流体力学-第一讲 场论与张量分析初步

1、2022-2-171 主讲人：倪玲英2022-2-172工程流体力学工程流体力学从实用角度，对工程中涉及的问题建立相应从实用角度，对工程中涉及的问题建立相应的理论基础，并进行计算。的理论基础，并进行计算。静力学静力学运动学运动学 以理想流体为主以理想流体为主动力学动力学引言引言以理论分析为主，讨论实际流体运动规律。以理论分析为主，讨论实际流体运动规律。运动学运动学动力学动力学高等流体力学以实际流体为主以实际流体为主对于实际流体讨论了管对于实际流体讨论了管流阻力计算流阻力计算,是在理想流是在理想流体得出规律基础上进行体得出规律基础上进行修正修正,并结合实验并结合实验.2022-2-173主要内容

2、：主要内容：第一章第一章 场论与张量分析初步场论与张量分析初步第二章第二章 流体运动学流体运动学第三章第三章 流体力学基本方程组流体力学基本方程组第四章第四章 粘性流动基础粘性流动基础第五章第五章 NavierNavier-Stokes -Stokes 方程的解方程的解第六章第六章 边界层理论边界层理论第七章第七章 流体的旋涡运动流体的旋涡运动第八章第八章 湍流理论湍流理论2022-2-174第一章第一章 场论与张量分析初步场论与张量分析初步 第一节第一节 场论简述场论简述 第二节第二节 张量初步张量初步 第三节第三节 雅可比行列式雅可比行列式2022-2-175第一节第一节 场论简述场论简述

3、 基本概念基本概念 场的几何表示场的几何表示 标量场的梯度标量场的梯度 向量的散度向量的散度 向量的旋度向量的旋度 哈密顿算子哈密顿算子和场论的基本运算公式和场论的基本运算公式2022-2-176一一 基本概念基本概念 1.1.场（场（fieldfield）：）： 设在空间中的某一区域内定义标量函数或矢量函数，则称定义在此空间区域内的函数为场。 标量场（scalar field）： 向量场（vector field）： g g=f(r r,t) 均匀场（homogeneous field）： 非均匀场（non-homogenous field）： 定常流场（steady field）： 非定常

4、流场(unsteady field)：),(trf),(trgcf )(rf)(rf),(trf2022-2-177 (1)标量标量:是一维的量，它只须1个数量及单位来表示，它独立于坐标系的选择。 流体的温度，密度等均是标量。 (2)向量向量( (矢量矢量):):不仅有数量的大小而且有指定的方向，它必须由某一空间坐标系的3个坐标轴方向的分量来表示,因此向量是三维的量。 速度,加速度是向量. 常用黑体字母x、u 表示空间坐标位置向量和流速向量。也用 类似表示。xu、2022-2-178 对于笛卡儿坐标，X的3个分量为x1，x2，x3。而三个坐标方向的单位分别用e1，e2，e3表示。有时也常用i，

5、,j，k表示。因此位置向量和速度向量可以写为： kujuiuuzyx向量的加减向量的加减 ：cbabca2022-2-179矢量的标量积(数量积)（点积）(内积)： bababa,cos 标量zzyyxxzyxzyxbababakbjbibkajaiababababababazzyyxx,cos功:当力F作用在质点上使之移动一无限小位移ds,此力所做功定义为力在位移方向的投影乘以位移的大小.2022-2-1710 cabacbababababa，b、ababa，b、a分配律表示正交投影用在如则平行如则正交如43201222zyxaaaa222zyxbbbbbambmabam2022-2-171

6、1矢量的矢量积矢量的矢量积(向量积向量积)（叉乘）（叉乘）(外积外积)： babacbacba,sincabacbabambmabambaba/0 abba组成平行四边行的面积 右手法则，拇指方向即为c方向，由a指向b2022-2-1712 zyxzyxzyxzyxbbbaaakjikbjbibkajaiaba 平面面积可作为一个向量n ss2022-2-1713数量三重积： baczyxzyxzyxcccbbbaaacbacbacbabcacbaacbbaccba循环置换向量次序,结果不变.改变循环向量次序,符号改变.2022-2-1714数量三重积几何意义：作为平行六面体的体积 。cbab

