专题03三角函数-2021高考数学（理）高频考点、热点题型归类强化

1、专题03 三角函数2021高考数学（理）高频考点、热点题型归类强化【高频考点及备考策略】在备考时应注意以下几个方面：(1)加强对三角概念的理解，会求三角函数的值域或最值(2)掌握三角函数的图象与性质，能够判断三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性等(3)掌握三角函数图象变换，已知图象求参数，“五点法”作图(4)加强对三角函数定义的理解，掌握同角三角函数的基本关系式和诱导公式5)掌握两角和与差的三角公式及二倍角公式考向预测：(1)三角函数在指定区间上的值域、最值问题(2)已知三角函数奇偶性及对称性、周期性等性质求参数或求函数的单调区间(3)三角函数的图象变换及求三角函数的解析式(4)三角函数的

2、概念与其他知识相结合；(5)以三角变换为基础，考查三角函数式的求值、三角函数的图象和性质必备知识1三角函数的图象与性质函数性质 图象定义域值域最值当时，；当时，当时， ；当时，既无最大值也无最小值周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在上是增函数；在上是减函数在上是增函数；在上是减函数在上是增函数对称性对称中心对称轴对称中心对称轴对称中心无对称轴2.函数yAsin(x)的图象(1)“五点法”作图设zx，令z0、2，求出x的值与相应的y的值，描点连线可得(2)函数的图象经变换得到的图象的两种途径途径一：函数的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（

3、缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象途径二：函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象(3)函数的性质：振幅：A；周期：；频率：；相位：；初相：3三角函数的奇偶性(1)函数yAsin(x)是奇函数k(kZ)，是偶函数k(kZ)；(2)函数yAcos(x)是奇函数k(kZ)，是偶函数k(kZ)；(3)函数yAtan(x)是

4、奇函数k(kZ)4三角函数的对称性(1)函数yAsin(x)的图象的对称轴由xk(kZ)解得，对称中心的横坐标由xk(kZ)解得；(2)函数yAcos(x)的图象的对称轴由xk(kZ)解得，对称中心的横坐标由xk(kZ)解得；(3)函数yAtan(x)的图象的对称中心由x(kZ)解得【重要公式】1同角三角函数之间的关系(1)平方关系：sin2cos21.(2)商数关系tan.2诱导公式(1)公式：S2k；S±；S±.(2)巧记口诀：奇变偶不变，符号看象限，当锐角看3两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(±)sincos±cossin；(2)cos

5、(±)coscossinsin；(3)tan(±)；(4)辅助角公式：asinbcossin()cos().4二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin22sincos；(2)cos2cos2sin22cos2112sin2；(3)tan2.5降幂公式(1)sin2；(2)cos2.【易错警示】1忽视定义域求解三角函数的单调区间、最值(值域)以及作图象等问题时，要注意函数的定义域2重要图象变换顺序在图象变换过程中，注意分清是先相位变换，还是先周期变换变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向3忽视A，的符号在求yAs

6、in(x)的单调区间时，要特别注意A和的符号，若<0，需先通过诱导公式将x的系数化为正的4 易忽略对隐含条件的挖掘，扩大角的范围导致错误5同角关系应用错误：利用同角三角函数的平方关系开方时，忽略判断角所在的象限或判断出错，导致三角函数符号错误6诱导公式的应用错误：利用诱导公式时，三角函数名变换出错或三角函数值的符号出错真题体验一、选择题1、（2020新课标卷·理科T7）同（2020新课标卷·文科T7）设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由图可得：函数图象过点，将它代入函数可得：又是函数图象与轴负半轴的第一个

7、交点，所以，解得：所以函数的最小正周期为故选：C【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.2、（2020新课标卷·理科T9）已知，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】，得，即，解得或（舍去），又.故选：A.【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.3、（2020新课标卷·理科T2）若为第四象限角，则（ ）A. cos2>0B. cos2<0C. sin2>0D. sin2<0【答案】D【解析】方法一：由为第四象限角，可得，所

8、以此时的终边落在第三、四象限及轴的正半轴上，所以故选：D.方法二：当时，选项B错误；当时，选项A错误；由在第四象限可得：，则，选项C错误，选项D正确；故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4、（2020新课标卷·理科T9） 已知2tantan(+)=7，则tan=（ ）A. 2B. 1C. 1D. 2【答案】D【解析】，令，则，整理得，解得，即.故选：D.【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.（2020新课标卷·文科T5）已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案

9、】B【解析】由题意可得：，则：，从而有：，即.故选：B.【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.5、（2020山东省新高考全国卷·T10）同（2020海南省新高考全国卷·T1）下图是函数y= sin(x+)的部分图像，则sin(x+)= （ ）A. B. C. D. 【答案】BC【解析】由函数图像可知：，则，所以不选A,当时，解得：，即函数的解析式为：.而故选：BC.【点睛】已知f(x)Asin(x)(A0，0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数和，常用如下两种方法：(1)由即可求出；确定时，若能求出离原点最近的右侧图象上

