中位线与中线

1、讲义编号：学员编号：年 级：八年级 课 时 数： 3学员姓名： 辅导科目：初中数学 学科教师：课 题 中位线与中线的专题授课日期及时段 2014 年 8月14日 15：0017：00 教学目的1 掌握中位线与中线的性质，同时能够将二者很好的鉴别开来。2 能够在做题中联想到中位线及中线，并能灵活运用。教学内容苏步青（大陆数学家）说：“学习数学要多做习题，边做边思索。先知其然，然后知其所以然”。【知识点回顾】一、中位线 (一)三角形中位线 1.定义:三角形中位连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 2.定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半如图，ABC中，DE是中位线，则有DE

2、BC，。 (1)证明1：如图，延 长DE 到 F，使EF=DE ，连 结CF.DE=EF 、AED=CEF 、AE=ECADE CFEAD=FC 、A=ECFABFC又AD=DB BD=CF所以 ，四边形BCFD是平行四边形DEBC 且 DE=1/2BC (2)证明2：如图，延 长DE 到 F，使EF=DE ，连 结CF、DC、AFAE=CE DE=EF四边形ADCF为平行四边形AD=CFAD=BDBD=CF四边形BCFD为平行四边形BC=DFDEBC 且 DE=1/2BCEBDACF(二) 梯形中位线：1. 定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线.2.定理：梯形的中位线平行于两底，并且

3、等于两底和的一半。（三）中点四边形：1）顺次连接任意四边形、平行四边形各边中点所得的四边形是 平行四边形；2）顺次连接矩形、等腰梯形及对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是 菱形；3）顺次连接菱形、对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形是 矩形；4）顺次连接正方形各边中点所得的四边形是 正方形；总结：中点四边形取决与原四边形的对角线；1）当原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形。2）当原四边形的对角线互相垂直时，中点四边形是矩形。3）当原四边形的对角线相等且垂直时，中点四边形是正方形。ABCD二、中线 1.定义：三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段。 2.表示法：(1)AD 是AB

4、C 的 BC 上的中线. (2)BD=DC = BC 注意：三角形的中线是线段；三角形三条中线全在三角形的内部；三角形三条中线交于三角形内部一点；中线把三角形分成两个面积相等的三角形。3.直角三角形斜边上中线的性质(1)性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半如图1，在RtBAC中，BAC=90，D为BC的中点，则。(2)性质的拓展：如图1：D为BC中点，AD=BD=DC=，1=2，3=4，ADB=23=24，ADC=21=22。因而可得如下几个结论：直角三角形斜边上的中线将直角三角形分成两个等腰三角形；分成的两个等腰三角形的腰相等，两个顶角互补、底角互余，并且其中一个等腰三角形的顶角等于另

5、一个等腰三角形底角的2倍（3）证明：方法一、构造矩形完成证明：如图，延长CD到点E，使DE=CD，连接AE和BE。由于AD=BD，所以四边形ACBE是平行四边形，又因为ACB=90°，所以ACBE是矩形。所以CE=AB，由于，所以。方法二、构造三角形的中位线完成证明：延长BC到点E使CE=BC，连接AE。点D是AB的中点，点C是BE的中点，CD是BAE的中位线，.在ACE与ACB中，AC=AC，CE=BC，ACB =ACE=90°，ACEACB（SAS）。AE=AB，。【例题讲解】1.如图，ABCD中，E、F分别是AD、BC边上的点，AE=BF，AF与BE相交于点M， CE

6、与DF相交于点N.求证：MNBC.分析：从要证明的结论可以看到MN与BC的关系很像三角形的中位线与三角形的第三边之间的关系。因此，应考虑证明点M、N分别是EB和EC的中点。证明：如图，连接EF，在ABCD中， AD=BC，ADBC，AE=BF，DE=CF四边形ABFE和四边形EFCD都是平行四边形。点M、N分别是EB和EC的中点。MN是EBC的中位线。MNBC.评析：本题借助平行四边形的性质，通过证明三角形的中位线，然后利用中位线定理证明结论。2. 如图，四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC=BD，M、P、N分别是边AB、BC、CD的中点，Q是MN的中点，（1）求证：PQMN；（

