中考数学重难点专题讲座动态几何问题

1、第三讲 动态几何问题【前言】从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的。动态问题一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解。另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只有完全掌握，才有机会拼高分。在这一讲，我们着重研究一下动态几何问题的解法， 第一部分 真题精讲【例1】（2010，密云，一模）如图，在梯形中，梯形的高为动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动设运

2、动的时间为（秒）（1）当时，求的值；（2）试探究：为何值时，为等腰三角形【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M，N是在动，意味着BM,MC以及DN,NC都是变化的。但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。所以当题中设定MN/AB时，就变成了一个静止问题。由此，从这些条件出发，列出方程，自然得出结果。【解析】解：（1）由题意知

3、，当、运动到秒时，如图，过作交于点，则四边形是平行四边形， （根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将MN放在三角形内，将动态问题转化成平行时候的静态问题） （这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键） 解得【思路分析2】第二问失分也是最严重的，很多同学看到等腰三角形，理所当然以为是MN=NC即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN这两种情况。在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三角形，一定不要忘记分类讨论的思想，两腰一底一个都不能少。具体分类以后，就成为了较为简单的解三角形问题，于是可以轻松求解【解析】（2）分三种情况讨论： 当时，如图作交于，则有即（利用等腰三角形底边高也是底边中线的

4、性质），解得 当时，如图，过作于H则， 当时， 则 综上所述，当、或时，为等腰三角形【例2】（2010，崇文，一模）在ABC中，ACB=45º点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF（1）如果AB=AC如图，且点D在线段BC上运动试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论（2）如果ABAC，如图，且点D在线段BC上运动（1）中结论是否成立，为什么？（3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC，CD=，求线段CP的长（用含的式子表示）【思路分析1】本题和上题有所不同，上一题会给出一个条件使得动

5、点静止，而本题并未给出那个“静止点”，所以需要我们去分析由D运动产生的变化图形当中，什么条件是不动的。由题我们发现，正方形中四条边的垂直关系是不动的，于是利用角度的互余关系进行传递，就可以得解。【解析】：（1）结论：CF与BD位置关系是垂直；证明如下：AB=AC ，ACB=45º，ABC=45º由正方形ADEF得 AD=AF ，DAF=BAC =90º，DAB=FAC，DABFAC ，ACF=ABDBCF=ACB+ACF= 90º即 CFBD【思路分析2】这一问是典型的从特殊到一般的问法，那么思路很简单，就是从一般中构筑一个特殊的条件就行，于是我们和上题

6、一样找AC的垂线，就可以变成第一问的条件，然后一样求解。（2）CFBD(1)中结论成立理由是：过点A作AGAC交BC于点G，AC=AG可证：GADCAF ACF=AGD=45º BCF=ACB+ACF= 90º即CFBD【思路分析3】这一问有点棘手，D在BC之间运动和它在BC延长线上运动时的位置是不一样的，所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是4+X还是4-X。分类讨论之后利用相似三角形的比例关系即可求出CP.（3）过点A作AQBC交CB的延长线于点Q，点D在线段BC上运动时，BCA=45º，可求出AQ= CQ=4 DQ=4-x，易证AQDDCP，点D在线段B

7、C延长线上运动时，BCA=45º，可求出AQ= CQ=4， DQ=4+x过A作交CB延长线于点G，则 CFBD，AQDDCP，【例3】（2010，怀柔，一模）已知如图，在梯形中，点是的中点，是等边三角形（1）求证：梯形是等腰梯形；（2）动点、分别在线段和上运动，且保持不变设求与的函数关系式；（3）在（2）中，当取最小值时，判断的形状，并说明理由ADCBPMQ60°【思路分析1】本题有一点综合题的意味，但是对二次函数要求不算太高，重点还是在考察几何方面。第一问纯静态问题，自不必说，只要证两边的三角形全等就可以了。第二问和例1一样是双动点问题，所以就需要研究在P,Q运动过程中什

8、么东西是不变的。题目给定MPQ=60°，这个度数的意义在哪里？其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起来.因为最终求两条线段的关系,所以我们很自然想到要通过相似三角形找比例关系.怎么证相似三角形呢? 当然是利用角度咯.于是就有了思路.【解析】（1）证明：是等边三角形是中点梯形是等腰梯形（2）解：在等边中， (这个角度传递非常重要,大家要仔细揣摩) (设元以后得出比例关系,轻松化成二次函数的样子)【思路分析2】第三问的条件又回归了当动点静止时的问题。由第二问所得的二次函数，很轻易就可以求出当X取对称轴的值时Y有最小值。接下来就变成了“给定PC=2，求PQC形状”的问题了。由已知

