4-2 功能原理 机械能守恒定律

1、一、一、功能原理功能原理 机械能守恒定律机械能守恒定律1 1. . 系统的动能定理系统的动能定理 外力和内力对系统所做的功外力和内力对系统所做的功 = 系统动能的增量。系统动能的增量。 质点系统质点系统 外力外力 内力内力 保守内力保守内力 非保守内力非保守内力 A外外A内内 E k E k0 代入上式整理得代入上式整理得: :上式可写为：上式可写为： k0kEEAAA 非非保保内内保保内内外外A外外+A非保内非保内= (E k+ E P) - - (Ek0+EP0) = E - - E0 )( p0p EEA 保内保内 二二. . 功能原理功能原理 外力和非保守内力对系统所做的功外力和非保守

2、内力对系统所做的功 = 系统机械能的增量。系统机械能的增量。 A外外A非保内非保内 E E0 功能原理功能原理 应用功能原理时，由于上式右端计算了势能，所以应用功能原理时，由于上式右端计算了势能，所以左端千万不可再计算保守力的功。左端千万不可再计算保守力的功。 注意：注意： 或或 )()( 0p0kpkEEEE A外外A非保内非保内 三三、机械能守恒定律、机械能守恒定律守恒条件：守恒条件： A外外0 ，A非保内非保内0 或或 仅有保守内力做功仅有保守内力做功守守 恒恒 式式 ： E = E k+ E p = 常量常量 或或 E k+ E p= E k 0+ E p 0四四、能量守恒定律能量守恒

3、定律 自然界的基本定律之一。自然界的基本定律之一。 例题例题 如图所示的装置称为冲击摆如图所示的装置称为冲击摆, 可用它来测定子弹的速度可用它来测定子弹的速度,质量为质量为M的木块被悬挂在长度为的木块被悬挂在长度为l的细绳下端的细绳下端, 一质量为一质量为m的子弹的子弹沿水平方向以速度沿水平方向以速度v射中木块射中木块, 并停留在其中。木块受到冲击而向并停留在其中。木块受到冲击而向斜上方摆动斜上方摆动, 当到达最高位置时当到达最高位置时, 木块的水平位移为木块的水平位移为s。试确定子。试确定子弹的速度。弹的速度。 Mlvs解：根据动量守恒定律得解：根据动量守恒定律得uMmmv)( 根据机械能守

4、恒定律得根据机械能守恒定律得ghMmuMm)()(212 由图知由图知22sllh- 解以上三方程的联立方程组得解以上三方程的联立方程组得)(222sllgmMmv- Mlvs例：例：质量为质量为 m 的物体从一个半径为的物体从一个半径为 R 的的1/4 圆弧型表面滑下，到达底部时的速度圆弧型表面滑下，到达底部时的速度为为 v, ,求求 A 到到 B 过程中摩擦力所做的功？过程中摩擦力所做的功？解解1：功的定义：功的定义 以以m为研究对象，为研究对象，建立自然坐标系，受建立自然坐标系，受力分析。力分析。列切向受力方程：列切向受力方程：oRCABNmgfndtdvmmaFdtdvmmafmgco

5、smdtdvmmgfcos摩擦力的功摩擦力的功Wfdr阻droRABNmgfnddrdtdvmdrmgcosmvdvRdmgWv0900cos阻 Rddr由由221mvmgRdtdrv, oRABn解解2：动能定理：动能定理由质点动能定理：由质点动能定理：kkkEEEW0受力分析：只有重力和摩擦力作功，受力分析：只有重力和摩擦力作功，0kkEEWW阻重kEWdrmg阻cosmgf00kERdmgmvWcos219002阻A点物体动能点物体动能mgRmv221foRABn解解3：功能原理功能原理以物体和地球为研究对象，以物体和地球为研究对象，受力分析，不考虑保守受力分析，不考虑保守力重力和不作功

6、的力弹力重力和不作功的力弹力力N，只有摩擦力只有摩擦力-内部非保守力内部非保守力 f f 作功，作功，由功能原理：由功能原理：EWWiniini内非外11 01外iniW221mvEB选择选择 B 为重力为重力 0 势点，势点，A、B 两点的机械能：两点的机械能：mgREAABEEW阻mgRmv221阻内非WWini1可以看出，用功能原理计算最简单。可以看出，用功能原理计算最简单。foRABn 例例 1 雪橇从高雪橇从高50 m的山顶的山顶A点沿冰道由点沿冰道由静止下滑静止下滑, 坡道坡道AB长长500 m滑至点滑至点B后，又后，又沿水平冰道继续滑行若干米后停止在沿水平冰道继续滑行若干米后停止

