人教版高一数学必修4 三角恒等变换单元教学设计

1、一、本单元内容在课程标准与考试大纲中的目标表述项目课标（8课时）大纲必修4-3内容两角差的余弦；两角和与差及二倍角的正弦、余弦、正切；简单的三角恒等变换.1. 和与差的三角函数公式2. 简单的三角恒等变换要求可以引导学生利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，并由此公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，鼓励学生独立探索和讨论交流，引导学生推导积化和差、和差化积、半角公式，以此作为三角恒等变换的基本训练(1)会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.(2)能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.(3)能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公

2、式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).二、教材分析1、本单元教学内容的范围3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.1 两角差的余弦公式3两角和与差的正弦、余弦、正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式3.2 简单的三角恒等变换2、本单元教学内容在模块内容体系中的地位和作用变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一.代数变换是学生熟悉的，与代数变换一样，三角变换也是只变其形不变其质的，它可以揭示那些外形不同但实质相同的三角函数式之间的内在联系.在本册第一章，学生接触了同角

3、三角函数式的变换.在本章，学生将运用向量方法推导两角差的余弦公式，由此出发推导其它三角函数恒等变换公式，并运用这些公式进行简单的三角恒等变换.通过本章学习，要进一步提高学生的推理能力和运算能力.三角恒等变换在数学及应用科学中应用广泛，同时有利于发展学生的推理能力和计算能力.本章将通过三角恒等变换揭示一些问题的数学本质.3、本单元教学内容总体教学目标（1）和差角公式与二倍角公式经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，掌握用向量证明数学问题的方法，进一步体会向量法的作用能从两角差的余弦公式导出两角和的余弦公式，以及两角和与差的正弦、正切公式，了解公式间的内在联系.能应用公式解决比较简单的有

4、关应用问题.经历运用正弦、余弦、正切的和角公式，推导出它们对应的倍角公式及公式的两种变形，再运用二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式的过程，掌握倍角公式和半角公式，能正确运用公式进行简单的三角函数式的化简、求值、恒等式的证明.了解公式之间的内在联系，培养学生的逻辑推理能力.（2）简单的三角变换运用三角变换公式进行简单的三角变换，通过公式的综合运用，掌握三角变换的特点，预测变换的目标，设计变换的过程.4、本单元教学内容重点和难点分析（1）两角和与差的正弦、余弦、和正切公式重点：两角和与差的余弦公式求值和证明;难点：两角和的余弦公式的推导. （2）简单的三角变换重点：运用三角变换公式进

5、行简单的三角恒等变换;难点：公式的综合运用，根据三角变换的特点，设计变换的过程.5.人教A版教材特点用向量证明差角公式，引导学生用向量研究三角问题；建立和角公式与旋转变换之间的联系；引导学生独立的由和角公式推导出倍角公式与和差化积、积化和差；和角公式在三角恒等变换及三角形计算中的应用.提供了“练习题”，“习题A、习题B”，“复习参考题A ”，“ 复习参考题B”，等多种形式的练习方式，为教学提供了丰富的可选择的空间.三、与本单元教学内容相适应的教学方式和教学方法概述1、选取与内容密切相关的，典型的，丰富的和学生熟悉的素材，用生动活泼的语言，创设能够体现数学的概念和结论，数学的思想和方法，以及数学

6、应用的学习情境，使学生产生对数学的亲切感，引发学生“看个究竟”的冲动，以达到培养其兴趣的目的.通过“观察”，“思考”，“探究”等栏目，引发学生的思考和探索活动，切实改进学生的学习方式.在教学中强调类比，推广，特殊化，化归等数学思想方法，尽可能养成其逻辑思维的习惯.本单元公式较多，有些是要求学生记忆的，有些是不要求学生记忆的，但要求会推导、会运用；建议在教学中，注重公式内在的联系，尽量引导学生利用已有知识推导公式；在推导中记忆公式，运用公式，解决实际问题；四、设计意图与特色本章的内容分为两节：“两角和与差的正弦、余弦和正切公式”，“简单的三角恒等变换”，在学习本章之前我们学习了向量的相关知识，因

