三区间小波集上的维数函数

1、华东师范大学学士学位论文三区间小波集上的维数函数 姓 名: 朱钱华 学 号: B00112807 专 业: 信息与计算科学 指导老师: 顾 青2004年5月摘 要虽然上小波的维数函数已经有了完全的刻画， 但是我们对于维数函数的具体情形，除了刻画它的六条性质外，仍然知之甚少。要想找到一种构造所有维数函数的方法，或者找出维数函数的其它性质，依赖于其它的手段和对具体特例的研究。 由于最小频率支撑小波的维数函数比较容易计算出来，所以在本文中我们研究一类简单的最小频率支撑小波的维数函数，以此来探讨维数函数的各种性质。本文中，我们研究了其频率支撑为三区间之并集的最小频率支撑小波的维数函数(简称为三区间小波

2、集的维数函数)，得出了一些新的结果。关键词维数函数小波小波集最小频率支撑多分辨率分析Abstract Although people have fully characterized the dimension function of a wavelet，we know nothing about it except six characterizations of it 。A general constructive procedure which would allow us to produce all dimension functions or find other properti

3、es relies on other techniques and in studying examples。Because when a wavelet set of a minimally supported frequency (MSF) wavelet is fixed，the dimension function can be calculated，so we shall study the dimension function of MSF wavelets。 This paper is devoted to the study of the dimension functions

4、 of three interval MSF wavelet。Key wordsdimension functionwaveletwavelet setminimally supported frequency (MSF)multiresolution analysis(MRA)正 文一、 小波分析简介 长期以来，人们一直在寻找具有各种优点的特殊函数来分解任意函数。这方面，Fourier分析不可否认地占领着垄断地位。1882年法国数学家Fourier提出的傅氏分析无论在纯粹数学还是在应用数学，甚至在工程技术发展史上都长期占有极其重要的地位。但是，傅氏分析理论并非完美无缺，它的主要缺陷大致可归纳

5、如下：(1) 三角基在时域上没有局部化，因此不宜做局部分析，全域基给计算带来不便。(2) 傅氏分析只在有效，对于的，傅氏系数只是形式展开，而不能刻划函数的大小和性态。(3) 分辨率不高，在傅氏系数中，由于频谱点的等距分布，不能很好地反映一些具有突变的非平稳信号。小波理论是近几十年发展起来的一种新的数学方法。其实早在1910年Harr就给出了第一个也是最简单的小波函数系：Harr函数系。但直到1985年法国数学家Meyer才从理论上证明了一维小波基的存在，从那以后，小波理论无论是在理论上还是应用上都得到了长足的发展。1988年Mallat提出了多分辨率分析的概念，用多分辨率分析来定义小波并从尺度

6、函数出发来构造正交小波基。也是在1988年，Daubechies基于离散滤波器迭代方法构造了紧支规范正交小波基，并证明了有限正交小波基的存在性。近年来，小波的发展基本上沿着两个不同的方向，一方面构造同时具有多种优良性质的新型小波，如M-带小波、多小波、第二代小波等；另一方面，随着小波理论的日臻完善，小波在地震勘测、计算机视觉、数值分析、微积分方程数值解等方面都得到了广泛的应用。总之，小波分析作为一种新理论，已经和正在科学界掀起了一场轩然大波。由于小波分析克服了传统傅氏分析的不足，在时域和频域同时具有良好的局部化性质，而且它对高频采取逐渐精细的时域步长，从而可以聚焦到被分析信号的任意细节，因此小

7、波分析被誉为“数学显微镜”。二、 概念介绍Fourier变换作为一种工具在小波变换中经常用到。，的Fourier变换定义为：， 一个函数称之为正交小波，如果是上的完备规范正交系。例如Haar函数：称之为Haar母小波。集合被称之为小波集，如果存在一个上的正交小波， ,此时称是一个MSF小波。E.Hernndez和G.Weiss3证明了是小波集的充分必要条件是：满足 ,。中的一列子空间若满足下列条件，则称为上的多分辨率分析：； ；，是中的完备规范正交系。1995年，Lemari用函数证明某些小波与MRA相关联。Auscher5发现：任给上的一个小波,是上某个子空Page: 6the dimens

