12131 点的运动学

1、题 目点的运动学本讲计划学时1对应教材章(课)节第6章教 学 目 的掌握描述点的运动的三种方法。教学进程序号本讲主要环节（内容）时间(分)1点的运动矢量法10/102点的运动直角坐标法10/203点的运动自然法30/50板 书 设 计第6章 点的运动学一、矢径法：二、直角坐标法：三、自然法（轨迹已知）：教学内容、方法、手段设计及教学重点、难点分析教学内容、方法设计：点的运动学是物理中曾经学过的内容，只是原来的重点是坐标法和自然法，在这里主要用提问和讨论的方法教学，使学员了解矢径法的思想和在定性分析中的应用；回忆坐标法和自然法，掌握其运动方程、速度和加速度。其中重点是自然法，应注意讲解自然轴系（

2、主要是密切面、法平面和副法线），并应强调加速度包含切向和法向加速度。教学手段：板书与多媒体相结合，并结合工程实际机构讲解。教学重点：点的加速度计算（切向、法向加速度）；教学难点：1.自然轴系。教学重点、难点分析：通过举例、讨论引导学员理解自然轴系第二篇 运动学引言运动学是研究物体运动的几何规律的科学。一、运动学的研究对象、任务1研究对象点和刚体，通称物体。有些问题也涉及到刚体系。2研究任务（1）研究物体的机械运动的几何性质，如运动方程、速度和加速度等，不考虑引起运动状态改变的原因。（2）研究机构传动规律，介绍常见工程机构的运动学参数计算。二、常用概念强调：惯性参考系的概念，首先建立起运动相对性

3、的概念。参考体：为描述物体运动而选定的其他物体；参考系：建立在参考体上的坐标系；通常所选的是惯性参考系，即建立在相对于地球静止或匀速直线运动的物体上，如地面、机器底座等。有时也会选取运动的参考体，建立动坐标系。相对于不同的参考系，运动的形式可能会发生改变，因此，大家要建立一个运动具有相对性的概念。三、运动分类点的运动：直线、曲线；刚体的运动：平动、定轴转动、平面运动、定点运动、一般运动。四、学习运动学的目的1、学习动力学的基础 受力分析和运动分析是学习动力学的两大基础。2、学习机械原理和设计传动机构的基础。第六章 点的运动学设计：举例明确点的运动学解决的问题。研究对象：几何点，称为动点，有时简

4、称为点。研究任务：研究点在空间运动的几何性质，即点相对于某坐标系运动的运动方程、运动轨迹、速度和加速度。下面分三种方法介绍点的运动学研究。§6-1 矢量法设计： 由雷达跟踪目标的动画或火车运行路线等例子引出矢量法。用矢径描述点在空间的位置随时间的变化。1点的运动方程矢量形式反映点在空间运动时，随时间的变化,即矢量法表示的动点M的运动方程。2点运动的轨迹矢端曲线动点运动过程中，矢径末端在空间描绘出一条连续曲线，即为点的运动轨迹，亦称矢端曲线（或称矢径端图）。3点的速度矢量v（1）点在时间间隔 内的平均速度设点沿轨迹运动，瞬时在 点，用来描述。瞬时在 点，用描述。在 时间间隔内，点 的位

5、移为 ，即矢径在 内的增量。在内点的平均速度为方向沿方向。（见图）（2） 点的瞬时速度设问： 是否正确？由图可知，当时，的极限位置为曲线在点处的切线。此时的极限即为方向沿M点的切线方向。4点的加速度矢量a（1）速度矢端曲线（即速度端图）将各不同瞬时的速度（图（a）所示），平行移动到同一出发点O1 (任选)，以光滑曲线连接各速度端点，。此曲线称为速度矢端曲线，简称速度端图。例如雷达跟踪飞机，就可以绘制出任意时刻飞机的速度，从而绘制出速度端图。（2）点的平均加速度在时间间隔内，速度由改变为，所以如图所示，则点在内的平均加速度方向沿。（3）点的瞬时加速度当时，方向沿速度端图的切线方向，即*小结矢量法

