第13的运动学与刚体基本运动

1、第 13 章点的刚体的学与本1工程力学学习指导第三篇学与动力学第 13 章 点的学与刚体的基本学研究物体在空间的位置随时间的变化规律，以及物体上各点的速度和度这些物体的物体采用矢量的几何性质，但是不涉及引起都是相对的，因此研究物体的 的位移、及其上各点的速度和。 情形下，这些矢量的大小和的。必须指明参考体和参考系。度都是矢量，因此研究学随着时间的变化而变化，因而称为变矢量。13.1 教学要求与学习目标1. 掌握点作位矢、速度与及刚体基本的有关概念，如度；at 与an 的物理意义；刚体的平移与转动；刚体角速度、角度矢量等。2. 对于点的问题，能熟练地根据约束条件选择恰当坐标（直角坐标或弧坐标）建

2、立速度分析，对所得到的数学表解。方程，正确熟练地进行速度及加所代表的性质有清晰地了3. 对于刚体的基本形式，再根据确定的，要首先能正确、熟练地其形式建立相应的方程，并能熟练地计算刚体上一点的速度与度。13.2 理 论 要 点本章主要研究：点的和刚体的两种基本平移和转动。13.2.1 分析点的的三种点的分析主要是研究点的方程、速度和度。描述点在空间的位置随时间变化的数学表称为点的方程。研究点的通常有以下几种：21. 矢量法r = r(t) ， v = = d rd rdt 22a = = =r,vrdtr、v、a 分别为点在时间 t 瞬时的位矢、速度、度。且r = r(t) 为方程。2.直角坐标

3、法é i ùr = xi + yj + zk = (x, y , z)ê j úê úêëk úûé i ùv = x i + y j + z k = (x , y , z )ê j úê úêëk úûé i ùa = x i + y j + z k = ( x , y , z )ê j úê úêëk ú

4、û3.弧坐标法如果点的程、速度、轨迹已知，则点沿轨迹的度分别为规律可用弧坐标 s 表示，方s = f (t ) v = d r = ds d r= s tdtdt dsdtv2dvddvdtdv(vt ) =a =t + v=t +ndtdtrdtdt= att + an n式中t 和 n 分别为径。轨迹在点 P 处的切向和法向矢量,为轨迹的曲率半3式中的第一项称为切速度，为速度大小的变化率；第二项称为法速度，为速度方向的变化率，二者在t 与n 方向的投影分别为：v2s 2at = v = s ， an =rr建立点的方程的关键，是选择合适的，建立相应的坐标系（不管使用哪种坐标系，一

5、定要首先确定原点及坐标正向），并将点置于位置（不能放在特殊位置），根据问题的约束条件建立方程。4. 三种各自的特点及适用性1) 矢量法简明、直观，常用于理论推导，不适于具体问题的计算；2) 便于代数及微积分运算，常用于点的轨迹未知情况下的具体计算， 但所得结果物理意义不够直观；3) 弧坐标法速度、切速度、法速度的表物理意义明确，常轨迹未知的情用于点的况。轨迹已知情况下的具体计算，但不适用于点的13.2.2 刚体的基本1. 平移平移的定义：刚体在过程中，其上任取直线始终与它的最初位置平行。平移的特点是：刚体上各点的轨迹形状、速度、度相同。因此，只要，也就决定了整个刚体求得刚体上任意一点的的。，就

6、可得知其他各点的rA = rB + rBA根据平移的定义， rBA 为常矢量d rBA= 0dt故有r A = r B即vA = vB ®类似地，有：v A = v B4即aA = aB2.转动刚体转动的定义：刚体时，若其上（或其扩展部分）有一条直线始终保持不动。这条固定不动的直线称为转轴。轴线上各点的速度和度均恒为零，其他各点均轴线作圆周。图 13-1 二维刚体的转动如果研究位于定系Oxy 中的平面刚体绕垂直于纸面的轴 O 转动（图 131），则取与刚体固结并通过轴 O 的任意直线 OA，以 OA 与定坐标轴 Ox 之间的夹角为坐标。于是，转角 随时间 t 的变化描述了刚体的，由此

