG时，求直线DG的函数表达式参考答案1解：（1）将点A、D的坐标代入直线表达式得：，解得：，故直线l的表达式为：yx1，将点A、D的坐标代入抛物线表达式，同理可得抛物线的表达式为：yx2+3x+4；（2）当PAD的面积最大时，P点到直线AD的距离就最大P

9、点在与直线AD平行且与抛物线相切的直线上，即P点是这两个图象的唯一的交点，设P点坐标为（x，y），由题意得，x24x+m40，直线yx+m与抛物线只有一个交点，42+4（m4）0，m8，x24x+40，x1x22，代入抛物线的解析式得y4+6+46，P（2，6）；故答案为：（2，6）过点P作PEx轴于点E，yx1，A（1，0），C（0，1），OAOC，AOC90°，CAB45°，当AB平分DAP时，BAPDAB，则BAP45°，PEA是等腰直角三角形，PEEA，设P点坐标为（m，n），由题意得，m+1m2+3m+4，m13，m21（舍去），PEEA4，PA4（3）

10、NC5，当NC是平行四边形的一条边时，设点P坐标为（x，x2+3x+4）、则点M（x，x1），由题意得：|yMyP|5，即：|x2+3x+4+x+1|5，解得：x2±或0或4（舍去0），则点M坐标为（2+，3）或（2，3+）或（4，5）；当NC是平行四边形的对角线时，则NC的中点坐标为（0，），设点P坐标为（m，m2+3m+4）、则点M（n，n1），N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形，则NC的中点即为PM中点，即：m+n0，2，解得：m0（舍去）或m4，故点M（4，3）；故点M的坐标为：（2+，3）或（2，3+）或（4，5）或（4，3）2解：（）依题意解得抛物线的解析式yx22

11、x+3；（）yx22x+3（x+1）2+4，抛物线的对称轴是直线x1，设M（x，0），P（x，x22x+3），其中3x1，P、Q关于直线x1对称，设Q的横坐标为a，则a（1）1x，a2x，Q（2x，x22x+3），MPx22x+3，PQ2xx22x，周长d2（22xx22x+3）2x28x+22（x+2）2+10，当x2时，d取最大值，此时，M（2，0），AM2（3）1，设直线AC的解析式为ykx+b，则，解得，设直线AC的解析式为yx+3，将x2代入yx+3，得y1，E（2，1），EM1，；（）由（）知，当矩形PMNQ的周长最大时，x2，此时点Q （0，3），与点C重合，OQ3，yx22x+

12、3（x+1）2+4，D（1，4），如图，过D作DKy轴于K，则DK1，OK4，QKOKOQ431，DKQ是等腰直角三角形，DQDK，设F （m，m22m+3），则G （m，m+3），FGm+3（m22m+3）m2+3m，m2+3m4，解得m14，m21，当m4时，m22m+35，当m1时，m22m+30，点F（4，5）或（1，0）3解：（1）针对于二次函数yx22mxm2+4m2，令y0，则x22mxm2+4m20，（2m）24×1×（m2+4m2）4m2+4m216m+88（m1）20，抛物线与x轴必有交点，即当m1时，有一个交点，当m1时，有两个交点；（2）当m1时，抛

13、物线的解析式为yx22x+1（x1）2，C（0，1），D（1，0），PCD是以PD为腰的等腰三角形，如图1，当PCPD时，点P是CD的垂直平分线上，C（0，1），D（1，0），OCOD1，CD的垂直平分线的解析式为yx，联立解得，或，点P的坐标为（，）或（，），当PDCD时，点D是CP的垂直平分线上，点P的纵坐标为1，则x22x+11，x0或x2，P（2，1），即满足条件的点P的坐标为（，）或（，）或（2，1）；（3）二次函数yx22mxm2+4m2的对称轴为l，抛物线的对称轴l为xm，点M的横坐标为m，点M在直线ymx上，M（m，m2），MOMB，点B（2m，m2），将点B（2m，m2）代入

