关于公司投资模型问题

1、摘要本文解决的主要问题是:公司如何利用自己有限的金融资金20亿，分别在不考虑投资风险和考虑投资风险的情况下进行高效合理的投资，使投资利润最大化风险最小化。对于问题一，在预计到期利润率基本保持稳定的情况下，建立单目标线性规划模型，利用lingo软件进行最优化求解。得到在不考虑投资风险的情况下，20亿的可用投资资金在第五年末的最大利润为174140.5万元。对于问题二，因为表中数据都与时间有关，通过分析后建立了时间序列模型对今后五年各项目独立投资及项目之间相互影响下的投资的到期利润率、风险损失率进行了预测。对所给的附表2和附表3中的数据使用excel进行统计分析，利用最小二乘法，在SPSS软件中求

2、解，分别得出项目独立投资以及项目之间相互影响下的投资的到期利润率。预测未来五年独立投资的到期利润率、项目相互影响下的投资的到期利润率。针对风险损失率的问题建立了方差分析模型，最后得到独立投资下的风险损失率、项目相互影响下的风险损失率，最后对模型进行检验以确保其真实性。对于问题三，建立的是单目标线性规划模型，在问题一的基础上考虑了项目1的捐赠和项目5的固定可重复投资以及各项目之间的投资对利润率也会产生影响。使得约束条件发生改变，目标函数随之发生改变，建立单目标线性规划模型，得到在不考虑投资风险的情况下，20亿的可用投资资金在第五年末的最大利润为亿元，对于问题四，在问题三的基础上考虑风险投资情况，

3、既要使得利润最大，同时风险损失要达到最小。因此建立了一个双目标线性规划模型，通过把双目标模型变为单目标线性规划模型，利用lingo求解，做出结果分析。对于问题五：为了降低投资风险，获得更高的收益，考虑可以向银行存款和贷款的情况，因此建立改进的多目标线性规划模型， 利用lingo求解，进行相应的结果分析。通过对以上问题的分析，解决该公司的投资问题。关键字：单目标线性规划 时间序列模型 多目标优化模型 spss软件 excel lingo软件 一、 问题重述：1.1问题背景：随着市场经济的快速发展，投资各个项目进行赢利，已是许多公司取得利润的主要途径。但是这样的投资又存在着一定的风险。不是每一次投

4、资都能百分之百获得利润，所以怎样缓解与解决赢利与风险之间的矛盾，是每一个投资商及待解决的问题。本题就是要通过一个实例，建立数学模型，用数学的眼光来看待及解决这个问题。已知某公司现有数额为20亿的一笔资金可作为未来5年内的投资资金，市场上有8个投资项目（如股票、债券、房地产、）可供公司作投资选择。其中项目1、项目2每年初投资，当年年末回收本利（本金和利润）；项目3、项目4每年初投资，要到第二年末才可回收本利；项目5、项目6每年初投资，要到第三年末才可回收本利；项目7只能在第二年年初投资，到第五年末回收本利；项目8只能在第三年年初投资，到第五年末回收本利。1.2需要解决的问题：问题一，公司财务分析

5、人员给出一组实验数据，见附表1。试根据实验数据确定5年内如何安排投资？使得第五年末所得利润最大？问题二，公司财务分析人员收集了8个项目近20年的投资额与到期利润数据，发现：在具体对这些项目投资时，实际还会出现项目之间相互影响等情况。8个项目独立投资的往年数据见附表2。同时对项目3和项目4投资的往年数据；同时对项目5和项目6投资的往年数据；同时对项目5、项目6和项目8投资的往年数据见附表3。(注：同时投资项目是指某年年初投资时同时投资的项目)试根据往年数据，预测今后五年各项目独立投资及项目之间相互影响下的投资的到期利润率、风险损失率。 问题三，未来5年的投资计划中，还包含一些其他情况。 对投资项