7、得到刚体转动的方程为j = f (t)刚体的角速度w与角度a 分别为w = j üa = w = j ýþ转角（或角位移） 、角速度w 与角度a 都是描述刚体整体的物理量。上式中，角速度 与角度 均为代数量。当规定转角 以逆时针方向为正时，与 均应以 增加的方向为正，即均按逆时针方向为正，相反则为负。若与 同号，则刚体转动；若异号，则刚体转动。刚体上点 P 作圆周的速度与度（切向与法向分量）的大小为vP = wrPa =(at )2 + (an )2 =(a r ) + (w r= ra 2 + w422)2PPPPPP5式中， rP = OP ，这表明，刚体转动

8、时，其上各点的速度和度与点到转轴的距离成正比，由下式确定r aaattanq = P = P=r w2w 2anPP13.2.3 角速度与角度矢矢为 k ，则刚体角速度与角度可以分别表示为矢量w设转轴Oz 的和a，称为角速度矢和角度矢，如图 13-2 所示。图 13-2 角速度矢与角度矢w = w k üa = a k ýþ若刚体转动，则a 与w 同向；若转动，则a 与w 反向。刚体上某一点 P 的速度可以表示为vP = w×rP式中， rP 为点 P 的位矢（图 13-2）。点 P 的度为aP = v P = w ´ rP + ´

9、r P = a ´ rP + w ´ vP+ w ´(w ´ r )= a ´ r= a + atnPPPP这表明，转动刚体上某一点的度由两部分组成，即式中的切速度at 与法速度an 。PP613.3 学 习 建议1. 建立非件，选择适当的点的方程时，根据点的约束条（轨迹已知采用弧坐标法；轨迹未知采用直角坐标法），确定表示该点在时位置的参量。再根据已知的条件，把参量表示为时间t 的函数，从而得到用适当的坐标形式表示的点的方程。2. 将点的方程中的参变量t 消去，即得到点的轨迹方程，由此，可以描绘点的轨迹。将方程对时间求导数后，得到速度和变化规律

10、。度的表，它们表明点的速度和度随时间的3. 为了确定点沿轨迹向和法向分量。在计算的性质，需要分别计算度的切轨迹的曲率半径时，常需要直角坐标法和弧坐标法的综合应用。故需熟练掌握下列式v = s =x 2 + y 2 + z 2da = s =( dtx 2 + y 2 + z 2 ) =a2 + a2 = x 2 + y 2 + z 2tn4. 在刚体是否作平行移动（特别是作曲线平移）时，只要根据平移刚体上各点轨迹形状相同的特征，通过对该刚体上若干特殊点（例如它与其他构件的两个连接点）的分析，就可确定刚体的平移。形式，如果有两点的轨迹完全相同，该刚体即作关于平移刚体上各点的分析，与点的分析相同，

11、所以只需分析其上任意一点。对于非接点所受约束的条件，先建立它的的平移刚体，可分析其联方程。作圆弧形曲线平移的问题，常应用弧坐标法分析线平移的问题，只需用一维坐标轴表示和分析其；作直。5. 在已知转动刚体的角速度与角度的条件下，根据相应的式，就可分析、计算刚体上任一点的速度及度。13.4 例 题 示 范7【例题 13-1】椭圆规机构如图 13-3 所示，已知 AC=CB=OC=r，曲柄 OC 转动时，j = w t ，带动 AB 尺，A、B 分别在铅垂和水平槽内滑动。求 BC 中点 M 的速度和度以及轨迹的曲率半径。【解】1分析 M 点的曲柄 OC 转动时，带动 BC 尺，而 CB 中点 M 作

