15双原子分子的势能曲线

1、 （）式是在Born-oppenbeimer近似下双原子分子中电子的运动方程，其中为势能面. 对双原子分子来说，势能面仅是核间距R的函数，因此在双原子分子情形下，势能面简化为势能曲线. 氢分子是最简单的双原子分子，本节将以它为例讨论双原子分子势能曲线的一般特征. Heitler-London方法以和分别标记两个氢原子，并同时分别标记它们的所示.21 图1.3 氢分子的坐标电子运动的Hamilton算符为（）定义 , （）则有（）Schrodinger方程为 （）和分别表示电子1和2各自单独在核和核的势场中运动，即它们分别是两个孤立氢原子的Hamilton量. 当用微扰法处理时，可将（）式的后四

2、项作为微扰. 当两个核相距无穷远时，由图1.3可以看出，（1.5.3）式可简化为（）这时，氢分子的Hamilton量是两个氢原子的Hamilton量的直接和，因此（）式的解是两个氢原子波函数的直接积. 假定氢原子波函数取轨道,暂时不考虑自旋，由于电子的不可分辨性，这样的直接积有两个，即 () 和 ()式中 , （）（）和（1.5.7）式是简并的，称为交换简并，氢分子的零级近似波函数应该是二者的线性组合. 有两种组合方法，一种是对称组合，即将两式相加，另一种是反对称组合，即将两式相减. 进一步考虑自旋，电子为费米子，应满足Pauli原理，即波函数对两个电子的交换是反对称的. 如果空间函数取作对称

3、的，则自旋函数必须是反对称的，这样的反对称自旋函数只有一个，因此总波函数也只有一个，称为单重态，记作，即 （）式中，为空间波函数的归一因子，和分别为电子的自旋波函数，仅在处有值，其他处皆为0，而仅在处有值，为电子的自旋值，并且有， ， （）如果空间函数是反对称的，则自旋函数必须是对称的. 对称的自旋函数可以有三个，它们共同构成一个三重态，用表示, 即 ()式中为的空间函数的归一化因子. 不难证明和都是总自旋算符和的本征函数，的本征值分别为0和1. 和的定义为 , （）其中为电子的自旋算符，而为电子自旋的分量算符. 我们常常将算符和它的本正值用同一个符号表示，一般情况下，这样做不会引起混淆. 令

4、 （）称为原子轨道和的重叠积分. 由和的归一化条件可得， （）将（）式中不含自旋，故可将自旋函数先行积分，得到 （） （）式中，称为库仑积分，称为交换积分. 在量子化学中，库仑积分和交换积分是两个重要术语，原则上讲，任何二体算符的矩阵元都有库仑积分和交换积分. 这里指的是Hamilton量的矩阵元，在另外的场合可能指的是其他算符的矩阵元，例如电子排斥积分的矩阵元也分为库仑积分和交换积分. 不论算符如何不同，库仑积分都是指与经典电荷密度相对应的矩阵元，而交换积分都是指与交换电荷密度相对应的矩阵元. 例如上式库仑积分中的电荷密度为和，而交换积分中的电荷密度为和. 交换电荷密度来自Pauli原理，是

5、量子力学中特有的，没有经典对应. 以下几章中出现库仑积分和交换积分时，不再一一说明. (1.)和(1.5.16)式表明，和都是核间距的函数. 给不同的值，逐点计算出和，将这些点连结起来就可以得到和随变化的曲线，即势能曲线. 本节中我们不介绍计算的具体细节，仅叙述计算结果. 通常取孤立氢原子基态的能量所示的势能曲线. 图1.4氢分子的势能曲线（价键法）图1.4中，1和3中的左上角数字1和3分别表示单态和三重态，符号是点群的一维不可约表示的标记（氢分子具有对称性），表示电子的总轨道角动量沿原子核连线方向的分量量子数. 从图中可以看到，对于3态，当两个氢原子从无穷远开始相互靠近时，体系的能量一直上升

6、，始终表现为相互排斥；而对于1态，当两个氢原子相互靠近时，体系的能量先下降，达到一极小值后再上升，形成一个势阱，两个原子被束缚在势阱中而形成稳定分子. 与能量极小值对应的核间距被称为平衡核间距或平衡键长，势阱深度被定义为结合能. 按（）式计算的平衡键长，结合能，而实验值，这表明，计算得到的势阱位置和深度都与实验值有差别. 以及谐振子的势能曲线（抛物线）.以上处理氢分子的方法是HeitlerLondon首先提出的，因此被称为HeitlerLondon方法. （）和（1.5.11）被称为HeitlerLondon波函数. HeitlerLondon方法所得的结果与实验值虽然还有较大差距，但它却提供

7、了许多重要的物理思想，并具有明确的物理图像. 在电子自旋反平行的1态，两个氢原子能够形成稳定分子，而在电子自旋平行的3态，则不能形成稳定分子. 这一事实表明，两个原子之所以能形成分子，就在于所共用的两个电子自旋反平行配对，从而用量子理论解释了化学键的成因，建立了现代化学键理论的基础. 作为化学键理论一个重要分支的价键理论，就是在HeitlerLondon工作的基础上发展起来的.分子轨道方法现在用分子轨道理论研究氢分子的势能曲线. 我们仍然假定每个氢原子提供一个原子轨道，并采用上节的记号. 价键法直接由原子轨道构造总电子波函数，而分子轨道法则先由原子轨道组合成分子轨道，然后由分子轨道构造总电子波