7、ac=0， 是cba,共面的充分条件 2022-2-1715向量三重积： cbaacbbcacbacbabcacba括号不能交换或移动括号不能交换或移动2022-2-1716二、场的几何表示二、场的几何表示1 1、scalar fieldscalar field： (1)(1)用等值线（面）表示用等值线（面）表示令：令： (2)(2)它的它的疏密反映了标量函数的变化情况疏密反映了标量函数的变化情况000),(ftrft111),(ftrft等值线（等位面）图变化快变化慢二、场的几何表示二、场的几何表示2 2、 vector fieldvector field： 大小：标量. 可以用上述等位线(

8、等位面)的概念来几何表示。 方向：采用矢量线来几何地表示。 矢量线：线上每一点的切线方向与该点的矢量方向重合。矢量线的描述是从欧拉法引出2022-2-1718矢量线方程：设 是矢量线的切向元素， 则据矢量线的定义有直角坐标：则有：0 rdadzkdyjdxirdzyxakajaia0zyxaaadzdydxkjird所以有：所以有： （向量线方程）（向量线方程）zyxadzadyadx 向量管：在场内取任一非向量的封闭曲线C，通过C上每一点 作矢（向）量线，则这些矢量曲线的区域为向量管。 dtudzudyudxudzudyudxzyxzyx迹线方程流线方程迹线的描述是从欧拉法引出2022-2-

9、1720三、标量场的梯度 方向导数：函数z=f(x,y)在一点P沿某一l方向的变化率22yx),(),(lim0yxfyyxxflf方向导数sincosyfxflf方向导数为x轴到l的转角coscoscoszfyfxflf三元函数与方向导数关联的是梯度与梯度关联的是方向导数2022-2-1721在过 P 点所有可能的方向中存在一个方向导数变化率最大的方向。 梯度（gradient）就是这样的一个向量，它的方向即为方向导数变化率最大的方向而其大小则为这个最大变化率的数值。 记为 grad 沿梯度方向的方向导数达到最大值2022-2-1722直角坐标系中：直角坐标系中： zkyjxikzjyixg

10、rad 是一个算子（operator），它具有向量与微分的双重性质，称为哈密顿算子（Hamilton operator） 物理量沿任一方向（其单位向量为n0）的变化率为： gradn 0式中“.”表示点乘 2022-2-1723 梯度意义的证明：梯度意义的证明： 如图，设 方向单位向量 函数 沿 方向的变化为： 另： 与 同向时， 最大001100),cos()()(cos)()(limlim1sgradsnnnsnMMMMMMMMsMMMMn0ssscos,cos),cos(10MMMMsnsn而则0sss1ccMM1M流场中两相邻等势线流场中两相邻等势线 沿梯度方向的方向导数达到最大值20

11、22-2-1724定理证明:a） 满足关系式：证明： =gradgradrdddzzdyydxxdrdgradkzjyixgradkdzjdyidxrd2022-2-1725b)若任给一封闭曲线L， ，且 是矢径 的单值函数，则：证明：grada r0Lrda0drdgradrdaLL梯度的梯度的性质：性质： 标量场不均匀程度的量度； 梯度方向和等位面的法线方向重合，指向函数值增大的方向。 在任一方向的变形等于该方向的方向导数。 梯度的方向是标量变化最快的方向。2022-2-1726梯度的基本运算法则有： CC (C为常数) 2121 122121 ff 2022-2-1727 四、向量的散度

12、四、向量的散度(divergence)(divergence) 1、预备知识 a.向量通过曲面的通量（flux）： b.Gauss定理： 若 在 有一阶连续偏导数， 则：sssdadsnaQzyxaaa,vs dvzayaxasdazyvxs)(2022-2-1728 2、散度的定义 于是Gauss定理可以写作：azayaxavsdaadivzyxsvlim0vzyvxssdvadvzayaxasdadsna)()( 由封闭曲面s流出的通量可以看成是体积V的膨胀量。所以散度也就是流体的体积膨胀量。 散度是标量，而不是向量。2022-2-17292022-2-1730例1：任一不可压流场， ，在

13、流场中一点M取微元体，则密速（密度速度）变化量 点源： Source点汇： Sink例2：令 有 dxdydzadxdydzzadxdydzyadxdydzxazyx)(0 a0 azky jxir3)()(zky jxizkyjxir),(zyxa2022-2-1731 五、向量的旋度（五、向量的旋度（rotationrotation） 1 1、预备知识、预备知识 1)向量 的环量（Circulation） a)(dzadyadxardazyLxL如向量为速度，速度环量说明： （1）速度环量表示在某一瞬时所有在 AB 线上的质点沿 AB 运动的趋势，和力所作功的概念相类似，即可以理解为速度所

