北京市海淀区高三数学查漏补缺试题

1、三角函数1在中，、所对的边长分别是、.满足. （1）求的大小； （2）求的最大值.2已知. （1）求的对称轴方程； （2）将函数的图象按向量平移后得到函数的图象，若的图象关于点对称，求的最小值.数列1设数列的前项和为，且满足. （）求证：数列为等比数列； （）求通项公式； （）设,求证：. 2无穷数列满足：（为常数）.（1）若且数列为等比数列，求； （2）已知，若，求；（3）若存在正整数，使得当时，有，求证：存在正整数，使得当时，有立体几何1在直平行六面体中，是菱形，. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求直线与平面所成角的大小.2如图，二面角为直二面角，PCB=90°

2、;, ACB=90°，PMBC，直线AM与直线PC所成的角为60°，又AC=1,BC=2，PM=1. （）求证：ACBM; （）求二面角M-AB-C的正切值； （III）求点P到平面ABM的距离.概率1理：某自助银行共有4台ATM机，在某一时刻A、B、C、D四台ATM机被占用的概率分别为、，设某一时刻这家自助银行被占用的ATM机的台数为 （）如果某客户只能使用A或B型号的ATM机，求该客户需要等待的概率； （）求至多有三台ATM机被占用的概率； （）求的分布列和数学期望.2文：某自助银行共有4台ATM机，在某一时刻A、B、C、D四台ATM机被占用的概率分别为、. （）如果某

3、客户只能使用A或B型号的ATM机，求该客户需要等待的概率； （）求至多有三台ATM机被占用的概率； （）求恰有两台ATM机被占用的概率.3小明一家三口都会下棋.在假期里的每一天，父母都交替与小明下三盘棋，已知小明胜父亲的概率是，胜母亲的概率是. （1）如果小明与父亲先下，求小明恰胜一盘的概率； （2）父母与小明约定，只要他在三盘中能至少连胜两盘，就给他奖品，那么小明为了获胜希望更大，他应该先与父亲下，还是先与母亲下？请用计算说明理由.解析几何1已知动点P到直线的距离是到定点（）的距离的倍. （）求动点P的轨迹方程； （）如果直线与P点的轨迹有两个交点A、B，求弦AB的垂直平分线在y轴上的截距的

4、取值范围.2已知点分别是直线和的动点（在轴的同侧），且的面积为，点满足. （1）试求点的轨迹的方程； （2）已知，过作直线交轨迹于两点，若，试求的面积. （3）理：已知，矩形的两个顶点均在曲线上，试求矩形 面积的最小值.函数、导数1设，曲线y= f(x)在点（2，f(2)）处的切线方程为y = x+3. （1）求f(x)的解析式； （2）若x2,3时，f(x)bx恒成立，求实数b的取值范围.2（理）已知函数（，R） （1）求函数的单调区间； （2）求函数在上的最大值和最小值2（文）设函数 （）求的最小值； （）若对恒成立，求实数的取值范围不等式1已知函数和的图象关于y轴对称，且 （I）求函数的

5、解析式； （）解不等式；2已知不等式的解集为，不等式的解集为. （1）求集合及； （2）若，求实数的取值范围.数学参考答案三角函数1解：（1）由正弦定理及得，. 在中，即. 又，. （2）由（1）得，即.，.当时，取得最大值.2解：（1） 由得.的对称轴方程为. （2）由题意可设则又因为的图象关于点对称，则有，即.所以当时，数列1证明：（）,. 又,是首项为，公比为的等比数列且. （）时，,时，.故. （） .2解：（）由为等比数列，知与无关，故.当时，数列是以为首项，以为公比的等比数列. （）当时，.取为，累乘得:（）.当时，.而， （）当时，说明异号，此时不存在正整数，使得当时，有.当时，

