第2讲三角变换和解三角形

1、 .wd.三角变换与解三角形考情解读1.高考中常考察三角恒等变换有关公式的变形使用，常和同角三角函数的关系、诱导公结合2.利用正弦定理或余弦定理解三角形或判断三角形的形状、求值等，经常和三角恒等变换结合进展综合考察1两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(±)sin cos ±cos sin .(2)cos(±)cos cos sin sin .(3)tan(±).2二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 22sin cos .(2)cos 2cos2sin22cos2112sin2.(3)tan 2.3三角恒等式的证明方法(1)从等式的一边推导

2、变形到另一边，一般是化繁为简(2)等式的两边同时变形为同一个式子(3)将式子变形后再证明4正弦定理2R(2R为ABC外接圆的直径)变形：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C.sin A，sin B，sin C.abcsin Asin Bsin C.5余弦定理a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C.推论：cos A，cos B，cos C.变形：b2c2a22bccos A，a2c2b22accos B，a2b2c22abcos C.6面积公式SABCbcsin Aacsin Babsin C.7解三角形(1)两角及一边，利用正弦

3、定理求解(2)两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一(3)两边及其夹角，利用余弦定理求解(4)三边，利用余弦定理求解热点一三角变换例1(1)sin()sin ，<<0，那么cos()等于()ABC.D.(2) (2013·浙江)R，sin 2cos ，那么tan 2等于()思维启迪(1)利用和角公式化简式子，和cos()进展比拟(2) “切化弦 ；平方；降次A. B. C D思维升华(1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的

4、联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现张冠李戴的情况(2)求角问题要注意角的范围，要根据条件将所求角的范围尽量缩小，防止产生增解设函数f(x)cos(2x)sin2x.(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；(2)假设是第二象限角，且f()0，求的值热点二解三角形例1、完成考前11页的考向1和2；分小组完成例2(2014·江苏)假设ABC的内角满足sin Asin B2sin C，那么cos C的最小值是_例3在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足a2sin A，0.(1)求边c的大小；(2)求ABC面积的最大值思维启迪(1

5、)将0中的边化成角，然后利用和差公式求cos C，进而求c.(2)只需求ab的最大值，可利用cos C和根本不等式求解思维升华三角形问题的求解一般是从两个角度，即从“角或从“边进展转化突破，实现“边或“角的统一，问题便可突破几种常见变形：(1)abcsin Asin Bsin C；(2)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，其中R为ABC外接圆的半径；(3)sin(AB)sin C，cos(AB)cos C.例4角A、B、C是ABC的三个内角，假设向量m(1cos(AB)，cos)，n(，cos)，且m·n.(1)求tan Atan B的值；(2)求的最大值例5在AB

6、C中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，q(2a,1)，p(2bc，cos C)，且qp.(1)求sin A的值；(2)求三角函数式1的取值范围热点三正、余弦定理的实际应用例1(2013·江苏)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量cos A，cos

7、C.(1)求索道AB的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？思维升华求解三角形的实际问题，首先要准确理解题意，分清与所求，关注应用题中的有关专业名词、术语，如方位角、俯角等；其次根据题意画出其示意图，示意图起着关键的作用；再次将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识建立数学模型，从而正确求解，演算过程要简练，计算要准确；最后作答变式训练1如图，中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业，中国海监船在A地侦察发现，在南偏东60°方向的B地，有一艘某国军舰正

8、以每小时13海里的速度向正西方向的C地行驶，企图抓捕正在C地捕鱼的中国渔民此时，C地位于中国海监船的南偏东45°方向的10海里处，中国海监船以每小时30海里的速度赶往C地救援我国渔民，能不能及时赶到？(1.41，1.73，2.45)1求解恒等变换问题的根本思路一角二名三构造，即用化归转化思想“去异求同的过程，具体分析如下：(1)首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变换形式，角的变换是三角函数变换的核心(2)其次看函数名称之间的关系，通常“切化弦(3)再次观察代数式的构造特点2解三角形的两个关键点(1)正、余弦定理是实现三角形中边角互化的依据，注意定理的灵活变形，如a2Rsin

9、A，sin A(其中2R为三角形外接圆的直径)，a2b2c22abcos C等，灵活根据条件求解三角形中的边与角(2)三角形的有关性质在解三角形问题中起着重要的作用，如利用“三角形的内角和等于和诱导公式可得到sin(AB)sin C，sin cos 等，利用“大边对大角可以解决解三角形中的增解问题等3利用正弦定理、余弦定理解决实际问题的关键是如何将实际问题转化为数学问题，抽象出三角形模型(推荐时间：60分钟)一、选择题1(2014·浙江)为了得到函数ysin 3xcos 3x的图象，可以将函数ycos 3x的图象()A向右平移个单位 B向左平移个单位C向右平移个单位 D向左平移个单位

10、2(，)，sin()，那么cos 等于()AB.C或D3在ABC中，假设3，b2a2ac，那么cos B的值为()A.B.C.D.4(2013·陕西)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，假设bcos Cccos Basin A，那么ABC的形状为()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不确定5ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且tan B，·，那么tan B等于()A.B.1C2 D2二、填空题6tan，且<<0，那么_.7在ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，a2c22b，且sin Acos C3cos Asin C，那么b_.80<<<<，cos()，sin()，那么cos()_.9如图，嵩山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，小李在山脚B处看索道AC，发现张角ABC120°；从B处攀登400米到达D处，回头看索道AC，发现张角ADC150°；从D处再攀登800米方到达C