北师大版八年级上册第一章勾股定理单元检测题

1、北师大版八年级上册第一章单元检测题本次考试范围:勾股定理时间:90分钟分值:100分第卷(选择题共30分)一、选择题(每题3分,共30分)1.由下列线段a,b,c组成的三角形是直角三角形的是()A.a=1,b=2,c=3B.a=2,b=3,c=4C.a=3,b=4,c=5D.a=4,b=5,c=62.如图所示,AOC=BOC,点P在OC上,PDOA于点D,PEOB于点E.若OD=8,OP=10,则PE的长为()A.5B.6C.7D.83.下列结论中,错误的有()在RtABC中,已知两边长分别为3和4,则第三边的长为5;ABC的三边长分别为a,b,c,若a2+b2=c2,则A=90°在

2、ABC中,若ABC=156,则ABC是直角三角形;若三角形的三边长之比为345,则该三角形是直角三角形.A.0个B.1个C.2个D.3个4.小明准备测量一段河水的深度,他把一根长10 m的竹竿直插到离岸边6 m远的水底(竹竿插入水底泥土中的深度忽略不计),然后再把竹竿的顶端拉向岸边,此时竿顶和岸边的水面刚好相齐,则河水的深度为()A.7 mB.8 mC.9 mD.10 m5.将面积为8的半圆与两个正方形按图所示的方式摆放,则这两个正方形面积的和为()A.16B.32C.8D.646.若ABC的三边长a,b,c满足a-b2+b-2+c2-82=0,则下列对此三角形的形状描述最确切的是()A.等边

3、三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形7.如图所示,ACBD,O为垂足,设m=AB2+CD2,n=AD2+BC2,则m,n的大小关系为()A.m<nB.m=nC.m>nD.不能确定8.如图,A,B两个村庄分别在两条公路MN和EF的边上,且MNEF,某施工队在A,B,C三个村之间修了三条笔直的路.若MAB=65°,CBE=25°,AB=160 km,BC=120 km,则A,C两村之间的距离为()A.250 km B.240 km C.200 km D .180 km9.如图,在ABC中,AB=AC=5,BC=6,若点P在边AC上移动,则BP的最小值

4、是()A.5B.6C.4D.4.810.如图所示,在长方形纸片ABCD中,已知AD=8,折叠纸片使AB边与对角线AC重合,点B落在点F处,折痕为AE,且EF=3,则AB的长为()A.3B.4C.5D.6第卷(非选择题共70分)二、填空题(每题3分,共18分)11.在ABC中,若AC2+BC2=AB2,AB=12,则B的度数是. 12.古希腊的哲学家柏拉图曾指出:如果m表示大于1的整数,a=2m,b=m2-1,c=m2+1,那么a,b,c为勾股数.请你利用这个结论得出一组勾股数是. 13.中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明,在世界数学史上具有独特的贡献和地位,体现了数学

5、研究中的继承和发展.现用4个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”.在RtABC中,ACB=90°,AC=b,BC=a,如果大正方形的面积是10,小正方形的面积是2,那么(a+b)2的值为. 14.已知在ABC中,ACB=90°,AC=3,BC=4,分别以AC,BC,AB为直径作半圆,如图所示,则阴影部分的面积是. 15.如图所示,把长方形纸片ABCD沿EF,GH同时折叠,B,C两点恰好都落在AD边上的点P处,若FPH=90°,PF=8,PH=6,则BC边的长为. 16.如图,在RtABC中,ACB=90°,AB=5 cm,

6、AC=3 cm,动点P从点B出发,沿射线BC以2 cm/s的速度移动,设移动的时间为t s,当t=时,ABP为直角三角形. 三、解答题(共52分)17.(6分)如图,在ABC中,D是BC上的一点,AB=10,BD=6,AD=8,AC=17.(1)判断AD与BC的位置关系,并说明理由;(2)求ABC的面积.18.(6分)如图,在ABC中,AB=17,BC=9,AC=10,试求ABC的面积.19.(6分)如图是某同学设计的机器人比赛时行走的路径,机器人从A处先往东走4 m,又往北走1.5 m,遇到障碍后又往西走2 m,再转向北走4.5 m后往东一拐,仅走0.5 m就到达了B处,则点A,B

