平面的基本性质与推论

1、康成中学高一数学组康成中学高一数学组1.2.1平面的基本性质与推论平面的基本性质与推论平面图形与立体图形比较平面图形与立体图形比较平面图形平面图形直线是向两方无限延伸直线是向两方无限延伸直线用线段加想象表示直线用线段加想象表示平面几何研究平面图形平面几何研究平面图形最简单、最基本的图形是：最简单、最基本的图形是：点、直线点、直线立体图形立体图形平面是向四周无限延伸，平面是向四周无限延伸， 无比平整的无比平整的平面用封闭平面图形加以想平面用封闭平面图形加以想象表示象表示立体几何研究空间图形立体几何研究空间图形最简单、最基本的图形是：最简单、最基本的图形是：点、直线、平面点、直线、平面点、线、面的

2、表示点、线、面的表示1. 1.字母表示：字母表示：点（元素）点（元素）：大写字母：大写字母A A、B B、C C、D D直线（点的集合）直线（点的集合）：小写英文字母：小写英文字母平面（点的集合）平面（点的集合）：用希腊字母：用希腊字母 或用平行四边形或用平行四边形ABCDABCD相对两字母表示，即相对两字母表示，即ACAC,l m n, 2.点、线、面之间的关系表示点、线、面之间的关系表示用集合中的关系符号用集合中的关系符号元素与集合关系：元素与集合关系：集合与集合关系：集合与集合关系：,; 平面的特征：平面的特征：(2) 无限延展性无限延展性(3) 没有厚度没有厚度(1) 平展性平展性平面

3、的画法：平面的画法：通常用平行四边形来表示平面。通常用平行四边形来表示平面。平面的表示：平面的表示：通常用希腊字母通常用希腊字母、等表示平面，或用等表示平面，或用表示平面的多边形的顶点字母来表示，如平表示平面的多边形的顶点字母来表示，如平面面ABC。三种语言转换图形语言图形语言 文字语言文字语言 符号语言符号语言 QPABP ABQ AB 点点P在直线在直线AB上上点点Q不在直线不在直线AB上上1AMACAC 平面平面平面平面点点M在平面在平面AC内内点点A1不在平面不在平面AC内内BCAABBC=B 直线直线AB与直线与直线BC交于点交于点BlA 直线直线l和平面和平面交于交于Al 平面平面

4、和平面和平面交于直线交于直线l1ABACAAAC 平平面面平平面面直线直线AB在平面在平面AC内内直线直线AA1不在平面不在平面AC内内,_) 1 (1A_A,_)2(1B_D正方体的各顶点如图所示，正方体的三个面所在平正方体的各顶点如图所示，正方体的三个面所在平面面 ，分别记作，分别记作 ，试用适当的符号填，试用适当的符号填空空 CBBACA1111,、) 3() 4(,_) 5 (11BA_11BA练一练练一练11BA1BB（6）平面）平面A1C1CA平面平面D1B1BD=A1B1C1D1O1ABCDOoo1平面基本性质公理1：1.文字语言：若一条直线 上的两点在同一个平面内，则这条直线上

5、所有的点都在这个平面内。,Al Bl ABl 2.符号语言:3.图形语言：AB平面的基本性质平面的基本性质基本性质基本性质2过一点可以做几条直线？两点呢？过一点可以做几条直线？两点呢？过平面内一点可以做几个平面？两点呢？三点呢？过平面内一点可以做几个平面？两点呢？三点呢？平面基本性质平面基本性质基本性质基本性质2 2：1. 1.文字语言：文字语言：经过不在同一直线上的三点，经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。有且只有一个平面。,ABCA B C唯唯一一不不共共线线2 2. .符符号号语语言言: :3.图形语言：确定一平面不共线CBACBA,(1),( )A., B.,C., D.A,(

6、2),_.(3)?1.2练习:用符号表示在直线在平面 外正确的是若那么直线 与平面 有个公共点请指出下列说法是否正确 为什么 空间三点确定一个平面 因为平面型斜屋面与地面不相交,所以屋面所在的平面与地面不相交.Al lAl lAl lAl ll lABAl Bll 平面基本性质平面基本性质基本性质基本性质3 3：1. 1.文字语言：文字语言：如果不重合的两个平面有一如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线。个点的公共直线。,2 2. .符符号号语语言言: :且且PPlPl3.3.图形语言：图形语言：两个相交平面的画法：两个相交平

7、面的画法：推论推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面经过两条平行直线，有且只有一个平面.baab推论推论1 经过一条直线和这条直线外一点经过一条直线和这条直线外一点,有且只有有且只有一个平面一个平面.ABCa二、平面的基本性质的推论二、平面的基本性质的推论课本课本 练习练习A思考与讨论：思考与讨论：已知两条直线相交，过其中任意一条已知两条直线相交，过其中任意一条直线上的一点作另一条直线的平行线，这直线上的一点作另一条直线的平行线，这些平行线是否都共面？为什么？些平行线是否都共面？为什么？1 :,D A B C