7、此设计的意图是选择两角差的余弦公式作为基础，运用向量的知识来予以证明，降低了难度，使学生容易接受；本章是以两角差的余弦公式作为基础来推导其它的公式；本章在内容的安排上有明暗两条线，明线是建立公式，学会变换，暗线是发展推理和运算的能力，因此在本章全部内容的安排上，特别注意恰时恰点的提出问题，引导学生用对比、联系、化归的观点去分析、处理问题，强化运用数学思想方法指导设计变换思路的意识；本章在内容的安排上贯彻“删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末叶的内容”的理念，严格控制了三角恒等变换及其应用的繁、难程度，尤其注意不以半角公式、积化和差、和差化积公式作为变换的依据，而只把这些公式的推导作

8、为变换的基本练习.五、本单元教学内容及课时安排建议本章教学时间约8课时，具体分配如下：3.1两角和与差的正弦、余弦、和正切公式 约3课时3.2简单的恒等变换 约3课时复习 约2课时六、课时教学设计课题 §3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、课标要求：本节的中心内容是建立相关的十一个公式，通过探索证明和初步应用，体会和认识公式的特征及作用.二、设计意图与特色本节内容都是用例题来展现的通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变

9、换思想，提高学生的推理能力三、学习重点与难点1. 重点：引导学生通过独立探索和讨论交流，会导出两角和差的三角函数的十一个公式，并了解它们的内在联系，为运用这些公式进行简单的恒等变换打好基础；2. 难点：两角差的余弦公式的探索与证明.课题 两角差的余弦公式（第一课时）一、学习目标(1)掌握借助单位圆，运用三角函数定义和向量夹角的余弦公式推导出两角差的余弦公式；(2)通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及功能，为建立其它和（差）公式打好基础；(3)通过教学活动，使学生经历发现、猜想、论证的数学化的过程，并体验到数学学习的严谨、求实的科学态度，逐步培养学生探索问题的精神.二、学习重、难点1.重点：

10、通过探索得到两角差的余弦公式；2.难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等.三、学习过程1、学习引导探究（一）：两角差的余弦公式思考1：设，为两个任意角, 你能判断cos()coscos恒成立吗?思考2：我们设想cos()的值与，的三角函数值有一定关系，观察下表中的数据，你有什么发现？cos(6030)cos60°cos30°sin60°sin30°cos(12060)cos120°cos60°sin120°sin60

11、6;思考3：一般地，你猜想cos()等于什么？思考4：如图，设，为锐角，且，角的终边与单位圆的交点为P1, P1OP，那么cos()表示哪条线段长？思考5：上图中，如何用线段分别表示sin和cos？思考6：coscosOAcos，它表示哪条线段长？sinsinPAsin，它表示哪条线段长？思考7：利用OMOBBMOBCP可得什么结论？思考8：上述推理能说明对任意角，都有cos()coscossinsin成立吗？思考9：根据coscossinsin的结构特征，你能联想到一个相关计算原理吗？思考10：如图，设角，的终边与单位圆的交点分别为A、B，则向量、的坐标分别是什么？其数量积是什么？思考11：

12、向量与的夹角与、有什么关系？根据量积定义，等于什么？由此可得什么结论？ 思考12：公式cos()coscossinsin称为差角的余弦公式，记作，该公式有什么特点？如何记忆？探究（二）：两角差的余弦公式的变通 思考1：若已知和的三角函数值，如何求cos的值？思考2：利用()可得cos等于什么？思考3：若coscosa，sinsinb，则cos()等于什么？思考4：若coscosa，sinsinb，则cos()等于什么？2、随堂练习、3、知识拓展例1例2 已知且 , 求的值. 四、反思小结1.在差角的余弦公式的形成过程中，蕴涵着丰富的数学思想、方法和技巧，如数形结合，化归转换、归纳、猜想、构造、