10、升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令x00(或x0)，即可求出.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出和，若对A，的符号或对的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.6、（2020山东省新高考全国卷·T15）同（2020海南省新高考全国卷·T16）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BCDG，垂足为C，tanODC=，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为

11、7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为_cm2【答案】【解析】设，由题意，所以，因为,所以，因为，所以，因为与圆弧相切于点，所以，即为等腰直角三角形；在直角中，因为，所以，解得；等腰直角的面积为；扇形面积，所以阴影部分的面积为.故答案为：.【点睛】本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动实习为背景，体现了五育并举的育人方针.7、（2020天津卷·T8）已知函数给出下列结论：的最小正周期为；是的最大值；把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象其中所有正确结论的序号是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为，所以周

12、期，故正确；，故不正确；将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，故正确.故选：B.【点晴】本题主要考查正弦型函数的性质及图象的平移，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，是一道容易题.8、（2020浙江卷·T4）函数y=xcosx+sinx在区间，的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为，则，即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，据此可知选项CD错误；且时，据此可知选项B错误.故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变

13、化趋势(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象利用上述方法排除、筛选选项二、填空题1、（2020新课标卷·文科T13）若，则_【答案】【解析】.故答案：.【点睛】本题考查了余弦的二倍角公式的应用，属于基础题.2（2020北京卷·T14）若函数的最大值为2，则常数的一个取值为_【答案】（均可）【解析】因为，所以，解得，故可取.故答案为：（均可）.【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题.3、（2020江苏卷·T8）已知，则的值是_.【答案】【解析】故答案为：【

14、点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.4、（2020江苏卷·T10）将函数y=的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是_.【答案】【解析】当时故答案为：【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题.5、（2020浙江卷·T13）已知，则_；_【答案】 (1). (2). 【解析】，故答案为：【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及弦化切、两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.高频考点、热点题型强化考点一 函数的图像变换【典例】函数的最小正周期为，其图像向左平移个单位长

15、度后关于原点对称，则函数在上的最小值为（ ）A. B. C. D.【解析】因为函数的最小正周期为，所以，所以.将函数的图像向左平移个单位长度后，可得函数的图像.根据所得的图像关于原点对称，可得，因为，所以，所以函数又因为，所以，故当，即x=0时，函数取得最小值.故选B.【备考策略】解决三角函数图像变换问题的两种方法分别为先平移后伸缩和先伸缩后平移.破解此类题的关键如下：（1） 定函数：一定要看准是将哪个函数的图像变换得到另一个函数的图像.（2） 变同名：函数的名称要一样.（3）选方法：即选择变换方法.要注意：对于函数的图像，向左平移个单位长度得到的是函数的图象，而不是函数的图像.【类比演练】（

16、1）函数y=cos (2x+)(-<)的图象向右平移个单位长度后,与函数y=sin(2x+)的图象重合,则=. 【解析】将y=cos (2x+)的图象向右平移个单位长度后得到y=cos2(x-)+的图象,化简得y=-cos (2x+),又可变形为y=sin(2x+-).由题意可得-=+2k(kZ),所以=+2k(kZ),结合-<知=.答案：.（2）已知函数,若f(x)的图象向左平移个单位所得的图象与f(x)的图象向右平移个单位所得的图象重合,则的最小值为_. 【解析】函数f(x)=sin(x+)(>0),把f(x)的图象向左平移个单位所得的图象为. 把f(

17、x)的图象向右平移个单位所得的图象为，根据题意可得和的图象重合,故求得=4k,故的最小值为4.答案:4考点二 求函数的图像的周期性、单调性、对称性【典例】已知向量，设函数，则下列关于函数的性质的描述正确的是（ ）A.图像关于直线对称 B.图像关于点对称C.周期为 D.在上单调递增【解析】由题意得，当时，所以函数的图像不关于直线对称 ；当时，所以函数的图像关于点对称；由的解析式易知函数的最小正周期；当时，所以函数在在上单调递增.故选D.【备考策略】1、周期的计算公式:函数的周期为,函数的周期为求解.2、奇偶性的判断方法:三角函数中奇函数一般可化为或的形式，而偶函数一般可化为的形式.3、解决对称性

18、问题的关键：熟练掌握三角函数的对称轴、对称中心.方法：整体处理法、代入验证法对于函数,其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心的横坐标一定是函数的零点,因此在判断直线或点是否是函数的对称轴或对称中心时,可通过检验的值进行判断.4、 确定函数单调区间的方法采用“换元”法整体代换,将看作一个整体,可令“”,即通过求的单调区间而求出函数的单调区间.若,则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数,再求单调区间.【类比演练】已知函数,若将函数的图象向右平移个单位后关于y轴对称,则下列结论中不正确的是()A. B.是图象的一个对称中心C. D.是图象的一条对称轴【解析】 函数的图象向右平移个单位,可得，