8、函数. 将两个原子轨道分别做对称组合和反对称组合可以得到两个分子轨道，分别记作和，即 （） （）式中的定义见（）式。不难证明，和是正交归一化的. 代表成键轨道，两个电子占据轨道并且自旋反平行时才能形成稳定分子，因此最简单的氢分子基态波函数应为 ()式中 为Slater行列式，,代入（）式并将自旋积分，可得 ()是核间距的函数，给不同的值，逐点计算出，将这些点连结起来可以得到随变化的曲线，即势能曲线. 本节中我们不介绍计算的具体细节，仅叙述计算结果. 取氢原子基态的能量，即把两个氢原子相距无穷远时作为能量零点，所示. 图1.5氢分子的势能曲线（分子轨道法）图1.5中的实线为按（）式计算得到的势能

9、曲线. 该曲线上也有势阱，表明两个氢原子可以形成稳定分子. 但当）式给出的波函数对氢分子解离行为的预测是错误的. 我们将在以后的章节中讨论这种错误产生的根源，并讨论克服这种错误的方法. 几种常见的势能曲线解析函数以上两节分别用价键法和分子轨道法计算了氢分子的势能曲线，在此基础上我们来讨论一般双原子分子的势能曲线. 一般双原子分子的势能曲线与氢分子的势能曲线有大体相同的形状，当然，势阱深度和宽度会有所不同. 注意到，由（）或者（1.5.20）式所得的计算结果实际上是一张数表，它给出核间距取不同值时相应电子态的能量，即一个个单点值. 这样的数表不便于应用，我们希望用一个解析函数拟合这些单点从而得到

10、一条光滑的势能曲线，这样的解析函数称为势函数. 节中已经介绍了一些双原子势函数，本节做进一步讨论.最简单的势函数是谐振子势，其表达式为 （）式中和分别为即时键长和平衡键长，为力常数. 和的值可由实验测定，也可由拟合计算结果确定，它们的值依赖于具体的分子. 任何双原子势函数在平衡键长附近做泰勒展开，如果只取到二次项，其表达式都是谐振子势. 利用，我们来比较一下谐振子势与双原子分子的“真实”势函数. 谐振子势是一条抛物线，当核间距增加时，振子势能将趋于无穷大，这意味着，束缚在势阱中的原子不能从势阱中“逃逸”出来，因此，不能用这种势函数来研究化学反应或分子的解离行为. 但在平衡键长附近谐振子势能够较

11、好地反映两原子间的相互作用，因此它仅能近似地用于研究低振动态. 由于在分子动力学模拟中通常采用谐振子势，因此通常不能用分子动力学模拟化学反应. 这些内容我们在做过讨论，现在通过与“真实”势能曲线的比较，进一步加深了我们的理解.Morse提出一种更精确的双原子势函数，称为Morse势，其形式为 （）式中包含三个参数，即、和，它们均取正值，其具体数值因分子而异. 为核间距.下面讨论Morse势的性质. 显然，当时，这意味着把两个原子相距无穷远时的能量取作能量零点. 当时， （）并且有， （） （）因此，在处有极小值，从而形成势阱，阱的深度为，就是结合能，为平衡核间距. 对于双原子分子，将两原子分开

12、所需的能量定义为解离能，以表示， （）式中为零点振动能，为振动基频. 将（）式在附近展开，利用（1.5.23）、（1.5.24）和（1.5.25）式，可得， （）因此弹力常数，从而得到和的关系为 （）为A和B两原子的折合质量，即和可由实验测定，代入（）式可确定，再由（1.5.28）式可得参数. 此外，由（1.3.14）式通过转动光谱可以测定平衡核间距，这样对于特定的分子，其Morse势函数就完全确定了. 当然，Morse势中的参数也可由拟合理论计算结果得到，首先求解双原子分子的电子运动方程，得到势能曲线上的一系列点（例如上述氢分子问题的求解），然后用Morse函数做非线性拟合，就可以确定参数、

13、和.将确定的Morse势代入（）式，可以得到双原子分子振转运动的解析解，并得到相应的能级公式. 由Morse 势解得的振动不再是简谐振动，所得的三级力常数与实验值符合得很好，但四级力常数符合得不好. orse 势能曲线（下边的实线）和真实的势能曲线（用虚线表示）. 文献上给出的Morse 势有时取以下形式 ()将（）式展开，再与（1.5.22）式比较可知，二者仅差一常数. 因此，将图1.6 中的横轴下移）式所表示的曲线. 图1.6 双原子分子的势能曲线 由图1.6可见，当时，Morse 势取有限值，而真实的势能为无穷大，这是Morse 势的一个主要缺陷. 为了克服这一缺陷，邓从豪提出了一个双原

14、子势函数，其形式为 ()将（）式. 按此式，当时，,从而克服了Morse势的一个主要缺陷. ）式也能得到分子振转运动的解析解.Morse函数（）可用于描述基态的势能曲线，激发态势能曲线则用反Morse 势描述，其表达式为 （）式中和仍为键长和平衡键长，为处三重激发态能量(垂直激发能)的三分之一,即 （）的值可由实验测定分子的垂直激发能获得,也可由计算激发态在处的能量来确定,值则可由拟合分子激发态能量来确定. 对任意值，恒有 （）因此反Morse势能曲线上无极小值点. 图1.6中也绘出了反Morse势能曲线(上边的实线). 反Morse势又称为Sato（佐藤）势.谐振子势和Morse势一般用于描述两成键原子间的相互作用，属于强相互作用势. 非成键两原子间的相互作用属于弱相互作用，又称范德华作用，一般用Lenard-Jones（LJ）势来描述，其形式如（）式所示. 由（1.4.6）式可知 （）并且有 （）因此LJ势也存在势阱，势阱深度为，两原子间的平衡距离. 图1.7给出了LJ势的形状，其中的虚线分别为（）式中两项各