数学物理方法复习

1、总复习总复习2221.0/( , )( , )( , ):0/( , )( , ):( , ):( , )0/( , )( , )(ttxxttxxtxxua uf x tF x tf x tua uf x tf x tF x tF x tua uf x tf x tcF x如何写定解问题写泛定方程(1)均匀弦的微小横振动：作用在每单位质量弦上的横向外力均匀杆的纵振动：作用在每单位质量杆上的纵向外力作用在杆上每单位长度每单位横截面积所受的纵向外力(2)细杆导热问题：，2, ):0/( , , , ),( , , , )ttuauf x y z tf x y z t 热源强度(单位时间内在单位长

2、度杆中产生的热量)热传导问题：按单位热容量计算的热源强度000200000,00110()0()( , , ) /02.( , , , )(, ),( , )0,( ,xxyyxyzxuuuuuuk uF x y zEuu x y z tf xyz tlu x tu x 边界（3）稳定温度分布问题：或圆形边界条件矩形边界条件泊松方程（4）静电场问题：静电场方程：电势满足的静电场方程：写边界条件：第一类边界条件：如：长为 的弦两端固定：000)0( , )0,( , )( , )( , )0,( , )x lxx lxx ltu x tu x tf x tu x tu x tu或一端固定一端按已

3、知规律变化：细杆导热问题：一端为零度一端处于恒温环境中：000000,( , )( ),(, )00,0 xx axyzxx lxx lxxx luux tf tf xyz tnFYSuuqk ukuu 边界,第二类边界条件：,如：杆的某一端是自由的，自由即不受力：又如：细杆导热问题：若杆的一端是绝热的，意味着进出该端点的热流强度为零。0000003.( , , , )( , , )( , , , )( , , )( , )0( , )( , )( , )tttttttu x y z tx y zu x y z tx y zu x tu x tvu x tf x t写初始条件振动问题：初始位移

4、:初始速度:如：对上面的小车问题：，如：对细杆导热问题，只需初始温度分布，v0 xl0v长为l的均匀杆，一端固定在车壁上，另一端自由，车子以速度 行进而突然停止。则边界条件：000 xxx luu，00P0lxxlTxhF1611：长为 的均匀弦，两端和固定，弦中张力为 ，在点，以横向力拉弦，达到稳定后放手任其自由振动，写出初始条件。习题TTF0l0hux1211220102000000000000sintan;sintansinsin()(),0, ( , )( )(), , ( , )0tttyyhlhyyTTFTTFhlhF h lhyTlFlhx xhTlu x txF hlx xh

5、lT lu x t初始位移初始速度0PlF1612:长为 的均匀杆两端受拉力作用而纵振动，写出边界条件。习题/nF SuYFYSYSuunn由胡克定律： =00000000,nxxxxxnxx lx lFFFuuuYSYSYSFFuuYSYS F0 xlF000Plq1613.长为 的均匀杆，两端有恒定热流进入，其强度为 ，写出这个热传导问题的边界条件。习题q0 xlq00000000000nx anxx lx lxxx= aqkuqx= aqkuqkuqx=qkuq 若杆的某端点有热流 沿该端点外法线方向流出：若杆的端点有热流 沿该端点外法线方向流入：若杆的端点有热流 沿该端点外法线方向流入

6、：00PlTxF2011：长为 的弦，两端固定，弦中张力为 ，在距一端为 的一点以力把弦拉开，然后突然撤除这力，求解弦的振动。习题TTF0l0 x0ux1211220012000000000000000sintan;sintansinsin()(),0,( , )( )(), ( , )0tttyyxlxyyTTFTTFxlxF x lxyTlFlxx xxTlu x txF xlx xx lTlu x t初始位移初始速度200000000000,0(),0,(), 0ttxxxx ltttua uuuFlxx xxTluF xlx xx lTlu定解问题为：1222212222( , )(

7、)sin( )( )sin0( )( )0( )cossinnnnnnnnnnnn xu x tT tlnan xTtT tllnaTtT tln atn atT tABll解：根据边界条件可设：，代入(1)式得000100100000020002( , )0sin002( , )( ),sin( )( )sin()222sin()sinsin()2( , )sin()tnntnlnntnxlxn an xu x tBBlln xn xu x txAxAxdxlllFlxF xF ln xn xn xxdxlxdxlTlllTllT nlF ln xu x tT n 代入初始条件：又1sinc

8、osnn xn atlll000uuq2.研究细杆导热问题，杆的初始温度是均匀的,保持杆的一端温度为不变的 ，至于另一端则有强度为恒定的 热流流入。习题q0 xl0000nxx lx lx= aqkuqkuq 解：若杆的端点有热流 流入：uunx2000000,txxxxx ltua uquuukuu定解问题为：(1 2 )ll3.长为 的均匀杆，两端受压从而长度缩为，放手后自由振动，求解杆的这一振动。习题F0 xl0uunx00020000(1 2 )2,0,2220,( , )(2 )20,0( , )(2 ),( , )0 xtttxxxxxx ltttullFYSYSFYSxltuud

9、xCxClxuClu x tlxua uuuuu x tlx u x t 又处，定解问题为：F0/nF SuYFYSYSuunn解：首先应正确理解物理量u:表示杆上各点相对于平衡位置的纵向位移由胡克定律： =lF04.长为 的均匀杆，一端固定，另一端受力后而伸长，求解杆在放手后的振动。习题F0 xl0uunx200000( , )0,( , )0( , ),( , )0ttxxxxx ltttua uu x tux tFu x tx u x tYS定解问题为：00000/0,( , )0,00( , )ttF SuYFYSuxxFFtdudxu x txCYSYSFxuCu x txYS 解：

