平面向量的线性运算

1、平面向量的线性运算【学习目标】1.能熟练运用三角形法那么和平行四边形法那么，作出几个向量的和、差向量2 .能结合图形进行向量的计算.3 ?能准确表达向量加法的交换律和结合律，并能熟练地进行向量计算4 ?理解实数与向量的积的意义，会利用实数与向量的积的运算律进行计算5?掌握向量共线的条件.【要点梳理】要点一：向量加法的三角形法那么与平行四边形法那么1.向量加法的概念及三角形法那么r ruuu r umr ruuuruuir r r向量a,b ,在平面内任取一点 A,作AB a, BC b ,再作向量AC，贝U向量AC叫做a与b的和，r r r r uuu uuu uuur记作a b，即a b A

2、B BC AC ?如图本定义给出的向量加法的几何作图方法叫做向量加法的三角形法那么2 ?向量加法的平行四边形法那么r r uuu r uuir ruuu uuur两个不共线向量a,b，作AB a, AD b，贝U A,B,D三点不共线，以AB, AD为邻边作平行a b.这个法那么叫做两个向量求和的平行四边形法那么.uuur 四边形ABCD，那么对角线AC求两个向量和的运算，叫做向量的加法对于零向量与任一向量 a,我们规定a 00 a a要点诠释:两个向量的和与差仍是一个向量，可用平行四边形或三角形法那么进行运算，要点二：向量求和的多边形法那么及加法运算律但要注意向量的起点与终点1.向量求和的多

3、边形法那么的概念n个向量，依次把这n个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第n个向量的终点为终点的向量叫做这n个向量的和向量.这个法那么叫做向量求和的多边形法那么muir uuir uuruuuuAl An A1A2 A2 AsuirA A特别地，当A与An重合，即一个图形为封闭图形时，有uuiur uuuur AAuujuuir umrAn lAn AnAl2.向量加法的运算律(1)交换律：abba ；(2)结合律：(a b) c a (b c)要点三：向量的三角形不等式由向量的三角形法那么，可以得到r rr r lu r(1) 当 a, b 不共线时，| a b | | a | |b

4、| ；r rrrrrrrmr(2) 当a,b同向且共线时，a b,a,b同向，贝U |a b| |a| |b| ；r rur r rr,rr r uu r urrrr,r(3) 当a,b反向且共线时，假设| a| |b |，那么a b与a同向，|ab | |a | |b | ；假设| a |b |，那么a b与br r iu r 同向，|a b| |b| |a| .要点四：向量的减法1 .向量的减法(1) 如果b x a，那么向量x叫做a与b的差，记作a b，求两个向量差的运算，叫做向量的减法.此 定义是向量加法的逆运算给出的.相反向量：与向量a方向相反且等长的向量叫做a的相反向量.(2) 向

5、量a加上b的相反向量，叫做 a与b的差，即a b a ( b) ?求两个向量差的运算，叫做向量的减法，此定义是利用相反向量给出的，其实质就是把向量减法化为向量加法要点诠释：(1)两种方法给出的定义其实质是一样的(2)对于相反向量有rro.假设a ( a)0；假设r a ,b互为相反向量，贝Urr r rab, a br 0 .(3)两个向量的差仍是- 个向量.2.向量减法的作图方法r rUUT r uultruuu r rUUTIuuuuuruuu(1)向量a , b ,作 OA a,OBb ,那么 BA a b =OAOB ,即向量BA等于终点向量(OA)uuu减去起点向量(0B ).禾U用

6、此方法作图时，把两个向量的始点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为始点的，被减向量的终点为终点的向量(2)禾U用相反向量作图，通过向量加法的平行四边形法那么作出UULT 贝 VOC a ( b)，如图.由图可知，一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量要点五：数乘向量1. 向量数乘的定义实数与向量的积：实数 与向量 a 的积是一个向量，记作： a(1)| ar| | |ar|；(2)当0时，a的方向与a的方向相同； 当0 时? a 的方向与 a 的方向相反； 当 0 时， a 0.2 向量数乘的几何意义由实数与向量积的定义知，实数与向量的积a 的几何意义是： a 可以由 a

7、同向或反向伸缩得到 ?当| 1时，表示向量a的有向线段在原方向(0)或反方向(0 )上伸长为原来的|倍得到a；当 0 | 11 时，表示向量 a 的有向线段在原方向(0)或反方向( 0)上缩短为原来的 | |倍得到ra ；当1时，a = a ;当1时，a =- a，与a互为相反向量；当0时，a =0 ?实数与向量的积得几何意义也是求作向量 a 的作法3. 向量数乘的运算律设 、 为实数rr结合律： ( a ) ( )a；分配律：)a a a，a b) a b要点六：向量共线的条件1向量共线的条件1)当向量 a 0 时， a 与任一向量 b 共线(2)当向量a 0时，对于向量b ?如果有一个实数