6、目1，公司管理层争取到一笔资金捐赠，若在项目1中投资超过20000万，则同时可获得该笔投资金额的1%的捐赠，用于当年对各项目的投资。项目5的投资额固定，为500万，可重复投资。各投资项目的投资上限见附表4。 在此情况下，根据问题二预测结果，确定5年内如何安排20亿的投资？使得第五年末所得利润最大？ 问题四，考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金投资若干种项目时，总体风险可用所投资的项目中最大的一个风险来度量。如果考虑投资风险，问题三的投资问题又应该如何决策？问题五，为了降低投资风险，公司可拿一部分资金存银行，为了获得更高的收益，公司可在银行贷款进行投资，在此情况下，公司又应该如

7、何对5年的投资进行决策?二、问题分析本题研究的是公司做投资选择的数学建模问题。要对投资资金和投资项目做出选择来获得最大的利润，那么就要确定一个合理的5年投资计划。在未来的5年投资计划中，不可避免地要考虑有投资风险和没有投资风险的情况，但最终目的都是为了获得最大的利润，所以可以用获得的最大利润最为目标函数来建立相应的模型求解。 对于问题一，根据问题的要求和给出的数据，知8个项目的预计到期利率都是正值，所以此种情况下不用考虑投资风险。为了合理安排投资金额，获得最大的利润，采用线性规划模型，其目标是在不考虑风险的情况下安排20亿的投资金，使得第五年末的利润z最大，也即总利润最大。将5年的对8个项目的

8、投资利润累加起来就是要求的目标函数，要做的是如何安排5年的投资计划，每一年应该投资哪几个项目，每个项目的投资金额为多少。该决策受到两个条件的限制：1） 各个投资项目的投资上限。在任一项目的运行期间，公司对该项目的投资总额不能超过该项目的投资上限。运行期的概念是从投资开始到回收本利的这段时间。例如：第一年对项目三投资了30000万元，由于项目三的投资上限是40000万元，运行周期为两年，则第二年，该公司对项目三的投资额不能超过10000万元；2） 每年的可用资金。每年的可用资金等于上年的可用资金减去上年的总投资额再加上上年末各项目回收的本利。每年8个项目的投资金额总数不能超过该年的可用资金。对于

9、问题二，要求根据8 个项目近20 年的投资额与到期利润数据来预测未来5 年内各项目独立投资及项目之间相互影响下的投资的到期利润率、风险损失率. 由于表中给出的数据均与时间有关,可考虑用时间序列模型。先对数据样本进行差分处理使其平稳化，再进行零均值处理，并通过计算预处理自相关函数(ACF)和偏相关函数(PACF)后对模型定阶，取自准则函数最小值时的模型进行SPSS求解，最后对该模型进行检验，确保其真实性。对于风险损失率问题，可以建立方差分析模型。通过方差来测度风险，方差越大，就以为这风险越大。对于问题三，该题与问题一类似，也属于优化问题。其目标仍是在不考虑风险的情况下使第五年末所得总利润最大，要

10、做的决策是5年内的投资计划。但它与问题一的不同之处在于：1) 各项目的预计到期利润率不同。各项目的投资上限也不同。2) 约束条件也不尽相同。 3) 同时还要考虑问题二中的特定项目之间相互影响的问题，即当两个相互影响的项目同时在某年初投资时，这两个项目的预计到期利润率就应该按照相互影响下的利润率来算。因此我们同样建立线性规划模型，通过改变约束条件和目标函数并运用Lingo程序求出最大利润值。对于问题四，它的实质为在问题三的基础之上引入了风险估计，是一个利润最大与风险最低的双目标优化问题，为了使问题便于求解，我们可以将其转化为单目标线性规划问题，用最大利润减去最小风险作为最终的目标函数求其最大值。

11、确定目标函数与约束条件，最后通过Lingo程序求出最大利润值。对于问题五，为了降低投资风险，公司可以向银行存款和贷款。在此种要求下，假定同一年不能同时存在存款与贷款，且只在每年年初时存款与贷款。三、模型假设与符号说明假设1：题目所给数据真实可信。 假设2：未来5年内公司的运营是正常的，经济处于稳定状态，国家政策未出现大的调动。未来五年内投资后不做其它交易。 假设3：问题3中各项目投资时不考虑相互之间利润率的影响。 假设4：银行利率在未来5年内不会发生变动。假设5：贷款和存款都是逐年进行的。符号说明xijxij表示第i年投资j项目上的资金(i=1,2,3,4,5;j=1,2,3,4,5,6,7)

