浅谈分块矩阵的性质及应用

1、浅谈分块矩阵的性质及应用 摘要：本文主要谈及分快矩阵的思想在线性代数的证明。解线性方程组，矩阵得知逆及矩阵的逆，和初等变换中的应用。关键词：分块矩阵；线性方程组；矩阵的秩及矩阵的逆；初等变换On the nature of block matrix and its applicationAbstract: this thesis uses the blocking matrix method into proving and applying the linear algebra, tries to solve the linear equations, and the proof of ot

2、her relative matrix rank and elementary matrix. Key words: Block matrix; Linear algebra; rank of matrix; elementary matrix.前言：矩阵得分快是处理问题的一重要方法，把一个告诫矩阵分成若干个地界矩阵，在运算中把低阶矩阵当作数一样处理，这样高阶矩阵就化作低阶矩阵，长能使我们迅速接近问题的本质，从而达到解决问题的目的，使解题更简洁，思路更开阔，因此本文主要谈及分块矩阵再求行列式的值，解线性方程组，求矩阵的秩及逆等方面的应用。1. 预备知识：1.1分块矩阵的定义：将分块矩阵A用若干

3、条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为 A的子块，一子块为元素的形式上的矩阵成为分块矩阵。1.2分块矩阵的运算：1.2.1分块矩阵的加法：设分块矩阵 A与 B的行数相同，列数相同，采用相同的得分块法，有A=，其中与的行数相同，列数相同，那么A+B=1.2.2分块矩阵与数的乘法：A=,1.2.3设A为矩阵，B为矩阵，分块成 其中，的列数分别等于，的行数，那么，其中(i=1s；j=1，r)1.2.4设，则2. 分块矩阵的性质及应用：2.1 分块矩阵的性质：设A为n阶矩阵，若A的分块矩阵只有在对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，且在对角线上的子块都是方阵，即A=，其中（i=1，2，s）都

4、是方阵，那么称A为分块对角矩阵，分块矩阵的行列式一般据有下列性质，由此性质可知，若0()则，并有例：设A= 求解：=，其中，所以2.2 将分块矩阵与初等变换结合在矩阵运算及球逆矩阵中具有重要作用：现将某个单位矩阵如下进行分块：对其进行行（列）对换等作用，可得到如下类型一些矩阵：用这些矩阵左乘或右乘任一个分块矩阵，只要分块乘法能够进行，其结果就是对它进行相应的变换，如，适当选择P可使=0，例如A可逆时，选则，于是上式的右端可成为，其在求逆矩阵方面是非常有用的，例1：，A D可逆，求解：由及易知=例2：，设可逆，D可逆，试证存在，并求解：由，而又端仍可逆故存在再由上题例1可知=23分块矩阵在证明关

5、于矩阵乘积的秩的定理中的作用：例：设A是数域P上矩阵，B是数域P上矩阵，于是秩（）秩（），秩（），即乘积的秩不超过各因子的秩证明：只需证明秩秩，同时秩秩，分别证明这两个不等式设，令表示的行向量（即对进行分块）表示AB的行向量，由计算可知，的第个分量和的第的分量都等于，因而即矩阵的行向量组可经由B的行向量组线性表示出所以的秩不能超过B的秩，即秩秩同样，令表示的列向量，表示的列向量，由计算可知，这个式子表明，矩阵的列向量组可由矩阵的列向量组线性表示出，因而前者的秩不仅可能超过后者的秩，这就是说秩秩（注：在此证明中用分块矩阵的方法，即这就是的一种分块，按分块相乘就有很容易看出的行向量是的行向量的线性组合）.分块矩阵在线性方程组方面的应用对于线性方程组记，为系数矩阵，为未知向量，为常数项向量，为增广矩阵按分块矩阵记法可记为或此方程也可记为，把系数矩阵按行分成块，则可记做 把系数矩阵按列分成块，则与相乘的对应按行分成块，记作 ，即，其都为线性方程组的各种变形形式，在求解过程中变形以更方便快捷例：利用分块矩阵证明克拉默法则：对于个变量个方程线性方程组如果他的系数行列式，则它有唯一解，即证明把方程组改写成矩阵方程，这里为阶矩阵，因，故存在，令，有表明是方程组的解向量，由 ，有 ，即，根据逆矩阵的唯一性，知是方程的唯一解向量，由逆矩阵公式，有即即结束语：矩阵得分快不算是