8、ion function of a wavelet describes dimensions of certain subspaces of 间的维数，显然，它的取值为整数，即：。因此我们称是上的维数函数。L.W.Bagget、H.A.Medina和K.D.Merrill6发现满足下列方程： ，。在1中，M. Bownik、Z. Rzeszotnik和D.Speegle1提出了又一个特性：，。他们还证明：上述三条性质以及 ， 共同刻画了维数函数，并且将这种刻画扩展到了多维空间。任给上的小波，具体是怎样的函数？即使是一个MSF小波，我们也很难回答。除了平凡情况以及Journ维数函数等少数已知的函

9、数外，要在构造出一个具体的函数，使得满足上面的六条性质，也不容易办到。上述六条性质，在缺乏具体函数的情况下，成了了解性质的终点。因为当上的小波给定时，对于与有关的即使非常简单的性质问题例如是否有界？是否任给,都能够取到?等等,我们都难以回答。要想寻找构造维数函数的方法，或者寻找它的其它性质，我们必须从具体的例子着手。由于最小频率支撑小波(MSF小波)的维数函数比较容易计算出来，所以我们可以研究一类简单的MSF小波的维数函数，以此来探讨维数函数的各种性质。另外，在1中，有如下结论：若是一个正交小波的维数函数，则存在一个MSF小波，=。且文章给出了当确定时，的小波集的算法。这个结论向我们展示了研究

10、MSF小波维数函数的重要性。本文中，我们研究了其频率支撑为三区间之并集的MSF小波的维数函数(简称为三区间小波集的维数函数)，得出了一些新的结果。三、 三区间小波集的刻画定理 三区间小波集的刻画在4中提到过,因为4现在无法查阅,在这里作者将它重新进行了描述,并加以证明。定理3.1：设是一个三区间小波集，则有如下表示：,其中：， ， ， ，。四、 三区间小波集的部分性质 由上面的定理刻画可知：被一个自然数对所控制。任给一个自然数，设是定理3.1中描述的小波集，是相应的MSF小波，是维数函数。下面我们考察的性质。命题4.1(2中的定理1). ，如果小波的支撑则。 借助于命题4.1，我们有如下结论:

11、命题4.2. 。 显然,当固定时, 有界，且上下界与无关。那么，上确界是否能够取到？如果能够，是否总是能够取到的？我们用下面的命题回答第一个问题。命题4.3. 当时,。 由后面的证明过程我们可以知道此时是可以表示出来的:令，则 。这个函数在1中也曾出现过，在那篇文章中，作者首先定义了该函数，然后证明它是一个维数函数。而这里的命题4.3不仅能说明它是一个维数函数,而且能够给出相对应的小波函数。只要令,其中是一个三区间小波集，且有如下表示：,其中： ， ， ， ， ， ，。 对于第二个问题，下面的命题可以作为一个反例。命题4.4. 当时,. 从后面的证明过程可以看出，这个时候的小波集是很奇妙的。而

12、此时的维数函数也是一个特殊的函数。对于任意一个维数函数，,且。Geipenberg7和Wang8各自证明了关于小波的一个有名的性质：小波是一个MRA小波当且仅当。所以，当时，既是一个MSF小波，又是一个MRA小波。 但是当固定时，并非只有时，才有。一个简单的例子就是。 M. Bownik、Z. Rzeszotnik和D. Speegle1证明了:如果是一个非MRA的MSF小波，能够取到整数，则能够取到到的所有整数。由我们得到，当固定时，的取值情况如何呢？命题4.3和命题4.4其实已经给出了及时，的函数式，而且这两种情况所对应的是完全不同的。显然，不同的对应着不同的。下面的命题将告诉我们，并非任

