微积分试题解答

1、t2所确定，求dyy = J0(3u +1)sin u dudx4、计算定积分求5、计算反常积分6、求极限11_+yx ddx 二1 3x21:dx X2 X2 -11 1lim() x 刃 ln(1 sin x)ln(1 -sin x)tan xx lim x “1 - 一1 - x31lim(sin x)c°x X込°° (x _2)n9、求幕级数的收敛半径、收敛区间、收敛域.n d7、求极限8、求极限10、11、12、nn 31=2展开成x的幕级数，并写出成立的开区间.x -2x-31+x2+x42求不定积分32 ln(V x2)dx ' X (1

2、+x )设f (X)在区间0,1上为正值的连续函数，试证明：(I) 存在(0,1)使得以曲线y = f(x)为顶在区间0上的曲边梯形面积等于以f(®为高，以区间©,1为底的矩形面积.(II) 若增设f (x)可导且f (x) ： 0，则(I)中的是唯一的.将函数f(X)13、设f(x)在区间(0,-1- f (u)内可导，并设 f(X):： 0 , F(x) =1 xf (u)d u / du 1 u(I)(II)14、设求 F“(x) , ( xa0);讨论曲线y =F(x)在区间(0,二：)内的凹凸性，并求其拐点坐标.714tan xdx, n _ 2 0 'a

3、n(I)1计算an an 2，并证明仙 £一1一，( n2 )；2(n1)2(n -1)(II)O0证明级数7 (T)nan条件收敛.n=2浙江大学2012-2013学年秋冬学期微积分课程期末考试试卷以下1至10题每题6分，11至14题每题10分，解题时应写出必要的解答过程1、设 y =(sin2x)X (arcsin2x)4，求 dy dx2、设函数f (u)可导，y二f (x)是由方程y=3f(xy)n(1 sin x)所确定的可导函数, 求巴dx; 2x = 3t2 +2t +3,3、设y =y(x)是由参数方程浙江大学2012-2013学年秋冬学期微积分期末考试试卷答案1、设

4、 y =(sin2x)x (arcsin2x)4，求 dy dx解：dy = (si n2x)X2xcot2x In (si n 2x) 8(arcsi n2x)3 _1_=dx1-4x22、设函数f(u)可导，y = f(x)是由方程 求少.dxy=3f(xy)n(1 sin x)所确定的可导函数,y jf (xy)y解: y =3f (xy)(xy y) f，1+s in x'x = 3t2 +2t +3,3、设y = y(x)是由参数方程t2y (3u 1)sin u du(3t 1)sin t2, =-sin t2 ,dx 21 - 3xf (xy)，所确定，d2ydx2dx解

5、：2(3t 1),dtd2ydy _dt _2t costd2ydx22dx 2(3t 1)1 1 +Vx4、计算定积分求dx 3X21 1解:13x2t 二二dx13x215 xJdx (其中1*为偶函数，1禺(令 3一 x =t, x 二 t3,dx =3t2dt)1dt =6 6arctan x0 = 6(1 -一)4x1解:J1 x2 . x2 -11 x2Vx1为奇函数)1 1 -2dx013 x21 t2 -62dt01 t21 1 1-6 1dt20 0 1 t 2be 15、计算反常积分dx 或，令 x = sect,.2 sect tant 舟 ,dx22 dt2 cost

6、dt = 1 0 sec t tant01 16、求极限lim() T ln(1 +sin x)ln(1 sin x)解:lim()xIn(1+sin x) In(1sin x)ln(1 sin x) ln(1 +sin x)=limx )0 ln(1 sin x)ln(1 sin x)ln(1 sinx)|_|sin x, ln(1-sin x)-sinx,x；0)ln (1 -si n2x)=lim21 .x )0-sin x亠”口tan x_x7、求极限lim-1TTZtan x - x 解：lim T 1_ J1 _x3tan xx 二 lim xj1 3X22 dsec x-1= 2

7、lim 2x 0 3x12sec2 xtan xlim3 x0(注：分子 In (1 _s in 2x)L-s in2x.(注：1 一 一 1 一 X3 L 1 X3, Xr 0)2（洛必达法则）Xr 0 )8、求极限 lim(sin x) xS21cos2 Xx1cos2 X注: tan xLI x, Xr 0 )解： lim(sin x)x忖=limo(cos t)1sin21Tt(令 tX )2=问1 -(1 - cost)ln1 41 -cost)1二 lim et-012 1 -cos t(1 -cost)1 ： !cost二（x2）n9、求幕级数.治的收敛半径、收敛区间、心n 3解