14、二次函数yx22mxm2+4m2得，m24m24m2m2+4m2，m1或m，m1，m，抛物线的解析式为yx2x+（x）2，点Q（x0，y0）在抛物线上，y0（x0）2，my026my0m（y02+6y0）（y0+3）29（x0）2+32+12（x0）2+2+12，h+12my026my0，h（x0）2+2，当x0时，h最大4解：解：（1）点P（2，3）在抛物线L：yax22ax+a+k（a，k均为常数且a0）上，34a4a+a+k，k3a；抛物线L的对称轴为直线x1，即x1；（2）L经过点（3，3），9a6a+a+k3，k3a，a2，k5L的表达式为y2x24x3；y2（x1）25，顶点坐标为

15、（1，5）；（3）顶点坐标（1，a3），在点C，P之间的部分与线段CP所围成的区域内（不含边界）恰有5个整点，2a33，6a5；（4）当a0时，t3或t+11，t3或t2；观察图象，此时有不符合条件的点使y1y2，故此情况舍去；当a0时，t+13且t1，1t2；综上所述，1t2；5解：（1）在yx3中，令x0，得y3；令y0，得x3B（3，0），C（0，3）设抛物线的函数解析式为ya（x+3）（x1）将点C（0，3）代入，得a1抛物线的函数解析式为yx2+2x3；（2）如图1，过点P作PEx轴于点E，交BC于点F设点P的坐标为（t，t2+2t3），则点F的坐标为（t，t3）PFt3（t2+2t

16、3）t23tS四边形ABPCSBPC+SABCPFOB+ABOC（t23t）+60，当t时，S四边形ABPC取得最大值此时点P的坐标为；如图2，在y轴上取一点Q（0，），作直线AQ，过点G作GTAQ于T，连接PG在RtAOQ中，AQ，sinOAQ，GTAG，PG+AGPG+GT，根据垂线段最短，可知当P，G，T共线，且PTAQ时，PG+AG的值最小，直线AQ的解析式为yx+，又PTAQ，直线PT的解析式为y2x，G（，0）（3）DM+DN是定值如图3，过点Q作QHx轴于点HNDx轴，QHNDBQHBND，AMDAQH，设点Q的坐标为（k，k2+2k3），则HQk22k+3，BH3+k，AH1k

17、D是抛物线的对称轴与x轴的交点，ADBD2，DN22k，DM2k+6DM+DN2k+6+22k8DM+DN是定值，该定值为86解：（1）当a时，令yx23×（）x+40，解得：x5或2，故点A、B的坐标分别为（5，0）、（2，0）；（2）函数的对称轴为x，DE4，m2，故点D（，2），将点D的坐标代入yax23ax+4并解得：a，故抛物线的表达式为：yx2+x+4；（3）当a1时，yx2+3x+4，令y0，则x6或4，当x6时，yx2+3x+450，函数的对称轴为x，则顶点坐标为（，），当6x4时，50y，故m的取值范围为：50m，故答案为：50m7解：（1）抛物线与y轴交于点C，顶

18、点的横坐标为，则，解得，故抛物线的抛物线为：yx2x+4；（2）对于yx2x+4，令y0，则x1或6，故点B、A的坐标分别为（1，0）、（6，0）；如图，过点P作PHy轴交AC于点H，由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：yx+4，设点P（x，x2x+4），则点H（x，x+4），APC的面积SSPHA+SPHC×PH×OA×6×（x+4x2+x4）2x2+12（1x6），当x1时，S10，当x6时，S0，故使APC的面积为整数的P点的个数为9个；（3）当四边形OPAQ是正方形时，点P只能在x轴的下方，此时OAP为等腰直角三角形，设点P（x，y），则x+