7、之间的距离是多少?20.(6分)如图所示,有两根长杆隔河相对,一杆高3 m,另一杆高2 m,两杆相距5 m.两根长杆都与地面垂直,现两杆顶部各有一只鱼鹰,它们同时看到两杆之间的河面上E处浮起一条小鱼,于是同时以同样的速度飞下来夺鱼,结果两只鱼鹰同时叼住小鱼.求两杆底部距小鱼的距离各是多少米.(假设小鱼在此过程中保持不动)21.(6分)如图,河边有A,B两个村庄,A村距河边10 m,B村距河边30 m,两村平行于河边方向的水平距离为30 m,现要在河边建一抽水站,需铺设管道抽水到A村和B村.(1)求铺设管道的最短长度是多少,请画图说明;(2)若铺设管道每米需要500元,则最低费用为多少?22.(

8、6分)有一个如图所示的长方体的透明鱼缸,假设其长AD=80 cm,高AB=60 cm,水深AE=40 cm,在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵,G在水面线EF上,且EG=60 cm.一小虫想从鱼缸外的点A处沿缸壁爬到鱼缸内G处吃鱼饵.(1)小虫应该走怎样的路线才可使爬行的路程最短?请画出它的爬行路线,并用箭头标注;(2)试求小虫爬行的最短路程.23.(8分)如图,在由6个大小相同的小正方形组成的方格中,设每个小正方形的边长均为1.(1)如图,A,B,C是三个格点(即小正方形的顶点),判断AB与BC的位置关系,并说明理由;(2)如图,连接三格和两格的对角线,求+的度数(要求:画出示意图,并说明理由).

9、24.(8分)八年级(3)班开展了手工制作竞赛,每名同学都需在规定时间内完成一件手工作品.陈莉同学在制作手工作品时的第一、二个步骤是:如图,先裁下一张长BC=20 cm,宽AB=16 cm 的长方形纸片ABCD;将纸片沿着直线AE折叠,点D恰好落在BC边上的点F处.请你根据步骤解答下列问题:(1)找出图中FEC的余角;(2)求EC的长.参考答案1.C2.B解析 由PDOA,OD=8,OP=10,利用勾股定理可求得PD的长,然后由角平分线的性质,可得PE=PD.3.C解析 错误,正确.4.B解析 如图所示,依题意得RtABC,其中AC=6 m,AB=10 m.根据勾股定理得AC2+BC2=AB2

10、,BC=8(m).即河水的深度为8 m.5.D解析 首先由面积为8的半圆求出半圆的直径,即直角三角形的斜边,再根据勾股定理求出两直角边的平方和,即这两个正方形面积的和.6.C解析 根据非负数的性质求出a,b,c的值,再根据直角三角形的判别条件判断即可.7.B解析 由于ACBD,运用勾股定理分别表示出AB2,CD2,AD2,BC2,然后计算m-n,即可得出m,n的大小关系.8.C解析 因为MNEF,MAB=65°,所以ABF=65°.因为CBE=25°,所以ABC=180°-65°-25°=90°.所以ABC是直角三角形.所以

11、AC2=AB2+BC2=1602+1202=2002.即AC=200 km.故选C.9.D解析 根据垂线段最短,得当BPAC时,BP最短.过点A作ADBC,交BC于点D.因为AB=AC,ADBC,所以D为BC的中点.又BC=6,所以BD=CD=3.在RtADC中,AC=5,CD=3,根据勾股定理得AD2=AC2-CD2=52-32=42,所以AD=4.因为SABC=12BC·AD=12BP·AC,所以BP=BC·ADAC=6×45=4.8.故选D.10.D解析 先根据长方形的特点求出BC的长,再由翻折变换的性质得出CEF是直角三角形,利用勾股定理即可求出

12、CF的长,再在ABC中利用勾股定理求出AB的长.11.60°12.答案不唯一,如20,99,101解析 取m=10,分别计算出a,b,c的值即可求解,答案不唯一.13.18解析 因为大正方形的面积为c2,直角三角形的面积为12ab,小正方形的面积为(b-a)2,所以(b-a)2=2,4×12ab=10-2=8.所以2ab=8,所以(a+b)2=(b-a)2+4ab=2+2×8=18.14.6解析 在RtABC中,ACB=90°,所以AC2+BC2=AB2.所以S阴影=直径为AC的半圆的面积+直径为BC的半圆的面积+SABC-直径为AB的半圆的面积=12A

