第6章数值微分

1、第6章数值微分2工程应用：工程应用：用用“表格表格”法给出变量间的函数关系；法给出变量间的函数关系；即使给出了解析表达式，结构复杂，用那些方法不易、即使给出了解析表达式，结构复杂，用那些方法不易、甚至无法求出导数或积分的准确值；甚至无法求出导数或积分的准确值；引言引言36.1 导数的近似值456.1.2 中心差分公式6786.1.4 Richardson 外推法96.2 数值差分更多的中心差分公式10116.2.2 误差分析121314n利用插值多项式构造微分公式利用插值多项式构造微分公式156.2.3 拉格朗日多项式微分166.2.3 牛顿多项式微分176.2.4 利用三次样条插值函数构造微

2、分公式利用三次样条插值函数构造微分公式18196 数值微分数值微分/ /* *Numerical Derivation */一、一、插值型求导公式插值型求导公式/ /* * Derivation Formula of Interpolation Type*/已知表格函数已知表格函数( )yf x xy0 x0y1x1y2x2ynxny以以 构造构造n次次Lagrange插值多项式插值多项式: : 0(,)niiixy ( )nP x( )( )nfxP x 插值型求导公式插值型求导公式: :误差估计误差估计 111()( )()()()()!nnnffxPxxn 20111()( )()()(

3、)()!nnnffxPxxn 111111()()( )( )( )( )()!()!nnnnxfxfnn 111()( )()()()()!nininiffxPxxn 0 1 2, , ,in 为了计算方便和估计误差，节点通常取等距节点。为了计算方便和估计误差，节点通常取等距节点。21 两点两点公式公式已知表格函数已知表格函数( )yf x xy0 x0y1x1y作线性插值作线性插值011010110( )xxxxP xyyxxxx 0110101101101()()()yyP xyyP xxxxxh 10hxx误差误差010112()()( )hfxyyfh 110212()()()hfx

4、yyfh 22 三点三点公式公式已知表格函数已知表格函数( )yf x xy0 x0y1x1y2x2y其中其中01 2,kxxkhk 作二次插值作二次插值0212201010210120122021()()()()( )()()()()()()()()xxxxxxxxP xyyxxxxxxxxxxxxyxxxx 2( )( )fxP x 23为了求导数方便，令为了求导数方便，令0 xxth2001211122122()()()()()P xthttyt tyt ty 2001212344212()()()()P xthtytytyh 当当 时得到时得到三点三点公式：公式：0 1 2, ,t 2

5、0012113423()( )hfxyyyfh 21022126()()hfxyyfh 22012314323()()hfxyyyfh 中点中点公式公式24例例3 3：已知函数已知函数 在在 处的函数值处的函数值,( )f x应用三点公式计算应用三点公式计算这些点处的导数值这些点处的导数值. .10 11 12. , . , .x 解：解：ix( )if x1 0 .0 250000.1 1 .0 226757.1 2 .0 206612.应用三点公式应用三点公式00121342()()( )()f xf xf xf xh 2520121432()()( )()f xf xf xf xh ix

6、()ifx 1 0 .0 24792. 1 1 .0 21694. 1 2 .0 18596. 计算结果如下计算结果如下:10212( )()()f xf xf xh 26类似地可以建立高阶导数的微分公式：类似地可以建立高阶导数的微分公式：20012212()P xthyyyh 24101221212( )()( )hfxyyyfh 二、二、利用利用3次样条插值函数求数值微分的思想次样条插值函数求数值微分的思想设函数设函数 ， 是区间是区间 的一个分割，的一个分割， 是关于是关于 的带有的带有型型( (斜率边界斜率边界) )或或型型( (二阶二阶导数边界导数边界) )边界条件的插值函数，则有误差估计边界条件的插值函数，则有误差估计4( ) , f xCa b , a b( )S x( )f x440 1 2 3( )()max ( ( )( ), , ,rrra x bf xS xC M hr 27211312() ()( )iiiiixxxxhS xyh 2111312() ()iiiiixxxxhyh 21121() ()iiiixxxxmh 2121() ()iiiixxxxmh 1,iix x 在区间在区间 上上( )( ) , fxS xxa b 28112123()()( )iiiiixxxxxS xmh 1