要设计和发射一个带有X射线望远镜和其他科学仪器的气球

1、212013061022年亮男数学（2013）2、炼油厂将 A、B、C 三种原料加工成甲乙丙三种汽油。一桶原油加工成汽油的费用为 4 元，每天至多能加工汽油 14，000 桶。原油的买入价、买入量、辛烷值、硫含量，及汽油的卖出价、 需求量、辛烷值、硫含量由下表给出。 问如何安排生产计划， 在满足需求的条件下使利润最大？一般来说，作广告可以增加销售，估计一天向一种汽油投入一元广告费，可以使这种汽油日销量增加 10 桶。问如何安排生产计划和广告计划使利润最大？原油类别买入价（元/买入量（桶 /辛烷值（） 硫含量（）桶）天）A455000120.5B35500062.0C25500083.0汽油类别

2、卖出价（元 /需求量（桶 /辛烷值（） 硫含量（）桶）天）甲703000101.0乙60200081丙50100061.0符号说明：X1,X2,X3分别为 A类原油生产成甲，乙，丙三种汽油的量。Y1,Y2,Y3分别为 B类原油生产成甲，乙，丙三种汽油的量Z1,Z2,Z3 分别为 C类原油生产成甲，乙，丙三种汽油的量PA,PB,PC分别为甲，乙，丙三种汽油中投入广告的花费一、 不考虑广告投入时的模型求解：由以上述条件可知：PA=PB=PC=0;总利润为：70*3000+60*2000+50*1000-45*(X1+X2+X3)-35*(Y1+Y2+Y3)-25*(Z1+Z2+Z3)-4*(X1+

3、X2+X3+Y1+Y2+Y3+Z1+Z2+Z3)针对买入量与总产量得条件：X1+X2+X3+Y1+Y2+Y3+Z1+Z2+Z314000;X1+X2+X35000;Y1+Y2+Y35000;Z1+Z2+Z35000;针对需求量得条件：X1+Y1+Z13000;X2+Y2+Z22000;X3+Y3+Z31000;针对辛烷值得条件：12%*X1+6%*Y1+8%*Z110%*(X1+Y1+Z1);12%*X2+6%*Y2+8%*Z22%*(X2+Y2+Z2);12%*X3+6%*Y3+8%*Z36%*(X3+Y3+Z3);针对硫含量得条件：0.5%*X1+2.0%*Y1+3.0%*Z11.0%*(

4、X1+Y1+Z1);0.5%*X2+2.0%*Y2+3.0%*Z20.8%*(X2+Y2+Z2);0.5%*X3+2.0%*Y3+3.0%*Z31.0%*(X3+Y3+Z3);X1,X2,X3，Y1,Y2,Y3,Z1,Z2,Z3均为非负整数；结果分析与检验利用 LING0 9.0 求解在上述四条件下利润的最大值得：不考虑广告投入时用LINGO 9.0 求解利润最大值所用程序：max=70*3000+60*2000+50*1000-45*(X1+X2+X3)-35*(Y1+Y2+Y3)-25*(Z1+Z2+Z3)-4*(X1+X2+X3+Y1+Y2+Y3+Z1+Z2+Z3);X1+X2+X3+Y

5、1+Y2+Y3+Z1+Z2+Z3<=14000;X1+X2+X3<=5000;Y1+Y2+Y3<=5000;Z1+Z2+Z3<=5000;X1+Y1+Z1>=3000;X2+Y2+Z2>=2000;X3+Y3+Z3>=1000;0.12*X1+0.06*Y1+0.08*Z1>=0.10*(X1+Y1+Z1);0.12*X2+0.06*Y2+0.08*Z2>=0.02*(X2+Y2+Z2);0.12*X3+0.06*Y3+0.08*Z3>=0.06*(X3+Y3+Z3);0.005*X1+0.02*Y1+0.03*Z1<=0.01

6、*(X1+Y1+Z1);0.005*X2+0.02*Y2+0.03*Z2<=0.008*(X2+Y2+Z2);0.005*X3+0.02*Y3+0.03*Z3<=0.01*(X3+Y3+Z3);gin(X1);gin(X2);gin(X3);gin(Y1);gin(Y2);gin(Y3);gin(Z 1);gin(Z2);gin(Z3);直接求解结果：Global optimal solution found.Objective value: 110000.0Total solver iterations: 6Variable Value Reduced Cost X1 2400.