12、pj投资j项目的利润率(j=1,2,3,4,5,6,7)piji项目在与j项目同时投资时的利润率pijki项目在与j、k项目同时投资时的利润率R第5年年末的利润Sj项目j的投资上限pk自相关函数kk偏相关函数残差Xj第j个项目投资上限wi第i年的总投资额mi项目一在第i年所得捐赠金wi第i年末总投资的剩余额xi,j项目三四同时投资每个项目投资额xi,j项目五六同时投资每个项目投资额xi,j项目五六八同时投资每个项目投资额yi,j项目三四同时投资每个项目利润率yi,j项目五六同时投资每个项目利润率yi,j项目五六八同时投资每个项目利润率Ci每年的存款利率Di每年的贷款率Ti每年向银行存款量（亿元

13、）Hi每年向银行贷款量（亿元）Fj项目j的风险损失率四、模型的建立与求解分析4.11问题一数据分析用Excel中的统计工具计算出独立投资和共同投资的到期利润率制成表格，通过Excel中的绘图工具将最近20年的利润率绘制成图如下：图一 独立投资时的利润率分析图一，独立投资时项目7的利润波动最大，利润高，风险也最大，其次是项目8。项目3和4利润率波动最小。图二 联合投资时的利润率分析图二，联合投资时项目6和8的波动较大，项目3和4的波动较小。图一和图二对比分析，对比相同的项目，总体上联合投资利润率较高，波动也较大。这与实际情况是相符的，分开投资风险较小，联合投资利润较高，风险也大。问题一单目标线性

14、规划模型的建立该模型是为了解决资金投资问题，要求合理安排手中的资金，以5年为一个周期，使得第5年末所得的利润最大化。据此，建立目标函数如下：目标函数：约束条件：由于项目1、项目2每年初投资，当年年末回收本利（本金和利润）；项目3、项目4每年初投资，要到第二年末才可回收本利；项目5、项目6每年初投资，要到第三年末才可回收本利；项目7只能在第二年年初投资，到第五年末回收本利；项目8只能在第三年年初投资，到第五年末回收本利，而且投资没有考虑风险，想要第五年末利润达到最大，只要在项目能在第五年年末前收回成本就可资。如是有：(1)项目1和2的每年投资金额限制：(2)项目3和4的每年投资金额限制:由于项目

15、3和4年初投资到第二年末才能收回本利，所以第5年不能再投资(3)项目5和6的每年投资金额的限制：由于项目3和4年初投资到第三年末才能收回本利，所以第4、5年不能再投资(4)项目7的每年投资金额限制:由于项目7要在第2年初才能投资，第5年才能收回本利，所以只能投资一次(5)项目8的每年投资金额限制：由于项目8要第3年初投资，第5年才能收回本利，所以项目8只能投资一次(6)每年年初的投资总额应不大于前一年年末收回的本利。第一年： 第二年：第三年：第四年：第五年：综上所述，得到问题一的单目标最优化模型：目标函数：约束条件：问题一模型求解利用lingo软件对建立起的模型编程求解（见附录五）得5年末的最

16、大利润为亿元，5年内的投资决策方案如下表所示表一项目年数项目1项目2项目3项目4项目5项目6项目7项目8153333200200003240300032034043000053000000由上表可知第一年：项目1投资5亿，项目2、3、4、5投资3亿，项目6投资2亿，项目7、8不投资。第二年：项目1、2、3、4、8均不投资，项目5投资3亿，项目6投资2亿，项目7投资4亿。第三年：项目1、2、3、7均不投资，项目4投资0.6168亿，项目5和8投资3亿，项目6投资2亿。第四年：项目1、5、6、7、8均不投资，项目2投资0.35亿，项目3投资4亿，项目4投资3亿。第五年：项目1投资5.5218亿，问