9、的BC=4，自然看出P是中点，于是问题轻松求解。（3）解：为直角三角形当取最小值时，是的中点，而以上三类题目都是动点问题，这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特殊条件，例如某边相等，某角固定时，将动态问题化为静态问题去求解。如果没有特殊条件，那么就需要研究在动点移动中哪些条件是保持不变的。当动的不是点，而是一些具体的图形时，思路是不是一样呢?接下来我们看另外两道题.【例4】2010，门头沟，一模已知正方形中，为对角线上一点，过点作交于，连接，为中点，连接（1）直接写出线段与的数量关系；（2）将图1中绕点逆时针旋转，如图2所示，取中点，连接，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加

10、以证明 （3）将图1中绕点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（不要求证明）【思路分析1】这一题是一道典型的从特殊到一般的图形旋转题。从旋转45°到旋转任意角度，要求考生讨论其中的不动关系。第一问自不必说，两个共斜边的直角三角形的斜边中线自然相等。第二问将BEF旋转45°之后，很多考生就想不到思路了。事实上，本题的核心条件就是G是中点，中点往往意味着一大票的全等关系，如何构建一对我们想要的全等三角形就成为了分析的关键所在。连接AG之后，抛开其他条件，单看G点所在的四边形ADFE，我们会发现这是一个梯形，于是根据我们在第一讲专题中所讨论的

11、方法，自然想到过G点做AD,EF的垂线。于是两个全等的三角形出现了。（1）（2）（1）中结论没有发生变化，即证明：连接，过点作于，与的延长线交于点在与中，在与中， 在矩形中，在与中，【思路分析2】第三问纯粹送分，不要求证明的话几乎所有人都会答出仍然成立。但是我们不应该止步于此。将这道题放在动态问题专题中也是出于此原因，如果BEF任意旋转，哪些量在变化，哪些量不变呢？如果题目要求证明，应该如何思考。建议有余力的同学自己研究一下，笔者在这里提供一个思路供参考：在BEF的旋转过程中，始终不变的依然是G点是FD的中点。可以延长一倍EG到H，从而构造一个和EFG全等的三角形，利用BE=EF这一条件将全等

12、过渡。要想办法证明三角形ECH是一个等腰直角三角形，就需要证明三角形EBC和三角形CGH全等，利用角度变换关系就可以得证了。（3）（1）中的结论仍然成立【例5】（2010，朝阳，一模）已知正方形ABCD的边长为6cm，点E是射线BC上的一个动点，连接AE交射线DC于点F，将ABE沿直线AE翻折，点B落在点B处（1）当=1 时，CF=_cm，（2）当=2 时，求sinDAB的值；（3）当= x 时（点C与点E不重合），请写出ABE翻折后与正方形ABCD公共部分的面积y与x的关系式，（只要写出结论，不要解题过程）CADB【思路分析】动态问题未必只有点的平移，图形的旋转，翻折（就是轴对称）也是一大热

13、点。这一题是朝阳卷的压轴题，第一问给出比例为1，第二问比例为2，第三问比例任意，所以也是一道很明显的从一般到特殊的递进式题目。同学们需要仔细把握翻折过程中哪些条件发生了变化，哪些条件没有发生变化。一般说来，翻折中，角，边都是不变的，所以轴对称图形也意味着大量全等或者相似关系，所以要利用这些来获得线段之间的比例关系。尤其注意的是，本题中给定的比例都是有两重情况的，E在BC上和E在延长线上都是可能的，所以需要大家分类讨论，不要遗漏。图1【解析】（1）CF= 6 cm； （延长之后一眼看出，EAZY） （2） 如图1，当点E在BC上时，延长AB交DC于点M， ABCF，ABEFCE，=2， CF=3

14、 ABCF，BAE=F又BAE=B AE，B AE=F MA=MF设MA=MF=k，则MC=k -3，DM=9-k在RtADM中，由勾股定理得：k2=(9-k)2+62，解得 k=MA= DM=（设元求解是这类题型中比较重要的方法）图2 sinDAB=； 如图2，当点E在BC延长线上时，延长AD交B E于点N，同可得NA=NE设NA=NE=m，则B N=12-m在RtAB N中，由勾股定理，得m2=(12-m)2+62，解得 m=AN= B N= sinDAB= （3）当点E在BC上时，y=； （所求A B E的面积即为ABE的面积，再由相似表示出边长）当点E在BC延长线上时，y= 【总结】

15、通过以上五道例题，我们研究了动态几何问题当中点动，线动，乃至整体图形动这么几种可能的方式。动态几何问题往往作为压轴题来出,所以难度不言而喻,但是希望考生拿到题以后不要慌张,因为无论是题目以哪种形态出现，始终把握的都是在变化过程中那些不变的量。只要条分缕析,一个个将条件抽出来,将大问题化成若干个小问题去解决,就很轻松了.为更好的帮助考生,笔者总结这种问题的一般思路如下：第一、仔细读题，分析给定条件中那些量是运动的，哪些量是不动的。针对运动的量，要分析它是如何运动的，运动过程是否需要分段考虑，分类讨论。针对不动的量，要分析它们和动量之间可能有什么关系，如何建立这种关系。第二、画出图形，进行分析，尤