19、y0，即yx2x+4x，解得：x或4，故点P的坐标为（，）或（4，4）；（4）设点P（m，m2m+4），为点A（6，0），设直线AP的表达式为：ykx+t，同理可得，直线AP的表达式为：y（m1）（x6），APOQ，则AP和OQ表达式中的k值相同，故直线OQ的表达式为：y（m1）x，联立并解得：x，则点Q（，4），四边形OPAQ是平行四边形，则AO的中点即为PQ的中点，则m+6，解得：m3，则3，故Q的横坐标的值为38解：（1）抛物线与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，设此抛物线的解析式为ya（x+1）（x3），将点C（0，3）代入，得a1，y（x+1）（x3）x2+2x+3；（2）yx

20、2+2x+3（x1）2+4，顶点D（1，4），设直线DB解析式为ykx+b，将D（1，4），B（3，0）代入得，解得：，直线DB解析式为y2x+6，如图1，当点P在点B左侧时，PCBCBD，CPBD，设直线CP解析式为y2x+m，将C（0，3）代入，得m3，直线CP解析式y2x+3，当y0时，x，P（，0）；如图2，当点P在点B右侧时，作点P关于直线BC的对称点N，延长CN交x轴于点P'，此时P'CBCBD，C（0，3），B（3，0），OCOB，OBC为等腰直角三角形，CPB45°，NBC45°，PBN为等腰直角三角形，NBPB3，N（3，）；设直线CN的解

21、析式为：ynx+t，将C（0，3），N（3，）代入直线CN解析式ynx+t得，解得，直线CN解析式为yx+3，当y0时，x6，P'（6，0），综上所述，点P坐标为（，0）或（6，0）（3）如图3，当四边形APQC为平行四边形时，CQAP，CQAP，yC3，yQ3，令x2+2x+33，解得：x10，x22，Q（2，3），如图4，当四边形AQPC为平行四边形时，ACPQ，ACPQ，yCyAyPyQ3，yP0，yQ3，令x2+2x+33，解得，x11+，x21，Q1（1+，3），Q2（1，3），综上所述，点Q的坐标为Q（2，3）或（1+，3）或（1，3）（4）点M到点B的距离为1个单位，点M

22、在以点B为圆心，半径为1的圆上运动，如图5，在x轴上作点E（，0），连接BM、EM、DE，BEOBOE3，BM1，MBEOBM，MBEOBM，MEOM，DM+OMDM+ME，当点D、M、E在同一直线上时，DM+OMDM+MEDE最短，D（1，4），DE，DM+OM的最小值为9解：（1）抛物线过点A（1，1），B（3，1），抛物线的对称轴为直线x2，抛物线与x轴的另一个交点坐标为（4，0），设抛物线的解析式为yax（x4），把A（1，1）代入得a1（3）1，解得a，抛物线的解析式为yx（x4），即yx2x；y（x2）2，顶点M的坐标为（2，）；（2）作QNx轴于N，AHx轴于H，如图1，A（1，

23、1），OHAH1，AOH为等腰直角三角形，ONQ为等腰直角三角形，QNONNPOP，P（3t，0），Q（t，t）；（3）存在OPQ绕P点逆时针旋转90°得到OPQ，如图2，作QKx轴于K，QPQ90°，POx轴，POPO3t，PQPQt，则O（3t，3t）；KPQ90°OPQ45°，PQK为等腰三角形，PKQkt，Q（t，t），当O（3t，3t）落在抛物线上时，3t9t23t，解得t10，t2；当Q（t，t）落在抛物线上时，tt2t，解得t10，t2；综上所述，当t为或时，使得OPQ的顶点O或Q落在抛物线上；（4）当0t时，如图1，S3ttt2；当t1时，如图3，PQ交AB于E点，SSPOQSAEQt3t（t1）2（t1）3t1；当1t，如图4，PQ交AB于E点，交BC于F点，POQ为等腰直角三角形，CPF45°，PCF为等腰直角三角形，PCCF3t3，BF1（3t3）43t，SBEF（43t）2t212t+8，SS梯形OABCS