正态母体参数的置信区间

1、§ 7.3 正态母体参数的置信区间在第六章中我们看到,假设是未知参数的个点估计,那末一旦获得人们一个子样观察什(),估计值()能给人们一个明确的数量概念.这是很有用的.但仔细想一想,就会感觉到这还是不够的.因为点估计值只是的一种近似值,而点估计本身既没有反映这种近似值的精确度.又不知道它的误差范围.并且在数理统计学中光指估计的误差范围还是不够的,必须指出以多大概率,这个区间()包含未知数才行.这一类带有一定概率的区间,以后称作置信区间,它在实际中也是常常要用到的.定义 7.1 设母体具有概率函数f(x; ), 为未知参数为取自这个母体的子样.若对于事先给定的,0<<1,存

2、在两个统计量和()使得 (7.8)则称区间(, )为参数的置信度为1-的置信区间, 和分另称为置度1-置信下限和置信上限.由定义知道,置信区间(, )是一个随机区间,并且它的两个端点都是不依赖未知参数的随机变量,应着重指出的是,等式(7.8)的含意是指在重复取样下,将得到许多不同的区间(),(),根据贝努力大数定律,这些区间中大约有100(1-)%的区间包含未知参数.但对于一次抽样所得到的一个区间,决不能说不等式()<<()成立的概率为1-.因为这时(),()是两个确定的数,从而只有两种可能,要开这个区间包含;要末这个区间不包含.因此定义来说区间(),()属于包含未知参数的区间类的

3、置信度是1-.所以提置信度以示与概率有所不同,其理由即在于此.那末,在实际问题中如何寻求置信区间呢?让我们看一个例子.例 7.7 设轴承内环的锻压零件的平均高度服从正态分布N(,).现在从中抽取20只内环,其平均高度=32.3毫米.求内环平均高度的置信度为95%的置信区间.解 我们知道子样的均值是母体均值的点估计.由此构造一个子样函数 (=0.4)它含有求置信区间的未知参数,但它的分布N(0,1)不含有任何未知参数.故对于给定的置信度1-,可以查表得出相应的分位点,使得利用不等式变形可得它的等价形式为 (7.9)或于是 (7.10)这样,我们得到置信度1-的置信区间我们这里1-=95%,=0.

4、05,=0.025.查正态N(0,1)表得到=1.96.由子样观察值得到的=32.3.=0.4.n=20算得所以的一个置信区间为(32.12,32.48)由这个例子可以看出,寻求未知参灵敏的置信区间一般可通过下列三个步骤得到:(1) 寻找子样()的一个函数(;)它只含所要置信区间的未知参数而不含其它未知参数,且其分布也不含任何未知参数(当然也不包括等估参数).在不少场合,这个函数可以从未知参数点估计经过变换获得;(2) 对于给出的置信度1-,确定分位点.这里由于函数(;)的分布不含有任何未知参数,所以一般地说,这种分位点是可以算出的,特别,在(1)中确定函数时,往往选择这样的函数,使得其分布是

5、有表可查的常用分布;(3) 利用不等式变形求得未知参数的置信区间.上述例7.7给出了正态母体已知时均值的置信区间,当未知时,我们完全如假设检验中所做的一样,用方差的无偏估计代替母体方差.这时我们构造的子样函数为 (7.11)它只含有参数,而且它所服从的自由度为n-1的t-分布不依赖于任何参数.在给定置信度1-下,我们得到这里是由查自由度为n-1的t-分布表得到,利用不等式变形得到的置信度为1-的置信区间.关于正态母体的方差以及两个正态母的均值差和方差比的置信区间的构造是完全类似的。它们所用的子样函数与假设检验中所用的统计量有相同的分布.这里再讨论一下正态母体的均值与方差的联合置信区域.假如我们

6、需要求置信度1-=95%的置信域.在第五章中我们知道子样均值和方差的无偏估计是是相互独立的.所以我们构造两个只含未知参数和的相互独立的统计量 和 它们分别有N(0,1)和(n-1)分布,都不依赖于任何参数.要从 (7.12)解出 ,由于U与的相互独立.我们只要从求解就可以了.假设和为任意两个满足=0.95,0<,<1的数,那么我们可从和出发解出的值.当然有很多与的值的组合.这里为简单起见,我们忽略最佳性的讨论而取=于是.这样就可以由和分别求出,其中与的确定如在-检验中一样,然后利用不等式变形就可得出(,)的置信域.由(7.12)式我们得到最后我们必须指出,对于同一置信度的置信区间可以有很多,也就是置信区间不是唯一的.一般说来,所构造的置信区间的长度愈短愈好.例7.7中我们把=0.05分成相等的两部分得到置信区间为则的长度为32.48-32.12=0.36.若我们把=0.05分成=0.01,=0.04,则有查正态分布N(0,1)表得于是算得这样得到的置信度95%的置信区间为(32.14,32.51)其长度为32.51-32.14=0.37.比区间的长度长.一般地说假如