16、其在于找准运动过程中静止的那一瞬间题目间各个变量的关系。如果没有静止状态，通过比例，相等等关系建立变量间的函数关系来研究。第三、做题过程中时刻注意分类讨论，不同的情况下题目是否有不同的表现，很多同学丢分就丢在没有讨论，只是想当然看出了题目所给的那一种图示方式，没有想到另外的方式，如本讲例5当中的比例关系意味着两种不一样的状况，是否能想到就成了关键。第二部分 发散思考【思考1】2009，石景山，一模已知：如图（1），射线射线，是它们的公垂线，点、分别在、上运动（点与点不重合、点与点不重合），是边上的动点（点与、不重合），在运动过程中始终保持，且（1）求证：；（2）如图（2），当点为边的中点时，求

17、证：；（3）设，请探究：的周长是否与值有关？若有关，请用含有的代数式表示的周长；若无关，请说明理由【思路分析】本题动点较多，并且是以和的形式给出长度。思考较为不易，但是图中有多个直角三角形，所以很自然想到利用直角三角形的线段、角关系去分析。第三问计算周长，要将周长的三条线段分别转化在一类关系当中，看是否为定值，如果是关于M的函数，那么就是有关，如果是一个定值，那么就无关，于是就可以得出结论了。【思考2】2009，西城，二模 ABC是等边三角形，P为平面内的一个动点，BP=BA，若PBC180°，且PBC平分线上的一点D满足DB=DA，（1）当BP与BA重合时（如图1），BPD= &#

18、176;；（2）当BP在ABC的内部时（如图2），求BPD的度数；（3）当BP在ABC的外部时，请你直接写出BPD的度数，并画出相应的图形【思路分析】本题中，和动点P相关的动量有PBC，以及D点的位置，但是不动的量就是BD是平分线并且DB=DA，从这几条出发，可以利用角度相等来找出相似、全等三角形。事实上，P点的轨迹就是以B为圆心，BA为半径的一个圆，那D点是什么呢？留给大家思考一下【思考3】2009，怀柔，二模如图：已知，四边形ABCD中，AD/BC， DCBC，已知AB=5，BC=6，cosB=点O为BC边上的一个动点，连结OD，以O为圆心，BO为半径的O分别交边AB于点P，交线段OD于点

19、M，交射线BC于点N，连结MN（1）当BO=AD时，求BP的长；（2）点O运动的过程中，是否存在BP=MN的情况？若存在，请求出当BO为多长时BP=MN；若不存在，请说明理由；（3）在点O运动的过程中，以点C为圆心，CN为半径作C，请直接写出当C存在时，O与C的位置关系，以及相应的C半径CN的取值范围。ABCDOPMNABCD（备用图）【思路分析】这道题和其他题目不同点在于本题牵扯到了有关圆的动点问题。在和圆有关的问题当中，时刻不要忘记的就是圆的半径始终相等这一个隐藏的静态条件。本题第一问比较简单，等腰梯形中的计算问题。第二问则需要用设元的方法表示出MN和BP，从而讨论他们的数量关系。第三问的

20、猜想一定要记得分类分情况讨论。【思考4】2009，北京在中，过点C作CECD交AD于点E,将线段EC绕点E逆时针旋转得到线段EF(如图1)（1）在图1中画图探究：当P为射线CD上任意一点（P1不与C重合）时，连结EP1绕点E逆时针旋转 得到线段EC1.判断直线FC1与直线CD的位置关系，并加以证明；当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连结EP2,将线段EP2绕点E 逆时针旋转1C2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.（2）若AD=6,tanB=,AE=1,在的条件下，设CP1=，S=，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.【思路分析】本题是去年中考原题，虽不是压轴，但动

21、点动线一起考出来，难倒了不少同学。事实上就在于如何把握这个旋转90°的条件。旋转90°自然就是垂直关系，于是又出现了一堆直角三角形，于是证角，证线就手到擒来了。第二问一样是利用平行关系建立函数式，但是实际过程中很多同学依然忘记分类讨论的思想，漏掉了很多种情况，失分非常可惜。建议大家仔细研究这道中考原题，按照上面总结的一般思路去拆分条件，步步为营的去解答。第三部分 思考题解析【思考1解析】（1）证明：， 又， 第25题 （2）证明：如图，过点作，交于点，是的中点，容易证明 在中， （3）解：的周长， 设，则，即 由（1）知，的周长的周长的周长与值无关 【思考2答案】图8解：（1）BPD= 30 °； （2）如图8，连结CD 解一： 点D在PBC的平分线上，1=2ABC是等边三角形， BA=BC=AC，ACB= 60° BP=BA， BP=BC BD= BD，PBDCBDBPD=3- - - - - - 3分 DB=DA，BC=AC，CD=CD，BCDACDBPD =30° 解二：ABC是等边三角形， BA =