13、意所对应的都有本质上的不同，事实上，两侧的对应的具有对称性。命题4.5. 如果和满足:,那么=，。 由命题4.5的证明过程可知：任给,若为偶数，一定与MRA无关。而且命题4.5可以很快地给出满足下列条件时，的一个估计。推论4.1. 如果则。五、证明定理3.1：设是一个三区间小波集，则有如下表示：,其中： ， ， ， ， ，。证明：若是一个三区间小波集，不妨假设的分布为一个区间在负半轴上,另两个区间在正半轴上。即,其中且，。, 。 ，。 当三个区间平移合并到一个长区间时,记平移后的区间分别为,从左至右的排列有两种可能:(1) 模式设区间向右平移得,区间的右端点与区间的左端点重合。区间向左平移得,

14、区间的左端点与区间的右端点重合。则： 即： (2) 模式设区间向右平移得,区间向右平移得区间，区间向左平移得，的右端点与的左端点重合，的右端点与的左端点重合。则： 即：下面具体讨论(1) 模式解方程组得，即，即，.与矛盾。所以模式是不存在的(2) 模式解方程组得，即， ，。此时；，。 从上面的讨论可知，任意一个三区间小波集都可以表示如下： , 其中：， ， ， ， ，。 下面我们进行三区间小波集的维数函数性质的证明。为了便于证明，我们记 ，则。 记，。记为一个包含的长区间,由维数函数的周期性可知,我们只要讨论上的即可. 显然,在上.设,则在上的值取决于在上的重叠情况.命题4.2. 。证明： ，

15、 ， 。 由命题4.1可知：。命题4.3. 当时,。证明：, ,总是的整数倍 向左平移后所得的区间=, ， . 命题4.4. 当时,。证明：, 时, , 的右端点与的左端点重合 , 的左端点与重合,的右端点与重合. 从而, 首尾相连,且 。 。 综上可知:在上恒等于1，则,所以。 为证明命题4.5，我们必须用到下面两个引理。引理5.1. 任给三区间小波集，记。当时，令，。其中满足，记则。证明：所以只需要考虑左端点即 可。下面用归纳法证明。时，若， 若， 成立。 假设时成立，即： 则时，若， 若， ，即时也成立。 综上可知：结论成立。引理2. 任给三区间小波集，记。当时，令 则，其中满足。证明：

16、与引理1证明类似，略。命题4.5. 如果和满足:,那么=，。证明：当固定时，区间的长度为是固定的。 当时，对应的， 当时，对应的， 。 记引理1、2中的分别为和，由引理1，2: ，。 =-。 ，。 令，则在上，。 ， =，。 =，。推论4.1. 如果则。证明：当时,， ，=, ， 又。参考资料1.M.Bownik,Z.Rzeszotnik,andD.Speegle, A Characterization of Dimension Functions of Wavelets，Appl.Comp.Harmon.Anal.10(2001).2.B.Behera, Estimation of dime

17、nsion functions of band-limited wavelets ,Appl. Comp. Harmon. Anal., vol. 13, no. 3, (2002) pp. 277-282.3. E.Hernndez ,G.Weiss, A First Course on Wavelets,CRCPress Boca Raton 1996.4.Y-H.Ha, H.Kang,J.Lee, J.Seo, Unimodular Wavelets for L2 and the Hardy Space H2, Michigan Math. J.41, (1994), 345-361.5

18、. P.Auscher,Solution of two problems on wavelets,J.Geom.Anal.5(1995).6. L.W.Bagget,H.A.Medina and K.D.Merrill,Generalized multiresolution analyses,and a construction procedure for all wavelet set in , J.Fourier Anal.Appl.5(1999),563-573.7.G.Gripenberg,Aneccessary and sufficient condition for the existience of a father wavelet,Studia Math.1