8、，使 b a,那么由实数与向量的积的定义知b与a共线.反之，向量b与a( a 0)共线且向量b的长度是向量a的长度的倍，即活丨i a i，那么当brrb 与 a 反向时 ,2向量共线的判定定理a是一个非零向量，假设存在一个实数，使b a，那么向量b与非零向量a共线.r r uuu3向量共线的性质定理a bAC b , 假设向量b与非零向量a共线，那么存在一个实数 ，使b a.r uuu r UULTr.作 OA a,OBb,要点诠释：b0时，虽然b与a共线但不存在a 0是必要条件，否那么 a 0, 使b a ；有且只有一个实数，使b a ?化，表达了数形结合的高度统一 ？【典型例题】 类型一：

9、向量的加法运算r r r例1 ?如下图，三个向量a、b、c，试用三角形法那么和平行四边形法那么分别作向量【解析】利用三角形法那么作r r ruuua+b + c，如图1所示，作OAuuu rumr uuu ujur uu uuu再以B为起点，作BC c,那么OC OB BC OA ABruuu ra，以A为起点，作AB buur r ruuu r利用平行四边形法那么作 a + b + c，如图2所示，作OA aurBCuuu ,OBuuur r uuu,OC c，以 OA、(4) a b a b( b 0)是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转uuuuur r ruu

10、ir uuurOB为邻边作平行四边形OADB，贝y OD a b，再以OD、OC为邻边作平行四边形ODEC，贝Uuuu uuur uuur r r rOE OD OC a b c ?量，然后求【总结升华】题中，要求作三个向量的和，首先求作两个向量的和，因为这两个向量的和仍为一个向 这个向量与另一个向量的和，方法是屡次使用三角形法那么或平行四边形法那么【证明】如下图，在四边形CDEF 中，uuiu EFLUL uur T FC CDUUT DEr 0 ,uuuuuu uuuunruuu uuiruuur所以 EFFC CD DECF DCED ?uuu uuuuuuruuuuuruu在四边形AB

11、FE中，EF FBBA A田ui0,所以EFBFu AB所uuiu uuur uuur uuir uuur uuiuuuu uuuuuuuuuuuuurEF EF CF DC ED BFAB EA(CFBF)(EDEA)unr uuu ruuuu因为E、F分别是AD、BC的中点，所以ED EA 0 , ur举一反三：CFuuu uuuu0 ?所以 EF EFBFuuuABuuur DC ?uuu uuu uuuuuu求证:EF EF ABDC ?【变式1】任意四边形 ABCD , E为AD的中点， F为BC的中点,【总结升华】此题主要应用了封闭图形中所有向量依次相加之和为零向量的知识类型二：向

12、量的减法运算uuia r uur r 作 AB a , BC b ,例2. 1在平面内任画两个非零向量a、b，求作a - b ；2如图，不共线的两个非零向量a、b，求作向量a b , b a .【解析】i当a、b共线时，假设a、b同向，如以下图甲？任取一点a,uuiuruuurr uuurrrr rAB a , BC b，贝U AC a b a ( b)uuur r r 那么 AC a b.uuu r uuu ruuu r r uur r r2作 OA a , OB b，贝U BA a b, AB b a，如图右【总结升华】1题中，需要根据不同的情况分别求解？紧扣向量减法的定义是解决问题的关键

13、.2题中，求两个向量的加法、减法要注意三角形法那么和平行四形法测的应用，求两个向量的减法可以转化为向量的加法来进行，也可以直接用向量减法的三角形法那么，即把两向量的起点重合，那么两向量的差就是连接两向量的终点，且指向被减向量的终点举一反三：r >? r>r ,A 'c甲BA E -* C乙r r假设a、b反向，如上图乙？任取一点，作当a、b不共线时，如uuu r uur r以下图左.在平面内任取一点o,作OA a , OB b，那么.uur uuur uuu uuu BA BO OA OAuuu uuu uuu r r (OB)OA OB a b .uuu r uuu ru

14、uu(A)a b (B) a(C) b a(D) a b【变式1】O为正六边形ABCDEF的中心，设OA a,OB b，贝U DE 等于(【答案】B【高清课堂：向量的线性运算395568 例 2uuur【变式2 化简ACuuu uuu LUIT DB)(AB DC)umr uuu【解析】原式=AC AB类型三：与向量的模有关的问题例3. 1a、b、 c的模分别为1、2、3，求|a + b + c|的最大值;uuiruuu r uuu r uuu rr r r如下图，矩形ABCD中，|AD| 4 '3，设AB a , BC b , BD c ,试求|a + b + c|的大小.UUL ?

