线性分组码(免费)

1、线性分组码       8.3.1 基本概念    分组码是一组固定长度的码组，可表示为（n , k），通常它用于前向纠错。在分组码中，监督位被加到信息位之后，形成新的码。在编码时，k个信息位被编为n位码组长度，而n-k个监督位的作用就是实现检错与纠错。当分组码的信息码元与监督码元之间的关系为线性关系时，这种分组码就称为线性分组码。    对于长度为n的二进制线性分组码，它有种可能的码组，从种码组中，可以选择M=个码组（k&l

2、t;n）组成一种码。这样，一个k比特信息的线性分组码可以映射到一个长度为n码组上，该码组是从M=个码组构成的码集中选出来的，这样剩下的码组就可以对这个分组码进行检错或纠错。    线性分组码是建立在代数群论基础之上的，各许用码的集合构成了代数学中的群，它们的主要性质如下：    （1）任意两许用码之和（对于二进制码这个和的含义是模二和）仍为一许用码，也就是说，线性分组码具有封闭性；    （2）码组间的最小码距等于非零码的最小码重。   

3、0;在8.2.1节中介绍的奇偶监督码，就是一种最简单的线性分组码，由于只有一位监督位通常可以表示为（n,n-1），式（8-5）表示采用偶校验时的监督关系。在接收端解码时，实际上就是在计算：                                （8-6） 

4、60;   其中，   表示接收到的信息位，表示接收到的监督位，若S0，就认为无错；若S1就认为有错。式（8-6）被称为监督关系式，S是校正子。由于校正子S的取值只有“0”和“1”两种状态，因此，它只能表示有错和无错这两种信息，而不能指出错码的位置。    设想如果监督位增加一位，即变成两位，则能增加一个类似于式（8-6）的监督关系式，计算出两个校正子和， 而共有4种组合：00，01，10，11，可以表示4种不同的信息。除了用00表示无错以外，其余3种状态就可用于指示3种不同的误码图样

5、。    同理，由r个监督方程式计算得到的校正子有r位，可以用来指示-1种误码图样。对于一位误码来说，就可以指示-1个误码位置。对于码组长度为n、信息码元为k位、监督码元为rn - k位的分组码（常记作（n，k）码），如果希望用r个监督位构造出r个监督关系式来指示一位错码的n种可能，则要求：                      &#

6、160;          （8-7)     下面通过一个例子来说明线性分组码是如何构造的。设分组码（n , k）中k = 4，为了能够纠正一位错误，由式（8-7）可以看到，要求r  3，若取r = 3，则n = k+r = 7。因此，可以用表示这7个码元，用、表示利用三个监督方程，通过计算得到的校正子，并且假设、三位校正字码组与误码位置的关系如表8-4（当然，也可以规定成另

7、一种对应关系，这并不影响讨论的一般性）：         由表中规定可已看到，仅当一错码位置在时，校正子为1；否则为0。这就意味着四个码元构成偶数监督关系：                    (8-8a）    同理，构成偶数监督关系：  

8、60;              （8-8b） 表8-4校正字与误码位置S1S2S3误码位置S1S2S3误码位置001010100011a0a1a2a3101110111000a4a5a6无错     以及构成有数监督关系：               

9、60;              （8-8c）     在发送端编码时是信息码元，它们的值取决于输入信号，因此是随机的。是监督码元，它们的取值由监督关系来确定，即监督位应使式（8-8）的三个表达式中的、和的值为零（表示编成的码组中应无错码），这样式（8-8）的三个表达式可以表示成下面的方程组形式：         &#

10、160;                          （8-9）     由上式经移项运算，接出监督位               &

11、#160;                     （8-10）     根据上面两个线性关系，可以得到16个许用码组如表8-5所示： 表8-5许用码组信息位监督位信息位监督位信息位监督位信息位监督位a6a5a4a3a2a1a0a6a5a4a3a2a1a0a6a5a4a3a2a1a0a6a5a4a3a2a1a0000000010

12、0100011000011101110010001010100011111010101100010001001101010111111000100011100110111001111001010100111     接收端收到每个码组后，计算出、和，如不全为0，则可按表8-4确定误码的位置，然后予以纠正。例如，接收码组为0000011，可算出011，由表8-4可知在位置上有一误码。    不难看出，上述（7，4）码的最小码距，因此，它能纠正一个误码或检测两个误码。如超出纠错能力，则反而会因“乱纠”而增加新

13、的误码。      8.3.2 监督矩阵H和生成矩阵G    式（8-9）所述（7，4）码的三个监督方程式可以重新改写为如下形式：                     （8-11）     对于式（8-11）可以用矩阵形式来表示：

14、60;             （8-12）     上式可以记作：或，其中                     （8-13a）      

15、60;                  （8-13b）                              &#

16、160;   （8-13c）     通常H称为监督矩阵，A称为信道编码得到的码字。在这个例子中H为r×n阶矩阵，P为r×k阶矩阵，Ir为r×r阶单位矩阵，具有这种特性的H矩阵称为典型监督矩阵，这是一种较为简单的信道编译码方式。典型形式的监督矩阵各行是线性无关的，非典型形式的监督矩阵可以经过行或列的运算化为典型形式。    对于式（8-10）也可以用矩阵形式来表示：       

17、;或者              （8-14）     比较式（8-13a）和式（8-14）可以看到，如果在Q矩阵的左边在加上一个k×k的单位矩阵，就形成了一个新矩阵G：                   &

18、#160;   （8-15）     这里G称为生成矩阵，利用它可以产生整个码组                          （8-16）     由式（8-15）表示的生成矩阵形式称为典型生成矩阵，利用

19、式（8-16）产生的分组码必为系统码，也就是信息码元保持不变，监督码元附加在其后。      8.3.3 校验子S    在发送端信息码元M利用式（8-16），实现信道编码，产生线性分组码A；在传输过程中有可能出现误码，设接收到的码组为B。则收发码组之差为：               （8-17）    &

20、#160;这里，表示i位有错，表示i位无错。基于这样的原则接收端利用接收到的码组B计算校正子：                   （8-18）     因此，校正子仅与E有关，即错误图样与校正子之间有确定的关系。    对于上述（7，4）码，校正子S与错误图样的对应关系可由式（8-18）求得，其计算结果见表8-6所示

21、。在接收端的译码器中有专门的校正子计算电路，从而实现检错和纠错。 表8-6（7，4）码校正子与错误图样的对应关系序号错误码位ESe6 e5 e4 e3 e2 e1 e0S3 S2 S101234567/b0b1b2b3b4b5b60  0  0  0  0  0  00  0  0  0  0 &#

22、160;0  10  0  0  0  0  1  00  0  0  0  1  0  00  0  0  1  0  0  00  0  1  0  0  0  00  1  0  0  0  0  01  0  0  0  0  0  00  0  00