13、C22+12BC22+12AC·BC-12(AB2)2=18(AC)2+18(BC)2-18(AB)2+12AC·BC=18(AC2+BC2-AB2)+12AC·BC=12AC·BC=12×3×4=6.15.24解析 由折叠的性质得BF=PF=8,CH=PH=6.在RtPFH中,由勾股定理得FH2=PF2+PH2=82+62=100,所以FH=10.所以BC=BF+FH+CH=8+10+6=24.16.2或258解析 因为C=90°,AB=5 cm,AC=3 cm,所以BC=4 cm.若APB为直角,则点P与点C重合,此时B

14、P=BC=4 cm,则t=4÷2=2.若BAP为直角,则BP=2t cm,CP=(2t-4)cm,AC=3 cm.在RtACP中,AP2=AC2+CP2=32+(2t-4)2,在RtBAP中,AB2+AP2=BP2,所以52+32+(2t-4)2=(2t)2,解得t=258.综上,当t=2或258时,ABP为直角三角形.17.解:(1)ADBC.理由如下:因为BD2+AD2=62+82=102=AB2,所以ABD是直角三角形,且ADB=90°.所以ADBC.(2)在RtACD中,因为CD2=AC2-AD2=172-82=152,所以CD=15.所以SABC=12BC

15、3;AD=12(BD+CD)·AD=12×21×8=84.18.解:如图,过点A作ADBC交BC的延长线于点D.在RtABD和RtACD中,因为AB2-BD2=AD2,AC2-CD2=AD2,所以AB2-BD2=AC2-CD2.设CD=x,因为AB=17,BC=9,AC=10,所以BD=9+x,故172-(9+x)2=102-x2,解得x=6.所以AD2=AC2-CD2=102-62=82.所以AD=8.所以ABC的面积为12·BC·AD=12×9×8=36.19.解:如图,过点B作BCAD于点C.由图可知AC=4-2+0.

16、5=2.5(m),BC=4.5+1.5=6(m).在RtABC中,AB2=AC2+BC2=2.52+62=42.25,所以AB=6.5 m,即点A,B之间的距离是6.5 m.20.解:由题意可知AB=2 m,CD=3 m,BC=5 m,AE=DE.设BE=x m,则EC=(5-x)m.在RtABE中,由勾股定理,得AE2=AB2+BE2.在RtDCE中,由勾股定理,得DE2=CD2+EC2.所以AB2+BE2=CD2+EC2,即22+x2=32+(5-x)2,解得x=3,则5-x=2.所以杆AB底部距小鱼3 m,杆CD底部距小鱼2 m.21.解:(1)如图,过点A作AC垂直河边于点C,延长AC

17、至点D,使CD=AC,连接BD,交河边于点E,连接AE,则抽水站应建在点E处,可使铺设的管道最短,最短长度为AE+BE,即BD的长.过点B作BFAC于点F.由题意,得AC=10 m,CF=30 m,BF=30 m,所以CD=AC=10 m.所以DF=10+30=40(m).在RtBDF中,BD2=302+402=502,所以BD=50 m.即铺设管道的最短长度是50 m.(2)最低费用为50×500=25000(元).22.解:(1)如图所示,作点A关于BC的对称点A',连接A'G,与BC交于点Q,连接AQ,QG,则AQQG为最短路线.(2)由(1)得A'B=

18、AB=60 cm.因为AE=40 cm,AA'=120 cm,所以A'E=120-40=80(cm).因为EG=60 cm,所以A'G2=A'E2+EG2=802+602=10000.所以A'G=100 cm.所以AQ+QG=A'Q+QG=A'G=100 cm.所以小虫爬行的最短路程为100 cm.23.解:(1)ABBC.理由:如图,连接AC.由勾股定理可得AB2=12+22=5,BC2=12+22=5,AC2=12+32=10,所以AB2+BC2=AC2.所以ABC是直角三角形且ABC=90°.所以ABBC.(2)+=45°.理由:如图,在格点上取一点B,连接AB,BC.由勾股定理得AB2=12+22=5,BC2=12+22=5,AC2=12+32=10,所以AB2+BC2=AC2.所以A