15、 DEAUUrCE1AD ,rr ruuuuuuuuururruuuruuuruuuuuuUULTUUL于是ab cABBCBDACBDDEBDBEADADr? la + b + c|的最大值为6.2过点D作A2的平行线，交BC的延长线于UUI如下图ADEC为平行四边形，或最值问题通常按以下方法进行:uuur2AD?DE/ AC , AD 0 BE ,?四边 求假设干个向量的和的模D| 8、3.寻找或构造平行四边形【思路点拨】1利用向量的三角形不等式求解；2构造平行四边形求向量模的长度.【解析】1:|a + b + c|w |a |+|b |+| c|=1+2+3=6 ,【总结升华】【变式1】

16、非零向量a , b满足|a|,7 1,|b|.71,且 |a - b |=4，求 |a + b | 的值.借助长度的向量表示待求模的向量来求模或利用向量的和的模的性质举一反三:uuu r uuu ruiu|a b|.【解析】如图，OA a, OB b，贝U BAuuur r r 以0A与0B为邻边作平行四边形 OACB，贝y |0C| |a b| .由于(.7 1) 2( 71)242.uuu 2 uuu 2 uur 2 故 |OA|2 |OB|2 | BA I2,所以 OAB是/ AOB为90。的直角三角形，从而OA丄OB ,所以Y OACB是矩形.uuur uuu r r根据矩形的对角线相

17、等有|OC | | BA | 4，即|a +b |=4.类型四：向量的数乘运算例4.2021安徽合肥月考计算以下各式(1)3( 2a b)2( 4 : 3b)；1 r r 1 r r 3 r(2)(4 a 3b)(3a b) b ;322(3) 2(3a 4b c) 3(2a b 3c)【答 案】(1)r 2ar 3b(2)1 r a6r3b ；(3)11b 11 ；.rrrrr r rr【解(1)3(2ab)2(4a3b)6a3b8a 6b 2a(3r3br4br a3 (2rb3 9 rbr3brrb【总结升华】数乘向量与数乘数不同，前者结果是一个向量，后者结果是一个数 时，a与a反向；=

18、0时，a =0 ；故a与a 一定共线.应用实数与向量的积的运算律 想数与数乘积运算的有关知识，加深对数乘向量运算律的理解同向；v 0 > 0时，a与a 时，应联举一反三:【变式1】计算:(1) 6(3a 2b )+9( 2a + b )；r2b(3a(3) 6(a b + c)4(a 2b + c) 2(2a + c). r r r r r18a +9 b =3b .2)1r(3ar2b)2r a r b231r2a 2br b7 1 r a23a31 u6 217 rr b7r a3b3 a6727r a1r b7r aAbr.0i.6262【解析】1原式=18 a 12b r a r

19、-a(3)原式=6 a 6b+6c 4a+8 b 4 c+4 a 2 c rrr r r rrr=(6a 4a +4 a)+(8 b 6b )+(6 c 4c 2 c)例5. 2021春 山西运城期中在边长为 =6 a +2 b .uuur uuu1求Ad Be的值；uuu uuu假设AF FD，求实数的值.uuu1的正 ABC中，BCuuu uuir uuu2BD , AC 3EC , AD 与 BE 相交uujruuuBF1 uuuuuu【思路点拨】2(AB通过题意可得AD丄BC,设 ABa,ACb，利用AEuuuuuuuuur2uuuuuur(2)通过计算可得BFBAAF2(1 )AB2

20、(1AC，记酣)uuu uuuuu2iuur(AB AE)uAB3AC，根据平面向量的根本定量计算即得结论.【解析】(1)由题意，D为BC的中点，而厶ABC为正三角形，? AD 丄BC,uuu r uur ruuuruuu设 AB a，AC b，又AC3EC ,2 uuirAC,代入计算即可3uuuBE，通过计算可得uuur 那么ADi r r 2 r r2(a b)中 a)uuuAF(2)根据题意:uuur uun BF1uuuAB-6r b r aujurADuuu ABuuu / 口2(11iuurAC )iuuiuur uw uw AC)BE(AE AB)2(1 )【高清课堂：向量的线

21、性运算395568 例 6】2(121uu u AB2(1uuurAC)uuuuuuUUJTuuuuuuu2 iuur AC ,3记BFBE ,那么BF(ABAE)uAB根据平2(1)3解得：=4.【总结升华】用向量来表示另外一些向量是用向量解题的根本功，除利用向量加、减法、数乘向量夕卜，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的根本向量或首尾相连的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解，既充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系，运用加法三角形、平行四边形法那么，运用减法三角形法那么，充分利用三角形的中位线，相似三角形对应边成