14、作的功。 （2）速度环量是个标量，具有正负号。 当速度方向和 AB 曲线方向同向时（成锐角）为正，异向时（成钝角）为负。线积分方向相反的速度环量相差一个负号，即 ABBArdurdu 2022-2-1732 2) Stokes 2) Stokes定理：定理： (L围成围成S，S单连通）单连通） 向量为速度，为二元流动： 当封闭周线内有涡束时，则沿封闭周线的速度环量等于该封闭周线内所有涡束的旋涡强度之和。这就是斯托克斯（GGStokes）定理。 通式： dsznyaxaynxazaxnzayardaSxyzxyzL).cos(),cos(),cos(dA2dA2dxdyyuxudnzxy2022

15、-2-17332022-2-1734 2 2、旋度的定义、旋度的定义= 于是Stokes定理可以写成： aacurlaaazyxkjiarotzyx)()()(yaxakxazajzayaixyzxyzLSsdarotrda2022-2-1735 例题： 0 r0)()(zky jxizkyjxi0zyxzyxkji2022-2-1736 六、六、 哈密顿算子哈密顿算子和场论的基本运算公式和场论的基本运算公式 1、 哈密顿算子的定义： 它具有矢量和对它右边的量微分的双重性.因此： zzyjxigradadivaarota2222222)(zyxsaas)(02022-2-17372 2、 基本

16、运算公式：基本运算公式： 1) 2) gradgradgrad)()(gradgradgrad)()(2022-2-17383）证明：令 ， gradFgradF)()()(rzky jxirgradFzkyjxiFzFkyFjxFiFzkyjxizky jxigradFF)()()()()()(2022-2-17394） 证明： 注： 5）rerrrgradrrkrzjryirxkzrjyrixrgradr1rxzyxxzyxxrx2121222222bdivadivbadiv )(2022-2-1740 6）证明：根据柯青法则 苏联数学家柯青的运算法则：苏联数学家柯青的运算法则：当除了一个

17、矢量之外，其他的矢量都是常数时，应该这样来变换表达式，以使得所有常矢量都位于 算子之前，而变量则位于它之后。agradadivadiv)(gradaadivaaaaaadivcccc)()()()(2022-2-17417） 证明： brotaarotbbadiv )()()()(ccbababa)()(abbaccarotbbrotabrotaarotbXZ Y顺变为正顺变为正逆变为负逆变为负2022-2-17420)10)9)()82aadivrotdivgradbrotarotbarot在混合乘积中有两个矢量相同，必然为02022-2-1743 brotaarotbbaabbagrad：

18、adivbbdivabaabababbabababababa：rotadivbbdivabaabbarotcccccc自证证)()()()()()()()()112022-2-1744 3 3、哈密顿算子对积分的应用：、哈密顿算子对积分的应用： 由Gauss定理有： vSdsndvdsznaynaxnadvzayaxazyxzyvx),cos(),cos(),cos()(dsnkznjynixndsdvkzjyixdvssvv),cos(),cos(),cos()(2022-2-1745dSndVSV AdSnAdVSV AdSnBAdVBSV dSndVSV 由这些公式可以看出，只要把体积分

19、中的哈密顿算子换成法向单位向量即是面积分的被积函数。 推广的高斯公式可以写为：高斯公式（Gausss theorem）将体积分与面积分联系起来，在流体力学中十分有用 2022-2-1746第二节第二节 张量初步张量初步 前言 张量的定义 张量的表示法 几种特殊的二阶张量 张量的运算2022-2-1747一一. 前言前言1 1、 指标和符号指标和符号1)自由指标 如矢量 ，其分量可表示为 ， ；则 称为自由指标。2)约定求和法则和哑指标 约定在同一项中，如有两个指标相同，就表示对该指标从1到3求和。这个约定称为爱因斯坦求和约定。这重复的指标称为哑指标。如：aia3 , 2 , 1ii2022-2

20、-1748zayaxaxaaxaa：divzyxLLjj如kkiibabababababa332211jijiiixvvxvvxvvxvvvv332211)(2022-2-17492 2、符号、符号(1)克罗内克尔符号 10001000110ijijjiji写成矩阵形式ijkjikjiijjiee:性质 各向同性张量，也就是说当坐标系转动后，张量的分量不变 2022-2-1750ijijaa ijkjikTT 具有替换下标的作用ij321321332211iaiaiaaaaaaaiiiijjiijj当当当2022-2-1751(2)(2)置换符号置换符号 （ ） （注：偶排列 123，231，