7、000 0.000000 X2 1600.000 0.000000 X3 800.0000 0.000000 Y1 0.000000 2.000000 Y2 0.000000 2.000000 Y3 0.000000 2.000000 Z1 600.0000 0.000000 Z2 400.0000 0.000000 Z3 200.0000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price 1 110000.0 1.000000 2 80 00.000 0.000000 3 200.0000 0.000000 4 5000.000 0.000000 5 3 800

8、.000 0.000000 6 0.000000 -45.00000 7 0.000000 -45.00000 8 0.000000 -45.00000 9 36.00000 0.000000 10 184.0000 0.000000 11 52.00000 0.000000 12 0.000000 800.0000 13 0.000000 800.0000 14 0.000000 800.0000当 X1=2400,X2=1600, X3=800,Z1=600,Z2=400,Z3=200, 其余变量值为 0；即用 A 类原油生产 2400 桶甲类汽油，生产 1600 桶乙类石油，生产 800

9、 桶丙类石油，用 C类原油生产 600 桶甲类汽油，用 C类原油生产 400 桶乙类汽油，用 C类原油生产 200 桶丙类汽油时， 总利润达到最大值为 110000 元。二、考虑广告投入时的模型求解：对甲、乙、丙三种汽油的广告投入分别设为PA、PB、PC.总利润变 :70*(3000+10*PA)+60*(2000+10*PB)+50*(1000+10*PC)-45*(X1+X2+X3)-35*(Y1+Y2+Y3)-25*(Z1+Z2+Z3)- 4*(X1+X2+X3+Y1+Y2+Y3+Z1+Z2+Z3)-PA-PB-PC;针对需求量得到的条件变为：X1+Y1+Z13000+10*PA;X2+

10、Y2+Z22000+10*PB;X3+Y3+Z31000+10*PC;其余条件与不考虑广告投入时相同.结果分析与检验利用 LING0 9.0 求解在上述条件下利润的最大值得：考虑广告投入时利用LINGO 9.0 求解利润最大值所用程序：max=70*(3000+10*PA)+60*(2000+10*PB)+50*(1000+10*PC)-45 *(X1+X2+X3)-35*(Y1+Y2+Y3)-25*(Z1+Z2+Z3)- 4*(X1+X2+X3+Y1+Y2+Y3+Z1+Z2+Z3)-PA-PB-PC;X1+X2+X3+Y1+Y2+Y3+Z1+Z2+Z3<=14000;X1+X2+X3&

11、lt;=5000;Y1+Y2+Y3<=5000;Z1+Z2+Z3<=5000;X1+Y1+Z1>=3000+10*PA;X2+Y2+Z2>=2000+10*PB;X3+Y3+Z3>=1000+10*PC;0.12*X1+0.06*Y1+0.08*Z1>=0.10*(X1+Y1+Z1);0.12*X2+0.06*Y2+0.08*Z2>=0.02*(X2+Y2+Z2);0.12*X3+0.06*Y3+0.08*Z3>=0.06*(X3+Y3+Z3);0.005*X1+0.02*Y1+0.03*Z1<=0.01*(X1+Y1+Z1);0.005*

12、X2+0.02*Y2+0.03*Z2<=0.008*(X2+Y2+Z2);0.005*X3+0.02*Y3+0.03*Z3<=0.01*(X3+Y3+Z3);gin(X1);gin(X2);gin(X3);gin(Y1);gin(Y2);gin(Y3);gin(Z 1);gin(Z2);gin(Z3);直接求解结果：Global optimal solution found.Objective value: 129959.1Extended solver steps: 0Total solver iterations: 18Variable Value Reduced Cost P

13、A 109.9000 0.000000 PB 0.00 0000 0.000000 PC 0.000000 0.000000 X1 2733.000 -20.90000 X2 1600.000 -10.90000 X3 667.0000 -0.9000000 Y1 1366.000 -30.90000 Y2 400.0000 -20.90000 Y3 333.0000 -10.90000 Z1 0.000000 -40.90000 Z2 0.000000 -30.90000 Z3 0.000000 -20.90000Row Slack or Surplus Dual Price 1 12995