8、：因为 lim u“± = lim n3 一鬥 un | n-和（n+1）3收敛域.1二1，所以收敛半径R =3,当x2 <3时，即当1cxc5时，级数绝对收敛,00（$当x = -1时，级数为' （收敛；n # n血1当x =5时，级数为二一发散，n X n收敛区间为：（-1,5）,收敛域为：-1,5）110、将函数f (x)展开成x的幕级数，并写出成立的开区间.x 2x31 14'x31 13 二3解：f (x)二X2 -2x-313 x1x -31丄)，其中x 1-心)n，3n3(x : 3);oOn n(-1) x，x 1 n卫1 1 £所以，

9、f (x) 一a43 n z0 3 nA1 :1二,(-1)n1-(1)n1xn( x ：1 )4 n £31 +x2 +x4211、求不定积分32 In(V x )dx 'X (1 +x )1 + x2 + x4解：.r 百 I n(1 x2)dxx (1 x )_ In(1 x2)-1x3(1 + x2)1 2 1 1 2 2In(1 x2)d(p) -I n2(1 x2)2 x "1 1 2pIn(1 x2)-./ X nn n(3)-(-1)x 2 2)dxxndx(注:x3(1x2)二亠)x31 x2421dx In 2(1 x2)2，x2 '&#

10、39;x(1 x2)4121 x1222In(1 x ).(Rdx ；In (1 x )x 1 +x 41 2'1 ln2(1 x2) C4'12、设f (x)在区间0,1上为正值的连续函数，试证明：(I) 存在(0,1)使得以曲线y二f(x)为顶在区间0上的曲边梯形面积等于以 f()为高，以区间,1为底的矩形面积.(II) 若增设f (x)可导且f (x)：0,则(I)中的是唯一的.证：(I)由题意要证，存在(0,1)，使° f(x)dx = (1 - )f()，2x丄2x22I2 I 22In(1 +x ) +1 n x In(1 +x )+In (1 + x )

11、 +Cx为此，作辅助函数： F(x) f (t)dt -(1 - x) f (x)，1有 F(0) =-f (0) ：0,F(1)= ° f(t)dt 0，且 F(x)在区间0,1上连续，由连续函数的介值定理，存在 (0,1)，F)=0,即，° f (x)dx = (1- Jf(J，因此，(I)成立.(II)由于 F (x) = f (x) f(x)-(1-x)f (x)0,x 0,1，所以F(x)在区间0,1上严格单调增，即 F(x)在区间(0,1)内至多一个零点， 所以(I)中的'是唯一的.113、设 f (x)在区间(0,：)内可导，并设 f (x) ： 0

12、, F(x)二 1 xf (u)d u(I)求 F (x)，当 x 0 时；(II )讨论曲线y =F(x)在区间(0, 内的凹凸性，并求其拐点坐标.11"(u)解: (I)当 X 0 时，F(x) =x 1 f(u)du 行duxu1 1 1F (x) = 1 f (u)du f () - xH/1) X XXXxx由于 f (x) ： 0 ,所以，当 0 ：, x : 1 时， F (x ) . Q当1 ： x 时，F (x) : 0，曲线y = F (x)向下凹(凸)；当 x =1 时， F (x)二 0 且 F(1)=0，曲线 y = F(x)有拐点(1,0).11111 1

13、(H)求 f (x)二冷 口丄)一2仁丄)(丄)1f(),x丄一 xf (丄)=X"x曲线y二f (丄),xF(x)向上凹;x3n14 设 an= 04tan'dx, n2 1 1计算an n2，并证明石可心宀時，当2时;QO(II )证明级数a (-1)nan条件收敛.n=2JI解：(I)an 2 an 二 ,tannx(tan2 x 1)dxM14 ta nnxdta nxtan0n 1n1x由于,所以0ji< 时，0 etan x c1 , 0 4:an 1 ： an，数列an，正项，且单调减少,当 0 :： x4 tann 1xdx :04tannxdx，则有,2an2 : an,2-