10、杆因受力而伸长，显然杆上各点有初始位移。由胡克定律： =时刻，积分得：20102000204.0( , )0, ( , )0( , )( )sin( , )( )0( , )0,( , )0( , )( )cos( , )( )0( , )0,( , )txxnxx lnttxxxxnxx lnttxxxxx lua un xu x tu x tu x tT tlu x txua un xux tux tu x tT tlu x txua uu x tux t定解问题和试探解设：设：000001()20( , )( )sin( , )( )0( , ), ( , )( , )( )cos( ,

11、 )0,( , )0nntxxyyxx anyyyy bnxu x tT tlu x txuun yu x yA u x yAyu x yX xbux yux y设：设：010210004.0( , )0, ( , )0( , )( )sin( , )( ), ( , )0110,0( , )(cossin)( , )0ln( , )cosxxyyxx lnyymmmmauun xu x yu x yu x yY ylu x yx u x yuuuuuAmBmuCDuE 定解问题和试探解设：或1(cossin)mmmmCmDm0100001( , )( ) ( )() (cos )( )lll

12、llllr rruu rR r=ArBPufur ，有限值0001000( , , )(cossin)(cos )( , )1cossin(cos )lmmmlllml mr rmmmllllrml murru rrAmBmPufCmDmPur （）有限5.非齐次泛定方程处理200020( )00( , )0,00,000,00,( , )( , ; )( , )( , )( , ; )ttxxxx ltttttxxxx lttttttua uf x tuuuuva vvvvvf xv x tu x tux tv x td解出后6.非齐次边界条件的处理20000(1)( ),( ) (2)(

13、),( ) (3)ttxxxx ltttua uututux ux(一)一般处理方法例：自由振动问题0( , )( )( )( )( )( )( ) 0( )( )( )( )( )( )( )( )( )( , )( ) ( )( )(4)xx lv x tA t xB tB ttvtA tB ttttvtA tlB ttA tlxv x ttttl 可选取一个函数使之满足边界条件(2)20000(1)( ),( ) (2)( ),( ) (3)ttxxxx ltttua uututux ux22000000( , )( , )( , ) (5)0( ),( )( ),( )ttxxttxx

14、xxx lx lttttttu x tv x tw x twa wva vvwtvwtvwx vwx利用叠加原理，令将(4)(5)代入(1)(2)(3)中( , )( ) ( )( )(4)xv x ttttl2000( ) ( )( )0,0( )(0) (0)(0)( )(0) (0)(0)ttxxxx ltttxwa wtttlwwxwxlxwxl 这样边界条件化为齐次的了，但是泛定方程却变为非齐次的，接着可参照非齐次方程的求解过程进行。02( ),( )( , )( )( )xxxx lututv x tA t xB t x若为第二类非齐次边界条件：可设这样无论弦振动方程是否齐次，边界

15、条件是否齐次，最终可用分离变量法求解。（二）特殊处理方法特解法( , )( )sin,v x tX xt设代入(1)(2)20000(1)0,(2)0,0(3)ttxxxx ltttua uuuAsin tuu22000,xx lXXaXXA( )cos()sin()(0)0,( )sin()/sinX xCxDxaaXCllX lDADAaa( , )sinsinsinAxv x ttlaa( , )( , )( , )sinsin( , ),sinAxu x tv x tw x ttw x tlaa令代入(1)(2)(3)得：200000,0sin(/ )0,sin(/ )ttxxxx l

16、tttwa wwwAx awwl a 2000( , )(1)( ),( ) (2)( ),( ) (3)ttxxxx ltttua uf x tututux ux(一)一般的有界波动和输运问题以有界弦的一般振动问题为例：0( , )( )( )( )( )( )( ) 0( )( )( )( )( )( )( )( )( )( , )( ) ( )( )(4)xx lv x tA t xB tB ttvtA tB ttttvtA tlB ttA tlxv x ttttl 采取以下求解步骤：（1）化边界条件为齐次取使之满足边界条件(2)非齐次泛定方程非齐次边界条件非零值初始条件弦受外力作用，有

17、初始位移、初始速度两个端点按已知规律随时间变化2000( , )(1)( ),( ) (2)( ),( ) (3)ttxxxx ltttua uf x tututux ux200000( , )( , )( , ) (5)( , )( , )0,0( )( ),( )( )ttxxttxx lttttttu x tv x tw x twwa wf x tvg x twwwxvx wxvx 利用叠加原理，令将(4)(5)代入(1)(2)(3)中得 的定解问题( , )( ) ( )( )(4)xv x ttttl然后用傅立叶级数法求解，如$8.2例1,P204法二：采用叠加原理利用叠加原理化成两

18、个简单的定解问题。(2)(1)2(1)(2)2(2)(1)(1)(2)(2)00(1)(1)(2)(2)0000( , )( , )( , )0( , )0,00,0( ),( )0,0ttxxttxxxx lxx lttttttw x twx twx twa wwa wg x twwwwwx wxww 令齐次方程，非零值初始条件非齐次方程，零值初始条件分离变数法，傅立叶级数(1)法求解冲量定理法求解200( , )( ),( )( )txxxx ltua uf x tututux对于一般的有界输运问题，如求解步骤与上述振动问题完全相同。（二）一般的有界稳定场问题以二维矩形域稳定温度分布问题为例，其定解问题是：00( , )( , )( , )( , )( , )( , )0( )(0, ),( )