21、312）奇排列时为当偶排列时为当中有两个以上指标相同当3 ,2, 1,13 ,2, 1,1,0kjikjikjieijkijkeijkkjiijkkijkjieeeeeeee(3) (3) 恒等式恒等式ksjtktjsistijkeee2022-2-1752321kjiijkijaaaea112332331221132231133221312312332211333231232221131211ijaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa因为例题321kjiijkijaaaea2022-2-1753例题：ikjijkebaebbbaaakjiba321321ikjijkeaxe

22、aarotizayaaaazyxkjiaotyzzyxr例题：2022-2-1754证明： brotaarotbbadiv )()()()(ccbababa)()(abbaccarotbbrotabrotaarotbXZ Y顺变为正顺变为正逆变为负逆变为负brotaarotbxbabxaxbabxabaxbabadivikjjikkijijkikjijkkijijkkjijki)()(2022-2-1755adivbbdivabaabbarot )(adivbbdivabaabababbababababa：rotcccccc)()()(证adivbbdivabaabxabxabxbaxbaxa

23、bxbaxbaxbaba：rotjjljiljijjjijlmjmljlimjmiljmlklmijkjmlklmijk)(证1 1、张量的定义、张量的定义 张量是由一组分量所构成的集合，这组分量在坐标改变时应满足一定的坐标变换关系，以保证该张量本身所描述的一个完整的几何对象或物理量对象不随坐标的变换而变化。笛卡尔坐标二、张量的定义二、张量的定义 分别是新旧坐标系的单位基矢量为新旧坐标之间不同坐标轴夹角的方向余弦jiee, ijjiijee 2022-2-1757(1)(1)对于流场中，标量在新旧坐标 中，量值不变。(2)(2)对于流场中的矢量 ，新旧关系： 基矢： 在新旧坐标系中表示为： 于

24、是： 其中 是旧新坐标中不同坐标轴夹角的余弦。 ),(),(321321xxxxxx),(),(321321)(xxxxxxpajijeeeee3132121111jijieeaijjiiieeaeea )() 1 ()(jijijjiaeeaaijijeejjiieaeaa新 旧2022-2-1758 由 式给出了矢量的另一种定义： 对每一个直角坐标 系来说，有三个量 ，它根据（1）式变换到另一个坐标系 中的三个量 中去，则此三个量定义一新的量 ，称为矢量。 若将矢量以坐标变换的基础定义（1）加以推广，可得张量的定义。), 0(321xxx),(321aaa), 0(321xxx),(321

25、aaaajijijjiaeeaa)()1()(jijijjiaeeaa2022-2-1759(3) (3) 流场中点的应力状态流场中点的应力状态 它有9个分量来表示旧坐标中应力矢量： （2） 新坐标系中，应力矢量 （3）把（2）代入（3）有： （4）于是 （5）而 （6）jijiePPjjiiPeeP)( )(ljljiiePeeP jlklijkljljikiPeePeeeP )(kiikePP ijPj,l旧坐标系i,k新坐标系j, j l,li jjijjjiiaaeea jlklijikPaP2022-2-1760 凡符合 可变换规律的物理量称为二阶张量。 若在一直角坐标系内给定了3n

26、个数 ，当坐标变换时，所得新的数 则称此3n个数 为一个n阶张量。 说明说明: :标量是零阶张量，矢量是一阶张量，应力是标量是零阶张量，矢量是一阶张量，应力是二阶张量二阶张量。njjjja.321nnnnjjjjijijiiiiiaa.2.21211321.njjjja.321jlklijikPaP2022-2-1761 三、三、 张量的表示法张量的表示法 ijPiP33331221311321121111.eePeePeePeePeePP或一阶张量一阶张量二阶张量二阶张量 2022-2-1762四、几种特殊的二阶张量四、几种特殊的二阶张量1零张量：在任意直角坐标系中各分量皆为零的量， 以0表

27、示2单位张量：3共轭张量： 4对称张量： jiijijeeI100010001jicijPPPP,PPPPcjiij,2022-2-17634对称张量： PPPPcjiij,表示以333231232221131211ssssssssssSij只有6个不同分量2022-2-17645反对称张量：cjiijPPPP,表示以333231232221131211aaaaaaaaaaAij只有3个不同分量000000121323233123123112aaaaaaaAijbbbabAkjijkjij2022-2-17652022-2-17666 6、并矢、并矢 证明： 为二阶张量 （1） （2） 要证 是二阶张量 只需证明 （3） （1），（2）代入即是。 332313322212312111bababababababababababajibam