边值问题的数值解法

1、第八章常微分方程数值解法 在具体求解常微分方程时，必须附加某种定解条件。定解条件通常有两在具体求解常微分方程时，必须附加某种定解条件。定解条件通常有两种，一种是初始条件，另一种是边界条件。与边界条件相应的定解问题称为种，一种是初始条件，另一种是边界条件。与边界条件相应的定解问题称为边值问题边值问题。本节介绍求解两点边值问题。本节介绍求解两点边值问题 ， byyyyxfy（8.6.1） 。， byyxfyxqyxpy（8.6.2）的数值解法。当的数值解法。当 关于关于 和和 是线性时，式（是线性时，式（8.6.1）为线性两点边值问题）为线性两点边值问题fyy8.6.1 打靶法打靶法 打靶法打靶法

2、 的基本原理是将两点边值问题（的基本原理是将两点边值问题（8.6.1）转化为下列形式的初值问题）转化为下列形式的初值问题第八章常微分方程数值解法（8.6.3） ，ksyxyyyxfy 这里的这里的 为为 在在 处的斜率。令处的斜率。令 ，上述二阶方程可降为一阶方程组，上述二阶方程可降为一阶方程组ksyyz（8.6.4） 。，ksazayzyxfzzy因此，边值问题变成求合适的因此，边值问题变成求合适的 ，使上述方程组初值问题的解满足原边值问，使上述方程组初值问题的解满足原边值问题题的右端边界条件的右端边界条件 ，从而得到边值问题的解。这样，把一个两点边值问，从而得到边值问题的解。这样，把一个两

3、点边值问题的数值解问题转化为一阶方程组初值问题的数值解问题。方程组初值问题的题的数值解问题转化为一阶方程组初值问题的数值解问题。方程组初值问题的所有数值方法在这里都可以使用。问题的关键是如何去找合适的初始斜率的试所有数值方法在这里都可以使用。问题的关键是如何去找合适的初始斜率的试探值探值 。 对给定的对给定的 ，设初值问题（，设初值问题（8.6.3）的解为）的解为 ，它是，它是 的隐函数。的隐函数。假设假设 随随 是连续变化的，记为是连续变化的，记为 ，于是我们要找的，于是我们要找的 就是方程就是方程ksks byksksksksksxy ，ksxy ，sxy ，0sby，第八章常微分方程数值

4、解法的根。可以用第的根。可以用第6章的迭代法求上述方程的根。比如用割线法有章的迭代法求上述方程的根。比如用割线法有。，32121211ksbysbysbysssskkkkkkk（8.6.5）这样，可以按下面简单的计算过程进行求解。先给定两个初始斜率这样，可以按下面简单的计算过程进行求解。先给定两个初始斜率 ，分别作为初值问题（分别作为初值问题（8.6.4）的初始条件。用一阶方程组的数值方法求解它）的初始条件。用一阶方程组的数值方法求解它们，分别得到区间右端点的函数的计算值们，分别得到区间右端点的函数的计算值 和和 。如果。如果 或或 ，则以，则以 或或 作为两点边值问题的解。否则作为两点边值问

5、题的解。否则用割线法（用割线法（8.6.5）求）求 ，同理得到，同理得到 ，再判断它是否满足精度要求，再判断它是否满足精度要求 。如此重复，直到某个。如此重复，直到某个 满足满足 ，此时得到，此时得到的的 和和 就是边值问题的解函数值和它的一阶导数值。上述方程就是边值问题的解函数值和它的一阶导数值。上述方程好比打靶，好比打靶， 作为斜率为子弹的发射，作为斜率为子弹的发射， 为靶心，故称为打靶法。为靶心，故称为打靶法。10ss ，0sby ，1sby ，0sby，1sby ，0sxy ，1sxy ，2s2sby ，2sby，ksksby， ixyiixzy ks by第八章常微分方程数值解法 值

6、得指出的是，对于线性边值问题（值得指出的是，对于线性边值问题（8.6.2），一个简单又实用的方法是用解），一个简单又实用的方法是用解析的思想，将它转化为两个初值问题：析的思想，将它转化为两个初值问题： ；，011111 ayayxfyxqyxpy 。，1022222 ayayyxqyxpy求得这两个初值问题的解求得这两个初值问题的解 和和 ，若，若 ，容易验证，容易验证 xy1 xy2 02by xybybyxyxy2211(8.6.6)为线性两点边值问题（为线性两点边值问题（8.6.2）的解。）的解。 例例 8.7 用打靶法求解线性边值问题用打靶法求解线性边值问题第八章常微分方程数值解法 ，