14、9.1 1.000000 2 69 01.000 0.000000 3 0.000000 0.000000 4 2901.000 0.000000 5 5 000.000 0.000000 6 0.000000 -69.90000当 PA=109,PB=0,PC=0,X1=2733,X2=1600,X3=667,Y1=1366,Y2=400, Y3=333,即对甲类汽油投入广告费 109 元，对乙 , 丙类汽油不投入广告费，同时用 A 类原油生产甲类汽油 2733 桶，生产乙类汽油 1600 桶，生产丙汽油 667 桶，用 B 类原油生产甲类汽油 1366 桶，生产乙类汽油 400 桶，生产丙

15、类汽油 333 桶，不用 C类原油时，总利润可得最大为 129959.1 元.3. 要设计和发射一个带有 X 射线望远镜和其他科学仪器的气球。 对于性能的粗糙的度量方法是以气球所能到达的高度和所携带仪器的重量来表达，很清楚，高度本身是气球体积的一个函数。根据过去的经验作出的结论，是求极大满意性能函数Pf (V ,W )100V0.3V 280W0.2W 2 ，此处 V 是体积，w 是仪器重量。承包项目的预算限额为1040 美元，与体积 v 有关的费用是 2v，与设备有关的费用是4W，为了保证在高度方面的性能与科学设备方面的性能之间合理平衡，设计者要满足约束条件80W100W，找出由体积和设备重

16、量来表达的最优设计，并用线性化方法求解。解：由题意可以问题的V 和 W 应满足的约束条件为s.t.然后求解目标函数Pf (V ,W )100V0.3V 280W0.2W 2 的最大值。我们可以用非线性规划的线性逼近的方法将目标函数转化成近似的线性函数然后用线性规划的求解的方法即可得出结果。根据题意建立模型：Max f = 100-0.3+80W-0.2s.t.设置变量为：体积 V：x1设备重量 W ：x2模型求解的 Matlab 程序如下：（1）建立非线性目标函数文件functionf=qiqiu01(x)f=0.3*x(1)2-100*x(1)+0.2*x(2)2-80*x(2);(2) 建

17、立主程序求解x0=1;1;A=1,2;5,-4;b=520;0;Aeq=;beq=;vlb=0;0; vub=;x,fval=fmincon('qiqiu01',x0,A,b,Aeq,beq,vlb,vub);xfval%求出的结果为：x =148.5714185.7143fval =1.6194e+004由上可知体积 V 为 148.5714，重量为 185,7143 时为最优的设计。4. 某厂向用户提供发动机，合同规定，第一、二、三季度末分别交货40 台、 60 台、 80 台每季度的生产费用为f ( x)axbx 2 （元），其中 x 是该季生产的台数若交货后有剩余，可用

18、于下季度交货，但需支付存储费，每台每季度 c 元已知工厂每季度最大生产能力为 100台，第一季度开始时无存货，设a=50、b=0.2 、c=4，问工厂应如何安排生产计划，才能既满足合同又使总费用最低解：分析：问题的关键在于由于工厂的生产能力足以满足每个季度用户的需求，但是为了使总费用最少， 那么利用每个季度生产费用的不同，可用利用上个生产费用低的季度多生产来为下个季度进行准备， 前提是本月节省下的费用减去总的发动机存储费用还有剩余， 这样生产才有价值，才可能满足合同的同时又能使总费用最低。基本假设：1 、工厂的生产能力不受外界环境因素影响。2 、为使总费用最低，又能满足合同要求，各个季度之间的生产数量之间是有联系的。3 、第一季度开始时无存货。4 、工厂每季度的生关费用与本季度生产的发动机台数有关。5 、生产要按定单的数量来进行， 生产的数量应和订单的数量相同，以避免生产出无用的机器。符号规定：X1第一季度生产发动机的数量X2 第二季度生产发动机的数量X3第三季度生产发动机的数量建模：1、三个季度发动机的总的生产量为180 台。2、每个季度的生产量和库存机器的数量