22、比例的平面几何的性质，把未知向量转化为与向量有直接关系的向量来求解？举一反三：uuur uuu uuiu r【变式1】如图， ABC三边中点为D、E、F,求证：AD BE CF 0/>TTuuuUTT3 TUTTTTUTADBECF =3 (AGBGCG)3TUIII2TUT3TUTTU=2T (GAGB)CG ='22GFCG【解析】3 T0=2【变式2】如图，四边形TUT TOADB是以向量OA a,1A1 TOB b为邻边的平行四TTJTl边形，又BM【解析】TUTT OMTLTT ? CNtt ON1 TJT严，TUTT ? BMTUTOB1 TUJCD3 TUTTL T

23、T CNTJTTBM1 TUTOD6TUT 1CN J2OD1 TUT T-CD，试用向量3TUT 1 TTT 抨BAT a 6bTUTTa、b表示OM ,1 TJTTTT 1 T T(°A OB) 6(a b)rnTT ON ,61 T 5r a b,6 -tTTttjtON OM -(a b) a31 uuu -OD616TJTTMN类型五:共线向量与三点共线问题2 TTT 2 TTT TUT OD (OA OB)-31b.635b6例6.设两非零向量(1) 如果AB(2) 试确定实数TT TT q 和 o, 不共线，m TLT q,BCITIT TT TJT2e1 8e2,CD

24、LT LT TT使kq e2和e ke2共线？要证明A, B, D三点共线，须证存在it使kq)证明Q ABe UUJtlULTIT3( eTT62)，求证TUT 使BDA,B,D三点共线.，定存在AB,BD共线，又有公共点?QUUB, D三点共线.umrIT IT!(e ke 2).TT TTT d TU TTLT BDBC CDLT2ei存在那么(kIT TTke1 e2 禾口LT，使 ke1IT)ekUTke2共线，IT TTG ke?)t只能有IT uLT JT LT TT(ei 62)即可？而假设 ke1 e?和 ei ke2TT862 3(q 62)ur TT TJT d)5(q

25、5AB,LTeiTTe2H1)T2,由于ei和e2不共线,那么k 1.【总结升华】此题充分地运用了向量共线的充要条件，即a,b共线存在a(正用与逆用)举一反三:【变式1】2021秋安徽滁州月考u uu1 设两个非零向量 q , e2不共线，如果UJUABIT UT2q 3e,uuuBCIT UT6q 23e 2,u UT4q 8e,，求证:IT设e, 三点共线，求UHT CD uue2是两个不共线的向量， k的值.A, B, D三点共线.uuiruu UUT IT UTAB 羽 ke2, CB e( 3e?,uu ur CDur2eiuue2，假设 a,【答案】1略；2 8UUT UUT UU

26、TCD【解析】1证明：？?？ bd bcu10GUT15q 5(U UU UUT2e 3e2)5ABUUT UUT UJUITuuUuuUUT(2) BD CD CB(2ee2)G362)6|? AD三点共线，462UUU UUTuuuUUuLUU? AB与BD共线，那么ABBD，即2? ke2(eB,D三点共线;UT4e2),所以2 k 4，解得k=8.UUU uuu? BD与AB共线，又它们有公共点-A、B、类型六：向量的综合应用UUL T EC如图所示，以UUT UUU? OD OA .UUIT 那么ODUL U OBUUIT OC ,在YOBDC中，设uuuBC与OD相交于E,那么BE

27、uu u OEUUUTED ,根据平面几何知识，知O是厶ABC的重心.uuu【总结升华】假设ABUUITCD且直线AB与直线CD不重合，那么AB / CD.、一UUU UUU例7 .A、B、C是不共线的二点， O是厶ABC内_点 假设 OA UUITOB的重心.【思路点【证拨】要uur 二UUU UULT UUIT uuuOAUU OC是与OA方向相反且长度相等的向量.uu UUU? AE是厶ABC的BC边上的中线，且u |OA| 2|OE |UUU UULT假设AB CD且直线AB与直线CD不重合，那么以 A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形举一反三:【变式1】如图，任意平面四边形uu 1 uuu uuir求证：EF - AB DC .ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点,证明：取以点? E是 AD的中点，A为起点的向量，应用三角形法那么求，如图? AEuuuUJU ? AF1 uur -AD .21 uuu uur -(AB AC),uuur 又?UUL TDC ,uur 1uuuuuunrAF (ABuDC)2AD? F是 BC的中点，UJJ 1uuj uur 1 uur (AB2ujU 1 uur1DC) -AD .1 uuu uur丄AB DC -AD 2AD -AB2DC .【总结升华