13、换元、向量等，我们要深刻理解和领会.2.已知一个角的正弦（或余弦）值，求该角的余弦（或正弦）值时, 要注意该角所在的象限，从而确定该角的三角函数值符号.3.在差角的余弦公式中，既可以是单角，也可以是复角，运用时要注意角的变换，如，2()() 等. 同时，公式的应用具有灵活性，解题时要注意正向、逆向和变式形式的选择.五、自我测评2、课题§两角和与差的正弦、余弦、正切公式（第二课时）一、学习目标理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用.二、学习重、难点1.重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的探究及公式之间的

14、内在联系；2.难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.三、学习过程1、学习引导探究（一）：两角和与差的基本三角公式思考1：注意到()，结合两角差的余弦公式及诱导公式，cos()等于什么？思考2：上述公式就是两角和的余弦公式，记作，该公式有什么特点？如何记忆？思考3： 诱导公式可以实现由正弦到余弦的转化，结合 和 你能推导出sin()，sin()分别等于什么吗？思考4：上述公式就是两角和与差的正弦公式，分别记作，这两个公式有什么特点？如何记忆？思考5：正切函数与正弦、余弦函数之间存在商数关系，从、出发，tan()、tan()分别与tan、tan有什么关系 思考6：上述公式就是两角和与差的

15、正切公式，分别记作，这两个公式有什么特点？如何记忆？公式成立的条件是什么？思考7：为方便起见，公式，称为和角公式，公式，称为差角公式.怎样理解这6个公式的逻辑联系？探究（二）：两角和与差三角公式的变通 思考1：若coscosa，sinsinb，则cos()等于思考2：若sincosa，cossinb，则sin()等于 思考3：根据公式，tantan可变形为 思考4：sinxcosx能用一个三角函数表示吗？ 2、随堂练习、利用和差角公式，求下列各式的值； ；、利用和差角公式，求下列各式的值；、已知是第四象限角，求的值.3、知识拓展例1.化简 例2.已知求的值例3.已知，求的值四、反思小结是两角和

16、与差的三角系列公式的基础，明确了各公式的内在联系，就自然掌握了公式的形成过程.与，与，与的结构相同，但运算符号不同，必须准确记忆，防止混淆.活性的，应用时不能生搬硬套，要注意整体代换和适当变形.五、自我测评课题 § 二倍角的正弦、余弦和正切公式（第三课时）一、 学习目标以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用.二、学习重、难点1、重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式；2、难点：二倍角的理解及其灵活运用.三、学习过程1、学习引导探究（一）：二倍角基本公式思考1：两角和的正弦、余弦和正切公式都是恒等

17、式，特别地，当时，这三个公式分别变为什么？思考2：上述公式称为倍角公式，分别记作S2，C2，T2，利用平方关系，二倍角的余弦公式还可作哪些变形？思考3：在二倍角的正弦、余弦和正切公式中，角的取值范围分别如何？ 思考4：如何推导sin3，cos3与的三角函数关系？探究（二）：二倍角公式的变通思考1：1sin2可化为思考2：根据二倍角的余弦公式，sin2，cos2与cos2的关系分别如何？ 思考3：tan与sin2，cos2之间是否存在某种关系？ 思考4：sin2，cos2能否分别用tan表示？ 2、随堂练习sin22°30cos22°30=_;_;_;_._;_;3、知识拓展

18、四、反思小结1.角的倍半关系是相对而言的, 2是的两倍, 4是2的两倍等，这里蕴含着换元的思想.2.二倍角公式及其变形各有不同的特点和作用，解题时要注意公式的灵活运用，在求值问题中，要注意寻找已知与未知的联结点.3.二倍角公式有许多变形，不要求都记忆，需要时可直接推导.五、自我测评3.2 简单的三角恒等变换一、课标要求：本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用二、设计意图与特色本节内容都是用例题来展现的通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆

19、向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力三、学习目标通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力四、学习重、难点1、重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力2、难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上