17、题一模型结果分析根据模型可知，影响利润的大小有三个因素：预计到期利润率、投资额的上限和投资额。(1) 当投资额和投资额的上限一定时，预计到期利润率越大，总利润越大，反之则小，即在无风险的情况下，总利润与到期利润率成正相关关系。(2) 当投资额的上限和预计到期率一定时，通过改变投资额的大小，总利润的变化如下所示：表二投资额(亿元)1718192021总利润(亿元)图三：总利润与可用投资总额由上图可知，当投资额小于20亿时，总利润与投资额成正比；当投资额超过20亿时，尽管总利润与投资额呈增长趋势，但是对于公司来说损失大，所以应该使投资额限定在20亿以内。(3)当投资额和到期利润率一定时，投资额上限

18、增加时，总利润会相应的增加。问题二模型分析在问题二中，采用时间序列模型。令获取的数据样本为，对这列样本进行次差分处理使其平稳化，得到新序列。取前组或全部作为观测数据，进行零均值化处理，即，得到一组预处理的新序列。 通过计算预处理序列的自相关函数和偏相关函数，计算公式如下：分析易得平稳序列的偏相关函数是截尾的，自相关函数是拖尾的，因此可以建立一个AR（自回归序列）模型。问题二模型建立确定目标函数：其中是零均值平稳序列，运用最小二成法对参数进行估计。由观察值，可得以下（）个方程：对待估参数，定义函数使函数达到极小的为参数的最小二乘估计，记作，令，得满足正规方程令，则用代替，则得到的估计：而方差的最

19、小二乘估计为：准则法定阶：以为参数的AR模型，其最终预报误差为：AIC准则法定阶：准则的法定阶：在各自准则函数取得最小值的模型为使用模型。对于风险损失率方差分析模型：在投资学中，最常见的方式是用方差来反映收益率实际可能取值的分散程度，即不确定性程度风险，因此用可能收益率对期望收益率的偏离程度来度量投资的风险，其风险损失率为。综上所述得到问题二的目标函数为：问题二的模型检验检验：若拟合模型的残差记为，设未知参数估计值是,残差检验的假设是：，当；：对于某些。在成立时，若充分大，近似于分布，其中是估计得模型参数个数。问题二的模型结果分析通过原始数据的差分处理使其平稳化，在进行零均值化处理，判断它的模

20、型类别。在通过最小二乘法对其参数进行估计，最后对模型进行检验，通过则对接下来的数据进行预测，主要流程图如下：图四图五用SPSS软件对单独投资部分数据处理结果：(3) 八个项目独立投资的到期利润率和风险损失率如下表：表三到期利润率20032004200520062007200820092010风险损失率123459678(4) 重复投资的到期利润率和风险损失率如下表所示：表四到期利润率200420052006200720082009风险损失率3(3,4)4(3,4)5(5,6)5(5,6,8)6(5,6)6(5,6,8)8(5,6,8) 结果分析：通过对比独立投资和重复投资，可以看出项目三和项目

21、四独立投资和重复投资有明显的差异，独立投资时到期利润率越大，其风险损失率也越大；在重复投资中，对于同一项目，重复的项目越多，其到期利润率越小，风险损失率越大；在不同的项目中重复一样多的项目，到期利润率越大，风险损失率越大。问题三模型建立在问题一的基础上，同样分五个阶段求解。对项目一的投资是否超过2亿元的判断，令若，利用此判别式可以对项目一的投资能否获得捐赠很好的判断，其它的同问题一。3） 第一年总投资额：第一年剩余额：第一年末本利：约束条件：；(2)第二年总投资额：第二年剩余额：第二年末本利：约束条件：；(3)第三年总投资额：第三年剩余额：第三年末本利：约束条件：；(4)第四年总投资额：第四年

