曲线拟合实验资料报告材料

1、数值分析课程设计报告学生学生学号所在班级 指导教师成绩评定一、课程设计名称函数逼近与曲线拟合二、课程设计目的及要求实验目的：学会用最小二乘法求拟合数据的多项式，并应用算法于实际问题。学会基本的矩阵运算，注意点乘和叉乘的区别。实验要求：编写程序用最小二乘法求拟合数据的多项式，并求平方误差，做出离散函数和拟合函数的图形；用MATLAB勺部函数polyfit 求解上面最小二乘法曲线拟合多项式的系数及平方误差，并用MATLA的部函数plot作出其图形，并与（1）结果进行比较。三、课程设计中的算法描述用最小二乘法多项式曲线拟合，根据给定的数据点，并不要求这条曲线精确的经过这些点，而是拟合曲线无限逼近离散

2、点所形成的数据曲线思路分析：从整体上考虑近似函数p(x)同所给数据点(Xi,y)误差即误差向量的ri p(Xi) y的大小，常用的方法有三种：一是误差rip(xj y绝对值的最大值maxi，即误差向量的无穷数；二是误差绝对值的和m数；三是误差平方和ri2的算术平方根，即类似于误差向量的 2数。前两种方i 0法简单、自然，但不便于微分运算，后一种方法相当于考虑 2数的平方，此次采 用第三种误差分析方案。算法的具体推导过程:1.设拟合多项式为:2. 给点到这条曲线的距离之和，即偏差平方和:n於=y技：-s +引八+叫册3. 为了求得到符合条件的a的值，对等式右边求忙偏导数，因而我们得到了:4. 将

3、等式左边进行一次简化，然后应该可以得到下面的等式nit旬11十引工勺十十珂i - 1i - 1nnn引 Qi + 幻f i = 1i = 1i 1引工心+比J ； 1 4 - + % 丫淬i - Li - 1i = 15. 把这些等式表示成矩阵的形式，就可以得到下面的矩阵：nXii 1nXii 1n2Xi 1nkXii 1nk 1Xi 1a。aiyiyinkXii 1nk 1Xii 12kxakyi6. 将这个德蒙得矩阵化简后得到1 %1 X2kX1kX2a。aiyiY21XnkXnakYn7. 因为X* A Y,那么A 丫/X,计算得到系数矩阵，同时就得到了拟合曲线。四、课程设计容实验环境：

4、MATLAB2010实验容：给定的数据点（叫儿）00.50.60.70.80.91.011.751.962.192.442.713.001）用最小二乘法求拟合数据的多项式；2）用MATLAB?函数polyfit函数进行拟合实验步骤1）首先根据表格中给定的数据，用 MATLAB件画出数据的散点图（图1）。2）观察散点图的变化趋势，近似于二次函数。则用二次多项式进行拟合，取一组基函数Ph并令fdW +够+旳，其中珂是待定系数（"123）1。3）用MATLAB?序作线性最小二乘法的多项式拟合，求待定系数算法实现代码如下：x=0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0;y=1 1.7

5、5 1.96 2.19 2.44 2.71 3.00;R=(x.A2)' x' on es(7,1);A=Ry'4) 用MATLAB?序计算平均误差。算法实现代码如下：y1=1 1.75 1.96 2.19 2.44 2.71 3.00;x=0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0;y=x.A2+x+1;z=(y-y1).A2;sum(z)5) 作出拟合曲线和数据图形(图 2)。6) 用MATLA的部函数polyfit求解上面最小二乘法曲线拟合多项式的系数及平方误差。算法实现代码如下：x=0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0;y=1 1.75 1

6、.96 2.19 2.44 2.71 3.00;A=polyfit(x,y,2);% 二次多形式拟合 %z=polyval(A,x);Ad=sum(z-y)42)7) 绘制使用 polyfit 函数实现的拟合图形。(图 3)五、程序流程图图 5-1 用最小二乘法求多项式拟合曲线流程图图 5-2 用 polyfit 函数求多项式拟合曲线流程图六、实验结果3282 62828020.60 7*2.2G.60.30 9图6-2.最小二乘法实现的拟合曲线图6-1表中数据的散点图实弱埶採点的故点EJ+ 数將点JiyO实醱数抿点的敲点图及拟合曲趺+数据点 拟合曲线第1问系数为A = 1.00001.000

7、01.0000则多项式的方程为平方误差和为ans =1.9722e-031实验數擔点的霰点團从拟合曲线+数据点拟合曲线00.1020 30.40 50.S07 0J 0.9图6-3. polyfit函数实现的拟合函数第2问系数为A = 1.00001.00001.0000则多项式的方程为对+ K十1平方误差和为ans = 1.9722e-031七、实验结果分析编写程序用最小二乘法求拟合曲线的多项式的过程中， 求出的数据和拟合函 数的平方误差很小， 达到了很高的精度要求， 以及通过散点求得的拟合曲线比较 光滑。而用MATLAB勺部函数求polyfit 求解的曲线拟合多项式和平方误差与程 序求得的

8、相同，还有就是虽然求解过程简单了，但用MATLAB勺部函数做出的图形由明显的尖点，不够光滑。此次实验数据较少，而且数据基本都是可靠数据。但是在应用实际问题中， 数据会很庞杂， 此时对于最小为乘法的算法就需要进一步的细化。 例如在进行数 据采集时， 由于数据采集器 （各种传感器） 或机器自身的原因及其外部各种因素 的制约， 导致数据偶尔会有大幅度的波动， 及产生一些偏差极大的数据， 不能真 实反映数据的可靠性， 所以会对数据进行筛选或修正。 而此时就可应用曲线拟合 的最小二乘法的进行处理。八、实验心得体会在日常的学习和生活中， 我们可能会遇到各种方面的跟数据有关的问题， 并 不是所有的数据都是有

9、用， 必须对数据进行适当的处理， 然后找出数据之间的关 系，然后进行分析得出结果。此次实验结果基本没有大的区别，可是MATLA提供给我们一个特别简洁的办法， 应用一个函数即可实现相同的结果。 虽然很方便， 但是对于初学者来说， 我觉得打好基础才是关键， 对于一个知识点， 应该掌握其 最基本的原理，然后在将它应用于实际。通过这个实验我也理解到了， 数值分析是一个工具学科， 它教给了我们分析 和解决数值计算问题得方法， 使我从中得到很多关于算法的思想， 从中受益匪浅。附录：源代码散点图：x=0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0;y=1 1.75 1.96 2.19 2.44 2.71

10、 3.00;plot(x,y,'r*')title(' 实验数据点的散点图 ');legend(' 数据点( xi,yi )');xlable('x');ylable('y');最小二乘拟合：x=0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0;y=1 1.75 1.96 2.19 2.44 2.71 3.00;R=(x.A2)' x' on es(7,1);A=Ry'x1=0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0;y1=1 1.75 1.96 2.19 2.44 2.71 3.00;x=0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0;y=x.A2+x+1;plot(x1,y1,'k+',x,y,'r')title(' 实验数据点的散点图及拟合曲线 ');z=(y-y1).A2;sum(z)Polyfit 函数拟合：x=0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0;y=1 1.75 1