20、把握变换过程的能力课题3.2简单的三角恒等变换（第一课时）一学习目标 掌握运用和（差）角公式、倍角公式进行三角变换的方法和思路，不断提高从整体上把握变换过程的能力式推导. 弄清代数变换与三角变换的不同点，认真体会三角变换的特点，提高推理、运算能力. 深刻理解三角变换的思想，培养学生运用换元、逆向使用公式、方程等数学思想方法解决问题的能力.二、学习重、难点1、重点：三角恒等变换的内容、思路和方法，以及在积化和差、和差化积、半角公式等方面的应用.2、难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计.三、学习过程1、学习引导问题1：前面学过的倍角公式是什么？问题2：与有什么关系？问题

21、3：在二倍角公式中，以代替，以代替将公式进行改写为问题4：试以表示问题5：（）已知，如何求（）代数式变换与三角变换有什么不同呢？问题6：求证：（）（）问题7：上述证明中用到哪些数学思想？2、随堂练习（）求证：.（）已知求的值.（3）已知求证：3、知识拓展例1 化简例2 已知cosxcoscos，求证：四、反思小结倍角公式的灵活运用，弄清倍、半关系的相对性.注意等价转化，换元、方程的思想.五、自我测评课题 32 简单的三角恒等变换（第二课时）一学习目标 能够利用换元、逆用公式等方法对三角函数式进行恒等变换，化简三角函数式，提高学生的推理能力. 能正确地对形如的三角函数的性质进行讨论. 由特殊到一

22、般，由具体到抽象，不断提升学生的探究能力和数学思维能力，培养学生学数学地思考问题、解决问题.二、学习重、难点1、重点：灵活运用三角变换化简函数表达式，探究函数的有关性质，提升学生的探究能力.2、难点：利用三角恒等变换化简函数表达式及对函数性质的讨论.三、学习过程1、学习引导问题1：三角函数有哪些基本性质？问题2：对形如的三角函数的性质有哪些？问题3：如何求函数的周期，最大值和最小值呢？（启发学生逆用不同的和差公式进行三角恒等变换，将三角函数式化成类似于的标准形式，再进行求解.）2、随堂练习1、求函数的最大值和最小值？（改变条件，突出求函数最值的基本思路和要点）2、求函数的周期，最大值和最小值？

23、（改变三角函数式，进一步强化三角恒等变换在化简函数式方面的关键地位）3、知识拓展例1、求函数的最值?(引导学生如何引入辅助角.之后教师进行点评总结.)例2、求函数的最值.四、反思小结通过三角变换，我们把形如的函数转化为形如的函数，从而使问题得到简化，这个过程中蕴涵了化归思想.我们要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用五、自我测评1、求下列函数的最小正周期，递增区间及最大值：（1）；（2）；（3）.2、已知f（x）= sin，a为常数.（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若f（x）在上最大值与最小值之和为，求a值并画出f（x）在上的图像.3、已知，（1）化

24、简的解析式；（2）若，求，使函数为偶函数；（3）在（2）成立的条件下，求满足的x的集合.课题 32 简单的三角恒等变换（第三课时）一学习目标 熟练掌握求三角函数最值的常用思路和方法，进一步提高学生三角变换的能力. 掌握解数学应用问题的步骤和方法，能正确的选择自变量，建立函数关系式，培养学生的应用意识和解决实际问题的能力，进一步理解数学建模思想.培养学生独立思考、自主探究的能力，学会数学地思考问题、解决问题.二、学习重、难点1、重点：求三角函数式的最值，解数学应用问题的思路、步骤和方法.2、难点：如何科学地把实际问题转化为数学问题，如何选择自变量建立函数关系式.三、学习过程1、学习引导问题1、求

25、三角函数式在某一区间上的最值的基本思路是什么？问题2、如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，记，求当角取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积.（给出题目之后适当启发思路关键在找出面积S与角之间的函数关系式，然后由学生自主探究、合作交流完成整个过程并展示，再由教师点评在求最值时注意自变量的范围；应用问题转化为数学问题，最后结论要回归到实际问题.）2、随堂练习若问题2中去掉条件“记”，要求改成“求矩形ABCD的最大面积”还有其它解决方法吗？（教师引导学生思考选择不同的自变量以寻求不同的解决方案.之后教师进行点评：建立数学模型的关键是