8、ll例例 、 已已知知求求证证: :直直线线AD,BD,CDAD,BD,CD共共面面ABCDl.:DllD 证明与 确定平面证明与 确定平面,.A B Cl lA B C 又又,DBD CD ADAD BD CD 即共面即共面例题讲解例题讲解11,ACPBB 1111例例2 2、在在长长方方体体中中为为棱棱的的中中点点 画画出出 由由A ,C ,PA ,C ,P三三点点所所确确定定的的平平面面 与与长长方方体体 表表面面的的交交线线. .PCDBC1AB1A1D1PCDBC1AB1A1D1例题讲解例题讲解1下面是一些命题的叙述语（下面是一些命题的叙述语（A、B表示点，表示点， a表示直线，表示

9、直线，、表示平面）表示平面）AA，B，ABBa，a，=a其中命题和叙述方法都正确的是其中命题和叙述方法都正确的是 练习：练习：D2下列推断中，错误的是下列推断中，错误的是 DA、B、C，A、B、C，且，且A、B、C不共不共C例题讲解例题讲解例例3 两两相交且不同点的三条直线必在同一个平面内两两相交且不同点的三条直线必在同一个平面内ABC已知：已知：ABAC=A，ABBC=B，ACBC=C求证：直线求证：直线AB，BC，AC共面共面.证法一：证法一：因为因为ABAB=A所以直线所以直线AB，AC确定一个平面确定一个平面 .（推论（推论2）因为因为BAB，CAC，所以，所以B ，C ，故故BC.（

10、公理（公理1）因此直线因此直线AB，BC，CA共面共面.ABC证法二：证法二：因为因为A 直线直线BC上，上，所以过点所以过点A和直线和直线BC确定平面确定平面 .（推论（推论1）因为因为A ， BBC，所以，所以B .故故AB ，同理同理AC ，所以所以AB，AC，BC共面共面.ABC证法三：证法三：因为因为A，B，C三点不在一条直线上，三点不在一条直线上，所以过所以过A，B，C三点可以确定平面三点可以确定平面 .（公理（公理3）因为因为A ，B ，所以，所以AB .（公理（公理1）同理同理BC ，AC ，所以所以AB，BC，CA三直线共面三直线共面.要证各线共面，先确定一个平面，要证各线共

11、面，先确定一个平面，再证明其他直线也在这个平面内再证明其他直线也在这个平面内例例4 已知三角形已知三角形ABC的三条边的三条边AB、BC、AC与平与平面面分别交于分别交于P、Q、R求证：求证：P、Q、R共线共线BAQRCP证明：证明：ABCABC平面平面PABPABC平面PP同理同理Q、R也为公共点也为公共点所以所以P、Q、R共线共线要证明各点共线，只要证明他们是两个平面的公共点小结：小结：掌握利用平面的基本性质证明诸点共面、诸线共面、掌握利用平面的基本性质证明诸点共面、诸线共面、三点共线、三线共点问题的一般方法三点共线、三线共点问题的一般方法1证明若干点或证明若干点或直线共面直线共面通常有两

12、种思路通常有两种思路（1）先由部分元素确定若干平面，再证明这些平面）先由部分元素确定若干平面，再证明这些平面重合；重合；（2）先由部分元素确定一个平面，再证明其余元素）先由部分元素确定一个平面，再证明其余元素在这平面内在这平面内2证明证明三点共线三点共线，通常先确定经过两点的直线是某，通常先确定经过两点的直线是某两个平面的交线，再证明第三点是这两个平面的公共两个平面的交线，再证明第三点是这两个平面的公共点，即该点分别在这两个平面内点，即该点分别在这两个平面内3证明证明三线共点三线共点，通常先证其中的两条直线相交于，通常先证其中的两条直线相交于一点，然后再证第三条直线经过这一点一点，然后再证第三条直线经过这一点直直线线不不共共面面。（5 5）两两两两相相交交的的三三条条则则与与重重合合。公公共共点点，有有三三个个不不在在一一直直线线上上的的（4 4）平平面面与与平平面面. .平平面面，则则a a直直线线a a，点点A A（3 3）若若点点A A条条直直线线确确定定一一个个平平面面。（2 2）经经过过同同一一点点的的三三面面。（1 1）三三点点确确定定一一个个平平：判判断断下下列列命命题题是是否否正正确确（）（）（）（）（）当堂检测当堂检测。D DB B与与平平面面A AB BC C（2 2）平平面面A AD D；D