19、且的图象关于y轴对称,所以，解得，当k=0时可得 ,故，所以,所以不正确.故选C.考点三 求函数的解析式【典例】函数y=Asin(x+)的部分图象如图所示,则()A.y=sin(x-) B.y=sin(x-) C.y=cos(4x+) D.y=sin(2x+)【解析】由题中图象知,A=1,T=-(-),所以T=,所以=2.又当x=时,y=0,所以0=sin(2×+),所以=k-,kZ.当k=1时,=,所以y=sin(2x+),故选D.【备考策略】 由三角函数图像求y=Asin(x+)的解析式，通常由最高点或最低点确定A，由周期确定，由特殊点确定.其中对于的求解，往往需结合题目中给出的

20、的取值范围.【类比演练】（1）函数的部分图象如图所示,则的值为( )A. B.C. D.【解析】.由题图知,周期T=,A=1所以,所以=.由,得,不妨取.故选A.（2）已知函数f(x)=Asin(x+)(A>0,>0,-<<),则函数g(x)=f(2x-1)的单调递增区间是()A. 4k-1,4k+1(kZ) B. 4k+1,4k+3(kZ) C. 8k-2,8k+2(kZ) D. 8k+2,8k+6(kZ)【解析】显然A=3,=7-3=4,得=,所以f(x)=3sin(x+),又f(5)=3sin(+)=-3,得=,所以f(x)=3sin(x+),所以g(x)=3si

21、n(2x-1)+=3sin,由不等式2k-2k+,kZ,解得4k-1x4k+1,kZ,即函数g(x)的单调递增区间为4k-1,4k+1(kZ).故选A.考点四 三角恒等变换【典例】（1）已知cos（+）-sin =,则sin（+）的值是( )A.- B.- C. D.【解析】cos(+)-sin =cos -sin =(cos-sin )=sin(-)=.sin(+)=sin2+(-)=sin(-)=-sin（-）=-.故选B.（2）已知sin =,sin(-)=-,均为锐角,则角等于()A. B. C. D.【解析】因为,均为锐角,所以-<-<.又sin(-)=-,所以cos(-

22、)=.又sin =,所以cos =,所以sin =sin -(-)=sin cos(-)-cos sin(-)=×-×(-)=.所以=.故选C.（3）若,则的值为（ ）A. B. B. D. 【解析】由诱导公式得,平方得,则,所以,又因为,所以,所以，故选C.【备考策略】1、“给值求值”关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.一般可以适当变换已知式,求得另外函数式的值,以备应用;变换待求式,便于将已求得的函数值代入,从而达到解题的目的.2、“凑配角”：用已知角和特殊角将所求角表示出来，例如：等.3、“给值求角”实质就是转化为“给值求值”.解决此类题的关键是：（1）求

23、值.求出所求角的某种三角函数值.（2）界定范围.根据题设（隐含条件）确定所求角的取值范围.（3）求角.由所得函数值结合函数的单调性及角的取值范围确定角的大小.【类比演练】（1）计算的值为()A. B. C. D.【解析】原式=.（2）已知,(0,),且tan(-)=,tan =-,则2-的值为.【解析】因为tan =tan(-)+=>0,所以0<<.又因为tan 2=>0,所以0<2<,所以tan(2-)= =1.因为tan =-<0,所以<<,-<2-<0,所以2-=-.（3）已知函数，若方程的解为，则（ ）A. B. C.

24、D.【解析】因为，所以.令，可得.因为方程的解为，所以，所以，所以.因为，所以，所以.由得，所以.故选A.强化训练1、若函数f(x)sin(2x)cos(2x)(0<<)的图象关于(，0)中心对称，则函数f(x)在，上的最小值是( )A1BCD解析f(x)2sin(2x)，又图象关于(，0)中心对称，所以2×k，kZ.所以k，又0<<，所以，所以f(x)2sin2x，因为x，所以2x，f(x)，2，所以f(x)的最小值是.2、已知>0，在函数y2sinx与y2cosx的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，则 .解析由题意，两函数图象交点间的最短距

25、离即相邻的两交点间的距离，设相邻的两交点坐标分别为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，易知|PQ|2(x2x1)2(y2y1)2，其中|y2y1|()2，|x2x1|为函数y2sinx2cosx2sin(x)的两个相邻零点之间的距离，恰好为函数最小正周期的一半，所以(2)2()2(2)2，.3、设函数f(x)Asin(x)(A，是常数，A>0，>0)若f(x)在区间，上具有单调性，且f()f()f()，则f(x)的最小正周期为 .解析由f(x)在区间，上具有单调性，且f()f()知，f(x)有对称中心(，0)，由f()f()知f(x)有对称轴x().记f(x)的最小正周期为T，则T，即T.故，解得T.4、已知ABC中,则tanA= .【解析】解法一：列出方程组由第一个方程得,代入第二个方程得，即， 解得或，因为ABC中0<A<,所以sinA>0,，所以. 答案:.解法二：由已知得sinA>0,cosA<0, |sin A|<|cos A|,t