[很全]抛物线焦点弦的有关结论

1、很全抛物线焦点弦的有关结论知识点1：若肿是过抛物线于=2卩.心>0)的焦点F的弦。设4(.、,必)匕,儿)，(2)=-p2证明：如图,(1)若38的斜率不存在时，依题意X=心 =y, XxX2 =务若肋的斜率存在时，设为化则AB:y = k(x-,与y2=2px联立，得=0k1 x - y= 2px n kY - X + * f1P'4综上："2七.(2) yi2y22 = p4 => yiy2 =±p但阳2 <o,/. yiy2=-p2(2)另证:设 AB :x = my + 与尸=2px 联立，得y2 -2pmy-p2 = 0.:. yxy2

2、= -p2知识点2：若肿是过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的弦。设儿)， 则(1)必2=无+心+卩：(2)设直线的倾斜角为a,则AB = osin* a证明：(1)由抛物线的定义知AF = X + y,|BF| = *2 + #,= AF + BF = X + x? + p（2）若 a = 90°,则X = = £，由（1）知 1.481 = 2/? = M 211sin- a若a9O0,iH4B:y = x- ,-y2 =2px联立，得k2丿"+"止日,朗勺+孔+厂而 k = tan a ,2#2汕 + tan? a）_ 2p4 i.>

3、;tan- a sm" a知识点3：若-JB是过抛物线b=2“O0）的焦点F的弦，则以£为直径的圆与 抛物线的准线相切。证明：过点/、B分别向抛物线的准线引垂线，垂足分别为4、场,过肿中点M向准线引垂线，垂足为N,设以-8为直径的圆的半径为几Q 2r = AB = AF + BF = |.丄右 | + BBX | = 2卩的 pl/N| = r.:.以-43为直径的圆与抛物线的准线相切。知识点4:若肿是过抛物线才=2刃>0）的焦点F的弦。过点/、E分别向抛物线的准线引垂线，垂足分别为£、坊,则= 90° o证明借助于平行线和等腰三角形容易证明知识点

4、5:若是过抛物线b=2“O>0）的焦点F的弦，抛物线的准线与x轴相 交于点K,则ZAKF = ABKF.证明：过点&、2分别作准线的垂线，垂足分别为4、B】.QAAJ/KF/ZBB=竺而"=A.A.BF = B.BB、K FBAK _ AXA.笛=診而3K.码190。3# AAXK s ABB.K :. ZA、KA = ABXKB:.ZAKF = ABKF知识点6：若a是过抛物线y2 =2px（p>0）的焦点戸的弦，。为抛物线的顶点，连 接AO并延长交该抛物线的准线于点C,则BCHOF.证明：设/（忑）艮心儿），则.v ,yp _ p12x】2 y_ X2p2由知

5、识点 1 知北旳=_p?yc =y2: BCHOFy2逆定理：若是过抛物线y2 =2px(p>0)的焦点F的弦，过点8作BC/OF交抛物线准线于点C,则/、C、O三点共线。证明略 知识点7：若曲是过抛物线y2 = 2px(p > 0)的焦点F的弦，设AF = mBF = n.则证法：(1)若丄x轴，则38为通径，而AB = 2p.112 /. m = ji = pju n p(2)若与x轴不垂直，设B(x2,y2)9的斜率为I则l:y = k与y2=lpx联立，得卜彳k2= 2px> k2x2 -址 +2x +k2p2=04#11+ n+ =m n mn*)=£14

6、由抛物线的定义知m = AF = x1 + £/ = BF =勺+彳#知识点&己知抛物线y2 =2px(p>Q)中拐为其过焦点F的弦，卜F|二二儿则#=丄 £加sin( - &)+丄£sin 02 2 2 2r .PPP) crfrj m =,fi =Din = sin 0 =1 - cos01 + cos6sin* 05#逆定理：已知抛物线r =2p.x（>0）中，.购为其弦且与x轴相交于点M,若 AM = mBM = ”,且$亠他=务岛+晋'则弦AB过焦点。证明：设5（x2, v2）, ZAMx = 0, A/,0）,则SOB =S±0M+S0M 斗伽 sinS-&）+詁 sin & 弓1 + "sin 8而sin。一 b-,sin& /. sin2 6 “ninmn#:.sin 0 =一）yi乂可设Hill2 yfnm 2而 s® = ±1 （加+ ）p27: x = a y + / y2 = 2px=> y2 -2pay-2pt = 0/. yxy2 = -2pt 6#由得迸恒过焦点乂,0#抛物线r = 2G?>o）亠亠，过（2p,