6、的相关概念：（1）矢径，运动方程 （2）轨迹矢端曲线（3）有限位移 （4）速度 （5）加速度 （6）矢量端图*矢量法的特点此法只适于定性分析并引入上述相关概念。不宜用于定量分析。§6-2 直角坐标法当点的运动轨迹未知时，常用直角坐标法描述点的运动规律。1点的运动方程和轨迹方程取直角坐标系，如图所示，点在运动过程中，其坐标，随时间而变化。（1）运动方程由图知由于i、j、k是不变的常矢量，因此上式中只有三个直角坐标是随时间单值连续变化的，由此可以得出直角坐标形式的运动方程式为（2）点的轨迹方程回答： 是否正确？消去式中的参数时间，可得到点的轨迹方程空间曲线方程：因此运动方程也可称为点的运

7、动轨迹的参数方程。2点的速度v=vxi+ vyj+ vzk又所以3点的加速度a=axi+ ayj+ azk点的全加速度是三个分量的矢量和，方向由方向余弦确定：方向：， ， 。§6-3 自然法设计：由生活中确定火车位置的问题引出自然法。当点的运动轨迹为已知曲线时，宜用自然法描述其运动，物理意义更明确、直观。1弧坐标（1）弧坐标坐标原点O在已知轨迹上任选一点。弧坐标s沿轨迹从O到点M的弧长。坐标正方向坐标原点O的某一侧为正向。2弧坐标形式的运动方程运动方程3自然轴系自然轴系的形成如图。（1）过点M作轨迹的切线T，取t为切线单位矢量。（2）过点M作一平面垂直于t，称为法平面。（3）法平面与

8、密切面的交线，称为主法线，取n为主法线单位矢量，正向指向曲线凹侧。（4）过点M，在法平面内作一直线MBn，MB线称为次法线（或称副法线），取b为副法线单位矢量，且满足下式：t、n、b构成一个以点M为坐标原点，并跟随点M一起运动的直角坐标系，称为自然轴系。t、n、b称为自然轴。自然法即指用弧坐标建立运动方程，并研究点的速度和加速度沿自然轴系各分量的物理意义。4点的速度如图，分别讨论速度的大小和方向。（1）速度的绝对值所以（2）速度的方向由§6-1知沿切线方向当时，与同向，点沿轨迹正向运动。当时，与反向，点沿轨迹负向运动。5点的加速度强调切向加速度、法向加速度的物理意义。上式第一项反映速

9、度大小随时间的变化率，方向沿切线方向，称为切向加速度、第二项反映速度方向随时间的变化率，称为法向加速度an。可以证明满足下式。式中为轨迹曲线在点M处的曲率半径。结论：其中：、，、an恒指向曲线凹侧*小结自然法适用于描述点沿已知轨迹的运动（1）运动方程式（2）点的速度（3）点的加速度讨论： （1） ，点作加速运动，与同向。 （2） ，点作减速运动，与反向。例1 已知：曲柄连杆机构OA=AB=l， j =w t。求：A、 B 两点的运动方程、速度及加速度。xy解：方法一：坐标法建立直角坐标系如图。1、A、B两点运动方程分别为：， ；，；2、速度、加速度，；，。方法二：自然法A、B轨迹比较明显，A点

10、为一圆弧，B点则是水平直线，因此用自然法也比较简单。1. A点运动方程、速度和加速度以 A点在水平位置时作为自然坐标的原点，则任意时刻A点坐标为：；速度：加速度：， 。2. B点运动方程、速度和加速度以O为坐标原点，则任意时刻B点坐标为：，即其自然法的运动方程与坐标法一致。由此可见，对于直线运动，两种方法是完全一致的，因此不必区分。上例两种方法比较可见，当点的运行轨迹比较简单直观时，用自然法比较方便；但当点的运行轨迹比较复杂时，用坐标法比较方便，可以比较简单的找出点的坐标，即运动方程，并通过求导解出速度和加速度。例2 半径是r 的车轮沿固定水平轨道滚动而不滑动。轮缘上一点M ，在初瞬时与轨道上的O点叠合；在瞬时t半径MC与轨道的垂线HC组成交角j =wt，其中w是常量。试求M点的运动方程，瞬时速度和加速度。O MDCHxyf分析：由于轨迹比较复杂，因此考虑用坐标法。解：建立坐标系如图。确定动点M的坐标：求导得： ， ， ， 。例3若上例改为求轮缘上M点的切向加速度和法向加速度，并求轨迹的最大曲率半径。分析：若直接用自然法，显