22、剩余额：第四年末本利：约束条件：(5)第五年总投资额：第五年剩余额：第五年末本利：综上所述得到问题三的线性最优化模型：目标函数：约束条件为：问题三的模型求解这是一个线性规划模型，采用lingo软件进行求解（求解程序见附录6），解得第五年的最大利润为亿元,五年内的投资方案如下表所示：表五投资额（万元）第一年第二年第三年第四年第五年项目10066项目264068项目300项目40033项目533333项目644444项目730333项目833333问题三的模型结果分析模型三相对于模型一，最终得到的利润增加了4倍多，而模型三与模型一目标函数一样，只是约束条件发生了改变，而由模型一的结果分析可知，当用

23、于投资的资金超过了20亿元时，其利润是不会随着投资资金的增加而增加的，模型三中，由于资金的捐赠使得用于投资的资金增多，大了20亿，所以说模型三中利润的增加不是由于投资资金的增加引起的，而是由利润率的改变和项目5的投资金额固定这两个约束条件共同影响的。问题四模型建立确定目标函数：问题四中引入了投资风险，要求在考虑风险的情况下，重新抉择。在此情况下，应使利润最大，同时风险尽可能小。为了便于求解将最大利润与最小风险值之差作为目标函数。确定约束条件：由于只是在问题三的基础上考虑了风险，则约束条件同问题三。综上所述，建立单目标最优化模型问题四模型求解运用lingo 求解程序（见附录七），求解5年末的利润

24、为31.46908亿元，具体决策如下；表六项目(亿元)年份1234567820066600020076030200866003003200966300002010660000002006年：项目1,2投资6亿元，项目3投资3.50亿元，项目4投资2.09亿元，项目6投资1.57亿元,其余项目不投资2007年：项目1投资2.66亿元，项目2投资6亿元，项目3投资0.0012亿元，项目4投资0.91亿元，项目6投资2.43亿元，项目7投资3亿元，其余不投资。2008年:项目1,2投资6亿元，项目5,8投资3亿元，其余不投资2009年:项目1,2投资6亿元，项目3投资3.5亿元，项目4投资3亿元，其

25、余不投资2010年:项目1,2投资6亿元，其余不投资。问题四结果分析与问题三的结果比较可知在考虑风险的情况下，总体利润明显下降，并且投资策略也发生了变化，这与实际是相符的。考虑风险损失时，应该尽量把资金投入风险小得项目，风险损失是相当可观的。问题五模型建立假定五年内存款与贷款利率不变，并以2006年的利率为标准，利息按复利计算。经调查发现2006年的年存款利率为，贷款利率为。设第年存款万元，贷款万元。因为存款贷款不能同时进行，所以。在第四问的基础上，我们考虑可以存款和贷款这一条件，确定目标函数约束条件的确定：由于考虑了可以从银行进行存款和贷款，因此约束条件作出了如下改变：每年年初的投资总额应不

26、大于前一年年末收回的本利。第一年： 第二年：第三年：第四年：第五年：综上所述，得到问题五的单目标最优化模型目标函数：约束条件：问题五模型求解运用lingo 求解程序（附录八）如下，求解5年末的利润为3.190736亿元，具体决策如下：表七项目(亿元)年份12345678贷款额存款额20066600000020076630430020086603003020096630000020106600000002006年项目1,2投资6亿元，项目3投资3.50亿元，其余不投资，贷款3.75亿元。2007年项目1,2投资6亿元，项目3投资0.011亿元，项目4,7投资3亿元，项目6投资4亿元，存款0.13

27、2亿元。2008年项目1,2投资6亿元，项目3投资3.50亿元，项目5,8投资3亿元，其余不投资，存款0.0959亿元。2009年项目1,2投资6亿元，项目3投资0.011亿元，项目4投资3亿元，其余不投资，存款0.0959亿元。问题五模型结果分析随着投资风险发生概率的增加，投资所获得总利润减小，这是与实际生活相符合的。五、模型的评价、改进及推广本题主要通过lingo进行单目标最优化模型求解以及时间序列进行预测，进而制定出合理的投资方案使得公司所获利润最大。模型原理简单明了，但由于忽略了社会因素以及项目之间的相互影响使得预测出的利润率与实际值有部分差异，在实际应用中应加以考虑。优点：1） 在问