7、在C处处. 若若=0.050求雪橇沿水平冰道滑行的路程求雪橇沿水平冰道滑行的路程. NFfFPsinPcosPh s已知：已知： , m500 , 050. 0 , m50sh求求. s解：解：)( cosfssmgmgssmgWmghEE12m500shs12fEEW 例例 5 一轻弹簧一轻弹簧, 其一其一端系在铅直放置的圆环的端系在铅直放置的圆环的顶点顶点P，另一端系一质量为，另一端系一质量为m 的小球的小球, 小球穿过圆环并小球穿过圆环并在环上运动在环上运动( (=0) )开始开始球静止于点球静止于点 A, 弹簧处于自弹簧处于自然状态，其长为环半径然状态，其长为环半径R; 30oPBRA

8、当球运动到环的底端点当球运动到环的底端点B时，球对环没有压时，球对环没有压力求弹簧的劲度系数力求弹簧的劲度系数 解解 以弹簧、小球和以弹簧、小球和地球为一系统地球为一系统BA只有保守内力做功只有保守内力做功系统系统ABEE 即即)30sin2(2121o22mgRkRmBvRmmgkRB2v又又Rmgk2所以所以取点取点B为重力势能零点为重力势能零点0pE30oPBRA四四 宇宙速度宇宙速度设地球的半径为设地球的半径为R 、质、质量为量为m 。在地面上有一质。在地面上有一质量为量为m 的抛体，以初速度的抛体，以初速度v1竖直向上发射，到达距竖直向上发射，到达距地面高度为地面高度为h 时，以速度

9、时，以速度v 绕地球作匀速率圆周运动。绕地球作匀速率圆周运动。1vhRmv第一宇宙速度是物体进第一宇宙速度是物体进入地球轨道的速度入地球轨道的速度 v1=7.9km/s第二宇宙速度是物体进入太阳系的速度第二宇宙速度是物体进入太阳系的速度 v2= =11.2 km/s。解：解：物体受万有引力，物体以初速度物体受万有引力，物体以初速度 v 发射，脱离地球引力至少在无穷远处发射，脱离地球引力至少在无穷远处的速度为的速度为 0，2021mvEk初态动能：初态动能：末态动能：末态动能：r0, v0,kE由质点动能定理：由质点动能定理：0kkEEWdrroRMR发射过程中万有引力作功：发射过程中万有引力作

10、功：RdrFWcos引引引F FRdrrmMG2RrGMm1RGMm由质点动能定理：由质点动能定理：0kkEEW2210mvRGMmRGMv2由于在地球表面附近由于在地球表面附近：2RMmGmg2RMGg22vgRkm/s2 .11RRGM2231064008 .922evv823 10/eeGMkm sR 天文学上叫天文学上叫“史瓦西半径史瓦西半径” 令逃逸速度令逃逸速度245.89 10eMkg?eR 地球变成黑洞地球变成黑洞 黑洞吞噬中子星黑洞吞噬中子星22GMvR211.2/egRkm s例：例： 求两种宇宙速度求两种宇宙速度解：解： 在地面发射卫星时的机械能在地面发射卫星时的机械能（

11、1） 第一宇宙速度第一宇宙速度;卫星环绕地球运行卫星环绕地球运行（不掉下来）从地面发射所需要的最小速度（不掉下来）从地面发射所需要的最小速度 v1rmMGmvEe22122eM mmvGrrrRRGMveee2120rRgRee2122eeRGMg最小速度最小速度v1，当，当eRr 107.9/evvgRkm s圆圆10vv eRr 到轨道到轨道 上上r不计空气阻力不计空气阻力0EE rmMGmve2212102eeM mmvGR 在轨道在轨道 上，引力提供向心力上，引力提供向心力r21002eeM mEmvGR（2） 第二宇宙速度第二宇宙速度 脱离地球引力，成为太阳脱离地球引力，成为太阳的行星所需要的最小速度的行星所需要的最小速度 v22102eM mEmvGE 202eeGMvvR当当0veeRmMGmvE20210skmgRe/2 .112圆圆10vv 椭圆椭圆20vv 抛物线抛物线20vv 双曲线双曲线20vv - 逃逸速度逃逸速度2vve在恒星系中，两个质量分别为在恒星系中，两个质量分别为 m1 和和 m2 的星球，原来为静的星球，原来为静止，且相距为无穷远，后在引力的作用下，互相接近，到相止，且相距为无穷远，后在引力的作用下，互相接近，到相距