12、轨迹未知的平面曲线 动。，可采用直角坐标法确定其运2建立方程建立如图 13-3 所示的直角坐标系jOxy，由图的几何为知，M 点的坐标x = OCcosj + CMcosjy = BMsinjüý图 13-3例题13-1þ(a)将j = w t 、r 代入式（1），得x = 3 rcosw tüï2ý(b)y = 1 rsinw tïþ2式（2）为 M 点的程参数方程。从式（2）中消去参数 t，得到 M 点的轨迹方x 2y 2+= 1(c)( 3 r)2( 1 r)222显然 M 点的轨迹是一个椭圆。3求点 M 的

13、速度和度v = v i + v j = x i + y j = (- 3 w r sin w t)i + ( 1 w r cosw t) jxy22所以点 M 速度的大小为v =v 2 + v 2 = 1 rw 9 sin 2 w t + cos2 w t = 1 rw 1 + 8sin 2 w t(d)xy22a = a i + a j = x i + y j = (- 3 w2r cosw t)i + (- 1 w2r sin w t) j(e)xy22所以点 M度的大小为a =a2 + a2 =(- 3 w2r cosw t)2 + (- 1 w 2r cosw t)2xy22(f)=

14、1 rw2 1+ 8 cos2 w t24确定轨迹的曲率半径r在点的学中可根据点的法速度表求出轨迹的曲率半径。将式(d)对时间 t 求导数可得切速度的大小为8sin 2wta = d v = 2rw2td t1+ 8sin2 wt由式(f)和切速度的表可得法速度的大小为16 sin 2 2wt1a - a =rw(1+ 8 cos2wt) -1+ 8sin2 wtan =2222t3rw2=2 1+ 8sin2 wt轨迹的曲率半径为1 r 2w2 (1+ 8sin2 w t)3= r(1+ 8sin2 w t)22r = v =43rw2a6n 2 1+ 8sin2 w t【例题 13-2】图

15、 13-4a 所示机构中齿轮 1 紧固在杆 AC 上，AB = O1O2，齿轮 1 和半径为 r2 的齿轮 2 啮合，齿轮 2 可绕 O2 轴转动且和曲柄 O2B 没有。设 O1A = O2B = l，j = bsinwt，试确定t =s 时，轮 2 的角速度和角度。2wvBCvAACAB1B1vDDjjOOOO121222a)b)图 13-4例题 13-2解：1分析机构的机构由杆 O1A、O2B、组合体 ACB 和轮 O2 四部分组成，除组合体 ACB 作平移（A、B 两点速度相同）外，其余三物体作2速度分析转动。因为杆 O1A 作转动，故点 A 的速度为vA = O1Aj = lbw co

16、swt组合体 ACB 作平移，点 ABD 有相同的速度（图 13-4(b)），即vD = vA = lbw coswt轮 2 的角速度为= lbw coswt= vDw2rr2293度分析点 A 的切速度为= O Aj = -w sin wtat 2lbA1根据刚体平移的性质，有= at = -lbw2 sin wtatDA轮 2 的角度为a= - lbw2ta =sin wt D 2r2r2当t = p s 时，可得2w= - lbw2w = 0 ，a（顺时针）22r2【例题 13-3】图 13-5 所示圆盘半径 R = 0.2 m，绕其中心轴 O 转动。在某瞬时，轮缘上点 A 的切速度at = 6m/s2 ，圆盘上任一点 B 的度与 OB 连线A间的夹角q 的正切 tanq = 0.75。求点 A 的速度大小 vA。【解】1圆盘作点的速度、分析转动，可应用转动刚体上B度与刚体的角速度、角度aq之间的求解。aB2求圆盘的角通过点 A 的切t度、角速度速度求圆盘的角Oa tR度Aa6Aa = 30 rad/s A 2R0.2图13-5例题13-3通过点 B 的度度与径向的夹角求圆盘的角速w2 = a tanqatanq30w =± =± = ±6.