7、21001031242 yyxxxyyxy其解的解析表达式为其解的解析表达式为 。 解解 先将该线性边值问题转化为两个初值问题先将该线性边值问题转化为两个初值问题 xxxy4 ，01003124112111 yyxxyyxy 。，11000422222 yyyyxy令令 ，将上述两个边值问题分别降为一阶方程组初值问题，将上述两个边值问题分别降为一阶方程组初值问题2211yzyz， ，0000312411211111zyxxyxzzzy第八章常微分方程数值解法 。，000042222222 zyyxzzzy xyyyxyxy2211112 的打靶法计算值的打靶法计算值 ，部分点上的计算值、精确值

8、和误差列于表，部分点上的计算值、精确值和误差列于表 8-12。iy取取 h=0.02 ，用经典，用经典R-K法分别求这两个方程组解法分别求这两个方程组解 和和 的计算值的计算值 和和 ，然后按（，然后按（ 8.6.6 ）得精确解）得精确解 xy1 xy2iy2iy1第八章常微分方程数值解法表表 8-12ixiy1iy2iy ixy iiyxy 0 0 0 0 0 0 0.2 -0.002407991 0.204007989 0.2016000053 0.2016000000 0.4 -0.006655031 0.432255024 0.4256000080 0.4256000000 0.6 0

9、.019672413 0.709927571 0.7296000083 0.7296000000 0.8 0.145529585 1.064070385 1.2096000058 1.2096000000 1.0 0.475570149 1.524428455 2.0000000000 2.0000000000 081053. 081080. 081083. 081058. 0例例 8.8 用打靶法求解线性边值问题用打靶法求解线性边值问题 。，33538216243 yyxyyy要求误差不超过要求误差不超过 ，其解析解是，其解析解是 。 解解 对应于（对应于（8.6.4）的初值问题为）的初值问

10、题为6105.0 xxxy82第八章常微分方程数值解法 。，kszyxzyzzy2824243对于每一个对于每一个 ，取，取 h=0.02 ，用经典，用经典R-K法求解。初选法求解。初选 ，求得，求得 =11.4889，则有，则有 。再选。再选 ，求得，求得 =11.8421，则有，则有 。以。以 作为割线法迭代初作为割线法迭代初值，由割线法计算值，由割线法计算 ks13 sy ，5.10s03sy， 60105 . 01777. 033 ysy ，5 . 21s 61105 . 00755. 033 ysy ，10ss ， 。，0032241. 233331010112ysysysyssss

11、由此得由此得 ，仍然不满足精度要求。由，仍然不满足精度要求。由 和和 用割线法得到用割线法得到 。重复这个过程，直到。重复这个过程，直到 ，再求解相应，再求解相应的初值问题，得到的初值问题，得到 ，有，有 。于。于是得到边值问题的解是得到边值问题的解 ，打靶过程和边值问题的计算，打靶过程和边值问题的计算解分别列于表解分别列于表8-13和和8-146678.1132sy，1213 syss，23 sy ，999979. 13s000000. 24s666666669.1134sy ， 64105 . 033 ysy ，iy第八章常微分方程数值解法表表 8-13 1.5 2.5 2.003224

12、1.999979 2.000000 11.488914 11.842141 11.667805 11.666659 11.666667kksys，3 2.0 8 8 0 2.2 8.4763636378 8.4763636364 2.4 9.0933333352 9.0933333333 2.6 9.8369230785 9.8369230769 2.8 10.6971426562 10.6971428571 3.0 11.6666666669 11.6666666667 表表 8-14ixiy ixy iiyxy988881030.01010.01016.01018.01013.0计算结果表

13、明打靶法的效果是很好的，计算精度取决于所选取的初值问题数计算结果表明打靶法的效果是很好的，计算精度取决于所选取的初值问题数值方法的阶和所选取的步长值方法的阶和所选取的步长 h 的大小。不过，打靶法过分依赖于经验，选取试射的大小。不过，打靶法过分依赖于经验，选取试射值，有一定的局限性。值，有一定的局限性。第八章常微分方程数值解法差分方法差分方法是解边值问题的一种基本方法，它利用差商代替导数，将微分方程是解边值问题的一种基本方法，它利用差商代替导数，将微分方程离散化为线性或非线性方程组（即离散化为线性或非线性方程组（即差分方程差分方程）来求解。）来求解。先考虑线性边值问题（先考虑线性边值问题（8.