28、题二中采用自回归时间序列模型，更好的预测了到期利润率和风险损失率，同时使结果更为精确。a) 利用我们在问题二中建立的模型，可根据往年的投资额和到期利润数据来预测未来5 年独立投资及相互影响之间的到期利润率和风险损失率。b) 在问题四中建立的模型和在问题三中建立的模型的基础上考虑了投资风险，最终得到的决策相比于模型三有较大的改变，而这种改变后的决策更具有实际参考价值。缺点： 1) 我们使用的数据量有限，计算机模拟次数太少，求解的结果误差较大。 2) 预测风险时，我们忽略了许多外在环境的影响，求解的结果和实际值会有一定差距。（1）计算机模拟更多次，使得数据量足够大，求解结果更具有代表性。（2）深入

29、调查市场情况，考虑多种因素对利润影响因素。本文中的模型除了可应用于公司投资方面外，还可应用于银行贷款，对证券的投资，资源安排等实际问题。六、参考文献1 袁亚湘，最优化理论与方法M北京：科学出版社，2003.2 运筹学教材编写组编，运筹学（3版），北京：清华大学出版社3 冯文权，经济预测与决策技术M. 武汉大学出版社，2002.4 姜启源，谢金星，叶俊，数学模型(第三版) M . 高等教育出版社,2003.5张红梅 杨铁军 matlab基础及其应用教程附录：附录一：表1.  投资项目预计到期利润率及投资上限项目12345678预计到期利润率上限（万元）60000300004000030

30、00030000200004000030000注：到期利润率是指对某项目的一次投资中，到期回收利润与本金的比值。附录二：表2. 各投资项目独立投资时历年的投资额及到期利润（万元）项目123456781986投资额30035741430757554352301569774993到期利润4791261338910-795555862259189871987投资额72326886507079297480546330414830到期利润1211164221015395044-1158638693981988投资额33455659666575135978455850554501到期利润507629254

31、01233-3608-611236832103551989投资额53086272633367494034739264424092到期利润78760283616168081494616834-72661990投资额45975294514853846220606860955270到期利润71136527651099223008319-19618-26971991投资额43785095597372946916627677636335到期利润756621254915595130-90282223027331992投资额64867821444955865812657762765848到期利润846935

32、1078100693581318-59901247091993投资额69743393426854145589447268633570到期利润1489593195517409207423738552145111994投资额41164618547464735073634568663044到期利润353749204115487044-2291-3969145701995投资额74035033685967075377478352026355到期利润1117911139211687488146470314192451996投资额42374996560355975231418168305018到期利润57

33、19643077188172095721-2156850751997投资额30515707487738447434422253705960到期利润449868113811315196317399069148641998投资额75745052546036817936774563913861到期利润139695813721221584910740-27334-46261999投资额35105870569757013898721651354218到期利润364108914561757-62910770-24878-57862000投资额68797396551656237471550131744210

34、到期利润994155828641461776971518981218332001投资额35114780625569256598604348627988到期利润63811753230222380207916-46712213572002投资额36607741431543797120613136615393到期利润5381527115514944616641164239-115382003投资额448647563871552958075576 3029到期利润4668621022204653956178 118192004投资额7280731264717760 

35、60;  到期利润1389131920603227    2005投资额30825083      到期利润403787      附录三：表3. 一些投资项目同时投资时历年的投资额及到期利润（万元）项目同时投资项目3、4同时投资项目5、6同时投资项目5、6、834565681986投资额4307575543523015435230154993到期利润102626861442263466782542-31451987投资额5070792974805463748054634830到期利润2188355830092935-386115120132701988投资额6665751359784558597845584501到期利润327232224431440047941884-33561989投资额6333674940347392403473924092到期利润20502778344447330021549108201990投资额5148538462206068622060685