26、选择恰当的自变量，不同的自变量决定了数学模型的繁简程度；自变量的引入通常有代数和三角两种方法，有些方法虽然无法最终解决问题，但能促进对函数模型多样性的理解.）已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，A、B是扇形弧上的动点，AB/PQ，ABCD是扇形的内接矩形，求矩形ABCD面积的最大值.3、知识拓展例1、2002年8月，在北京召开国际数学大会，大会会标如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成一个正方形，若直角三角形中较小的锐角为，大正方形的面积为1，小正方形的面积为，求sin 的值.例2、如图所示，在一个矩形建筑物ABCD的部分周边地带开辟绿化带，使建筑物和绿化带整体构成一个更大

27、的矩形区域AMPN，要求点B在AM边上，点D在AN边上，且对角线MN过C点.已知矩形建筑物的长|AB| = 30m，宽|AD| = 20m，绿化带造价为120元 / m 2.试问，按照此设计要求，至少要准备多少资金？四、反思小结在求有关最值问题时，常常可以设一个角为未知数，从而把实际问题转化为三角问题，然后利用三角函数的有界性、单调性、奇偶性等性质来求解.五、自我测评1函数的最小值等于（ ）A BC D2ABC中，则函数的值的情况（ ）A有最大值，无最小值 B无最大值，有最小值C有最大值且有最小值 D无最大值且无最小值3当时,函数的最小值是（ ）A BCD4函数在区间上的最小值为5函数有最大值

28、，最小值，则实数_，_6已知函数(1)写出函数的单调递减区间；(2)设，的最小值是，最大值是，求实数的值7、已知直线l1l2,A是l1，l2之间的一定点，并且A点到l1，l2的距离分别为h1,h2.B是直线l2上一动点，作ACAB，且使AC与直线l1交于点C，求ABC面积的最小值.三角恒等变换复习课（第一课时）一学习目标进一步掌握三角恒等变换的方法，如何利用正、余弦、正切的和差公式与二倍角公式，对三角函数式进行化简、求值和证明：二、知识与方法：1. 11个三角恒等变换公式中，余弦的差角公式是其它公式的基础，由它出发，用-代替、±代替、=等换元法可以推导出其它公式.你能根据下图回顾推导

29、过程吗？cos（-）=coscos+sinsincos（+）=coscos-sinsinsin（+）=sincos+cossinsin（-）=sincos-cossintan（+）= tan（-）= sin2=2sincoscos2=cos2- sin2=2cos2-1=1-2 sin2tan2=2化简，要求使三角函数式成为最简：项数尽量少，名称尽量少，次数尽量底，分母尽量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数，能求值的求出值来；3求值，要注意象限角的范围、三角函数值的符号之间联系与影响，较难的问题需要根据上三角函数值进一步缩小角的范围.4证明是利用恒等变换公式将等式的左边变同于右边，或右边变同

30、于，或都将左右进行变换使其左右相等.5. 三角恒等变换过程与方法，实际上是对三角函数式中的角、名、形的变换，即（1）找差异：角、名、形的差别；（2）建立联系：角的和差关系、倍半关系等，名、形之间可以用哪个公式联系起来；（3）变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式加以变形后运用或逆用公式，如升、降幂公式， cos= coscos（-）- sinsin（-），1= sin2+cos2，=tan（450+300）等.三、随堂练习1、 已知sin（+）=，sin（-）=，求的值.2、求值：cos24°sin6°cos72°3 、化简（1）；（2）sin2sin2+cos2cos2-cos2cos2.4、 设为锐角，且3sin2+2sin2=1，3sin2-2sin2=0，求证：+2=.5 、如图所示，某村欲修建一横断面为等腰梯形的水渠，为降低成本，必须尽量减少水与水渠壁的接触面.若水渠断面面积设计为定值m，渠深8米.则水渠壁的倾角应为多少时，方能使修建的成本最低？8A E D B C（解答本题的关键是把实际问题转化成数学模型，作出横断面的图形，要减少