14、6.2）的差分法。将区间）的差分法。将区间 分成分成 n 等分，子区间的等分，子区间的 长度长度 ，分点，分点 。由。由nabhnkkhaxk，10ba，22111211222hOhxxyxyxyhOhxyxyxykkkkkkk 8.6.2 差分方法差分方法第八章常微分方程数值解法ky忽略余项，将差商分别代替（忽略余项，将差商分别代替（8.6.2）式中节点）式中节点 处的一阶和二阶导数，实现离处的一阶和二阶导数，实现离散化。设散化。设 ，用，用 近似表示近似表示 ，建立，建立差分方程差分方程kxkkkkkkxffxqqxpp，kxy。，1212211211nkfyqhyyphyyykkkkkk

15、kkk整理后得到关于整理后得到关于 的线性方程组的线性方程组ky。，121224222121nkfhyhpyqhyhpkkkkkkk（8.6.7）利用边界条件利用边界条件 ，将它们分别代入上面，将它们分别代入上面 k=1和和 k=n-1 的两个方程的两个方程中，整理后得到关于中，整理后得到关于 的方程组的方程组nyy，0121nyyy，。，11211221212111221112224222322242222242nnnnnnkkkkkkkhpfhyqhyhpnkfhyhpyqhyhphpfhyhpyqh(8.6.8)第八章常微分方程数值解法这是一个三对角方程组。这是一个三对角方程组。 若若

16、，且步长满足，且步长满足 ，则方程组（，则方程组（8.6.8）的系）的系数矩阵是严格对角占优的。此时，方程组（数矩阵是严格对角占优的。此时，方程组（8.6.8）的解存在惟一，用追赶法求解）的解存在惟一，用追赶法求解此方程组时一定是数值稳定的，用此方程组时一定是数值稳定的，用 Jacobi迭代法求解此方程组时一定是收敛的。迭代法求解此方程组时一定是收敛的。 baxxq， 02khp其中其中 。因此，当。因此，当 时，差分方程的解收敛到微分方时，差分方程的解收敛到微分方程边值问题的解。程边值问题的解。 在应该用上，有时边界条件按以下方式给出：在应该用上，有时边界条件按以下方式给出：xyMbxa4m

17、ax0h。，1219622nkhabMyxykk 若若 ，则由常微分方程的理论得出，两，则由常微分方程的理论得出，两点边值问题（点边值问题（8.6.2）的解存在惟一。设）的解存在惟一。设 是差分问题（是差分问题（8.6.8），而），而 是边是边值问题（值问题（8.6.2）的解）的解 在节点在节点 的值，的值， ，则截断误差有下列，则截断误差有下列估计式估计式 baxxqbaCfqp，0ky xykx baCxy，4kxy第八章常微分方程数值解法 。，1100bybyayay这里这里 均为已知常数。这时，边界条件中所包含的导数也要替换成均为已知常数。这时，边界条件中所包含的导数也要替换成相应的差

18、商：相应的差商：1010，。，11100001nnnyhyyyhyy它们和差分方程（它们和差分方程（8.6.7）一起，仍然构成包含）一起，仍然构成包含 n+1 个未知的线性方程组。个未知的线性方程组。 例例 8.7 取不同的步长取不同的步长 h ，用差分方法求解线性边值问题：，用差分方法求解线性边值问题： 。，1210sin2 yyxyy其解析解是其解析解是 。 解解 本题的本题的 。取。取 ，由方程组（，由方程组（8.6.8）得）得 xxxycossin 01xqxp，84hn，1772. 24362. 01566. 243927. 206073. 143927. 206073. 14321

19、yyy第八章常微分方程数值解法解此方程组得解此方程组得 。而解析解是。而解析解是 。由于节点少，步长太大，所以计算精度差。由于节点少，步长太大，所以计算精度差。当当 n=10 时，时， ，部分计算结果列于表，部分计算结果列于表 8-15。当。当 n=20 时，近似解误差的时，近似解误差的最大绝对值不超过最大绝对值不超过 。当。当 n=500 时，误差的最大绝对值不超过时，误差的最大绝对值不超过 。因此，随着节点数的增加，精度提高。因此，随着节点数的增加，精度提高。5503. 00101. 05351. 0321yyy，1xy 5412. 005412. 032xyxy，20h31041.061065.0 0 -1.0000 -1.0000 0 -0.6413 -0.6420 -0.2198 -0.2212 0.2229 0.2212 0.6433 0.6420 1.0000 1.