7、2）判定OEF的形状.分析：本题出现的线段中点比较多，考虑运用三角形的中位线定理解决问题。证明：（1）如图，连接PM和PN，M、P分别是边AB、BC的中点，PM是BAC的中位线。PMAC，。同理，PNBD，.AC=BD，PM=PN .Q是MN的中点，PQMN.（2）OEF是等腰三角形。PMAC，PNBD，OFE =PMN，OEF =PNM。PM=PN，PMN =PNM，OFE =OEF，OEF是等腰三角形。评析：综合利用三角形的中位线定理和等腰三角形的性质解决问题。【当堂练习】一、选择题1. 点D、E分别是ABC的边AB和AC上的点，下列说法不正确的是（ ）A、若点D、E分别是AB和AC的中点

8、，则B、若点D是AB的中点，DEBC，则点E也是AC的中点。C、若点D是AB的中点，则DEBC。D、若DEBC，则点D、E分别是AB和AC的中点。2. 如图，已知，E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，下列说法中不正确的是（ ）A、四边形EFGH是平行四边形。 B、若AC=BD，则四边形EFGH是菱形。C、若ACBD，则四边形EFGH是矩形。 D、四边形EFGH的形状不能确定。3. 如图，依次取三角形三边的中点组成三角形，最大三角形的周长是20cm，最小三角形的周长是（ ）A、10cm B、5cm C、3cm D、2cm 4. 如图，ABC 中，AB=8cm，AC=6cm，点E是BC

9、的中点，若AD平分BAC，CDAD，线段DE的长为（ ）A、1cm B、2 cm C、3 cm D、4cm5. 如图，点D、E分别是ABC的边AB和AC的中点，BE和CD相交于点F，则DF：DC等于（ ）A、1：2 B、1：3 C、2：3 D、3：4第3题 第4题 第5题 6梯形的上底长4cm，下底长6cm，则梯形的中位线长为( ) 7如果等边三角形的边长为3，那么连结各边中点所成的三角形周长为( )D. 8在四边形ABCD中，对角线ACBD，那么顺次连结四边形ABCD各边的中点所得的四边形一定是( ) 9M、N、P、Q顺次为四边形ABCD各边的中点，下面条件使四边形MNPQ为正方形的条件是(

10、 )D.四边形ABCD中，ACBD，且ACBD二、填空题1. 如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB和CD的中点，AD=BC，PEF=18°，则PFE的度数是。 第1题第2题 第3题2. 如图，ABC中，D、E、F分别是边BC、CA、AB的中点，AB=7cm， AC=5cm ，则四边形AFDE的周长等于。 3. 如图，矩形ABCD，P、G分别是BC和CD上的点，E、F分别是AP和GP的中点，如果DG=3，AD=4，则EF的长为。 4. 顺次连接等腰梯形四边中点得到的四边形的形状是。三、解答题1. 如图，RtABC中，ACB=90°，点D是AB的中点

11、，E、F分别是AC和BC的中点。求证：CD=EF. 2如图所示， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE=EB，求证：OEBC 3如图所示，在ABC中，点D在BC上且CD=CA，CF平分ACB，AE=EB，求证：EF=BD4. 如图，在锐角三角形ABC中，ADBC于D,E、F、G分别是AC、AB、BC的中点。 求证：四边形OEFG是等腰梯形。5、如图所示，BD、CE是三角形ABC的两条高，M、N分别是BC、DE的中点 求证：MNDE【课后习题】一、选择题1、如果顺次连结四边形各边中点组成的四边形是菱形，那么原来的四边形的对角线（ ）A.互相平分 B.互相垂直 2、顺次连结下列各四边形中点所

12、得的四边形是矩形的是（ ）. A等腰梯形 B矩形 C平行四边形 D菱形或对角线互相垂直的四边形 3、已知三角形的3条中位线分别为3cm、4cm、6cm，则这个三角形的周长是（ ）. A3cm B26cm C24cm D65cmBADCEFDO 4、如图，梯形ABCD中，AD/BC，BD为对角线，中位线EF交BD于O点，若FOEO=3，则BCAD等于（）A4 B6 C8 D10 5如图，中，、分别为、边上的点，为边上的中线，若=5，=3，=4，则的长为（）A. B. C. D. 6.如图，梯形ABCD中，ADBC，如果中位线EF的长为4cm，且BC3AD, 则梯形下底的长为( ) 7如图，ABC中，如果AB30cm，BC24cm，AC27cm，AEEFFB，EGDFBC，FMENAC，则图中阴影部分的三个三角形周长之和为( )第6题图 第7题图 二、解答题 1、过矩形ABCD对对角线AC的中点O作EFAC分别交AB、DC于E、F，点G为AE的中点，若AOG30o 求证：3OG=DC2、如图所示；过矩形ABCD的顶点A作一直线，交BC的延长线于点E，F是AE的中