6、必存在正整数（取大于的正整数即可），使得当时，有，即存在正整数，使得当时，有；因为存在正整数，使得当时，恒有成立，取为与的较大者，则必存在正整数，使得当时，.存在正整数，使得当时，有立体几何1证明：（1）连接交于，连结.在平行四边形中，四边形为平行四边形. .平面，平面，平面. （2）在直平行六面体中，平面，.四边形为菱形，.，平面，平面，平面.平面，平面平面. （3）过作交于.平面平面，平面平面，平面.为在平面上的射影.是与平面所成的角.设，在菱形中，.在Rt中，.，. （3）解法二：连交于，分别以,所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示.设，在菱形中，,.则（0，0），（0，0）

7、，（1，0，2），（0，0，2）.（0，2），（1，2）.设平面的法向量（，），则.令，则.（0，）.设与平面所成的角为.2解：（）平面平面，平面,平面平面 平面.又平面,. （）取的中点，则连接、平面平面，平面平面，平面，从而平面作于，连结，则由三垂线定理知从而为二面角的平面角直线与直线所成的角为60°， 在中，由勾股定理得在中，在中，在中，故二面角的大小为 （）如图以为原点建立空间直角坐标系设，由题意可知，由直线与直线所成的角为60°，得即，解得，设平面的一个法向量为，则由，取，得.取平面的一个法向量为则由图知二面角为锐二面角，故二面角的大小为 （）因为，所以，所以，因

8、为平面，所以平面.所以P点到平面ABM的距离等于N点到平面ABM的距离,，又，由等积可知，解得，P点到平面ABM的距离为.方法二、，所以P点到平面ABM的距离.概率1解：（）设“如果某客户只能使用A或B型号的ATM机，则该客户需要等待” 为事件答：如果某客户只能使用A或B型号的ATM机，该客户需要等待的概率为. （）设“至多有三台ATM机被占用” 为事件答：至多有三台ATM机被占用的概率为. （）的可能取值为0，1，2，3，4.,01234.2解：（）设“如果某客户只能使用A或B型号的ATM机，则该客户需要等待” 为事件.答：如果某客户只能使用A或B型号的ATM机，该客户需要等待的概率为. （

9、）设“至多有三台ATM机被占用” 为事件.答：至多有三台ATM机被占用的概率为. （）设“恰有两台ATM机被占用” 为事件.答：恰有两台ATM机被占用的概率为.3解：(1) 记“小明在第i盘胜父亲”为事件Ai，“小明在第i盘胜母亲”为事件Bi， 则，. 所以小明恰胜一盘的概率为答：小明恰胜一盘的概率为. （2）若与父亲先下，则小明获胜的概率为；若与母亲先下，则小明获胜的概率为.,小明应先与父亲下.解析几何1解：（）设动点，由题意知.即动点P的轨迹方程是.（）联立方程组得：.从而 弦AB的中点坐标为：弦AB的线段垂直平分线方程为.所以垂直平分线在y轴上的截距为：，.故弦AB的线段垂直平分线在y轴

10、上的截距的取值范围为.2解：（1）设，则由可得因为的面积为，所以.得：.所以，点的轨迹的方程为. （2）显然为的右焦点，设其左焦点为.连接，由双曲线的对称性可知四边形为平行四边形，故.设，.则由双曲线定义得：，即.在中，由余弦定理得：=.两式作差得：.所以，的面积. （3）（理）当直线轴时，所以，直线的方程为，此时，矩形面积为.设直线，代入，消去得：.设，则由得：.矩形面积若，显然，若，则令，故.综上所述，可知当直线轴时，矩形面积最小为.函数、导数1解：（1）由条件得f(2)=5，则（2，5）在上，有即 （2）x2,3时，f(x)bx恒成立等价于恒成立，令x2,3，所以2解：（1） ，故若，则，因此在上是增函数若，则由得，因此的单调递增区间是，单调递减区间是 （2）若，则（），因此在上是增函数那么在上的最小值是，最大值是； 若，则（），因此在上是减函数那么在上的最小值是，最大值是 若，则x18-0+极小值所以在上的最小值是，当，即时，最大值是；当时，最大值是2解：（），当时，取最小值，即 （）令，由得，（不合题意，舍去）当变化时