不动点法求数列的通项(讲座)

1、精品不动点法求数列的通项惠来县第一中学方文湃自从实施新课程标准， 使用新教材以来， 高考题中出现了数列的解答题的次数好象不少。如2007 年普通高考广东数学理科卷压轴题第21 题 、 2011 年普通高等学校招生全国统一考试数学广东卷理科第20 题 ，这两道题都是已知数列的递推式，求它的的通项公式，并且求法都与“不动点 ”有关。记函数 f(x) 的定义域为 D ，若存在D ，使 f()成立，则称（，）为坐标的点为函数f(x) 图象上的不动点。以此类推，在数列an 中， an+1 =f(a n )(nN + )，若存在满足方程f()，称为不动点方程f()的根。下面介绍的一些数列，可先求生成函数（

2、递推式）的不动点，通过换元后，化为等差、等比数列，再求这些数列的通项，这一方法，我们不妨称为不动点法。一、递推式为 an+1 =aa n +b(a0,a1,a,b均为常数 ) 型的数列由递推式 an+1 =aa n +b 总可变形为an+1 =a （an） （）（）式中的与系数 a,b 存在怎样的关系呢？由（）得 an+1 =aa n ab=a即a+b （）关于的方程（）刚好是递推式an+1 =aa n +b 中的 an，an+1 都换成得到的不动点方程。令 b n =a n 代入（）得 b n+1 =ab n一般来说，可先求等比数列b n的通项，再求数列 an 的通项。感谢下载载精品例：在数

3、列 an 中，已知 a1 =1,a n+1 =1 1an (nN + ),求 lim a n 。2n解：令 x=1 1 x 得 x= 223an+1 2=11an 2= 1(an 2)32323令 b n =a n 2 ，则 b n+1 = 1 b n32数列b n成首项为 b1 =a 1 2=12= 1，公比为 q 1的等比数列，3332于是有b n= 1 ( 1 )n 1 即 an 2 1 ( 1 )n 132332an= 2 1 1 ( 1 )n332lima n =23n限于篇幅，求这种类型的数列的通项，其它的解法就不说了。aa nb（c0,a,b,c,d为常数）型的数列二、递推式为

4、an+1 =dcanaa nb(a c )anb d(a c )(anb d)an+1 =a ccan can=canddd令 bd可化得ac ab （）cd关于的方程（）刚好是递推式aanb都换成后an+1 =中的 an， an+1cand的不动点方程。1当方程（）有两个不同根，时，有an+1 (a c 1 )(an1 )ca nd感谢下载载精品an+1 (a c 2 )(an2 )ca ndan 11 ac 1?an1an 12a c 2an2令 b n =an1ac1?b nan有 b n c2a2一般来说，可先求等比数列b n的通项，后求数列 an 的通项。例：数列 an 由 a 1

5、=2 ，an+1 =3an1（n 1）给出，求 lim a n 。an3n解：令 x=3x1,得 x1=1,x2 =-1 ，于是有x33an112(an1)an+1 - 1 =3an3anan+1 +1 =3an114(an1)an3an3 an 11 = 1 an1an 112 an1设 b n =an1,则 b n+1 =1b nan12这样数列 b n 成首项为b 1=a11=1公比为1a11,的等比数列 , 于是 b n321( 1) n 1,=3211an11bn1() n1由 b n =32an1得 an =bn1111)n13(2 lim a n =1n2当方程（）出现重根同为时

6、，由 an+1 ( a c )( an)得ca nd感谢下载载精品1can dcdcan 1(a c )(an)a c(a c )( an)设 cn =1dcca n得 cn c?cn aa c即数列 cn 的递推式总可化为“ cn acn +b（a，b 为常数）型”，又一次运用不动点法求得数列cn的通项，从而求数列 an的通项。2an例 :在数列 an中， an =1, a n 1 =(n=1,2)。求 a n 。an22 x解：令 x=,得 x1=x 2=0设b n =12an可得 b n 1 =b n +1an,则由 a n 1 =2an2b n 成为首项为 1,公差为 1的等差数列 ,

7、于是2b n =1+n 1n 122a n =2n1需要指出的是，上述方法同样适用于方程（）两根不同的情形。对例，可设 c=1（或 c=1），我们运用上述方法来求数列a 的通项。nan1na n1n例另解：令 x= 3x1 ,得 x1 =1,x 2 =-1，于是有x3n+13an112(an1)a- 1 =3an3an1a n3=1+2=an 11 2( an1)2 an 1令 b n =1，则 b 1=1=1 ，b n+1 =2b1n +an 1a112令2+ 1 得 122bn+1+ 1 =2bn +1 + 1 =2(b n+1 )2222感谢下载载精品b n +1成首项为 b 1+ 1

8、=3 ，公比为的等比数列，于是有 b n +2221 = 3 2 n-122b n = 3 2n-1 - 1 = 1 (3 2 n-1 -1)22211 =1+22(1) n1代入 b n =得 an=1+=1+32an3 2n 111bn11(n 11)32 lim a n =1n小结解法：一般地，设1 ，2 是关于 的方程 l = al + b cl + d的两个根，对递推式为 an + 1= aan + b（ a,b,c, d 为常数）型的数列，可以有以can + d下两种方法来求其通项：解法一 ：1o 设 cn =1 （1 或2）得 cn dc ?cn c，a naca c即 cn 的

9、递推式为 an + 1 = aan + b （ a,b 为常数）型的数列；2o 求 cn的通项，再求 an 的通项。解法二 :1o 设 bn an 11，证数列 b n 成首项为 b 1 = a11 的等比数列；an 12a122o 求 bn 的通项，再求 an 的通项。当方程有重根时， 解法二 无法进行。以下是 2011年普通高等学校招生全国统一考试数学广东卷理科第20 题第（ 1）小题的不同解法：20. （本小题共 14 分）设 b0, 数列 annban 1(n 2)满足 a1=b ， an2an 1 2n.（ 1）求数列 an的通项公式；感谢下载载精品nban- 1anban- 1 1

10、an =?n - 1an- 1 + 2n - 2nan- 1 + 2n - 1bn =nbn =bbn- 1?1bn- 1 + 2 =2?11anbn- 1 + 2bnbbn- 1bbn- 1bb = 2bn= n an = 2212 (bn - 1 -1b 1 2bn -=)b -2bb -2bn -1b1 -1=1 -1= -22b-2b -2bb -2b(b - 2)bbn -1= -2( 2) n- 1b - 2b(b -2) bbn=12-22)(2 )n - 1 =12-1( 2 )n =11- ( 2) n b -b(b -bb -(b -2)bb -2ban=n2 n= n(b

11、 - 2)bn1(bn - 2nb -1-)2ban=nbn*bn- 1+ bn- 2?2 bn- 3?22L + b2?2n-3b?2n- 22n- 1 (n ? N )nban- 1anban- 1:an =?n- 1+ 2n -2nan- 1a+ 2n- 1n - 1bn =nbn =bbn- 1,b1=1 =1anbn - 1 + 2a1bx =bxx1 = 0, x2 = b - 2x + 2bn = bbn- 1bn- 1 + 2bn - (b- 2) =bbn- 1- (b - 2) = 2bn- 1 - (b - 2)bn- 1 + 2bn- 1 + 2感谢下载载精品 得 bn

12、(b2)2bnb bn(b2) 是首项为 b1(b2)(b1)2 ，公比为 q2 的等比数列，于bnb1b是bn (b 2)(b 1) 2 ( 2) n 1 解得 bn =11- ( 2)n bnbb-2ban =nn(b- 2)bn12=2n)nbn -b -1-(2b即 an =bn- 1 + bn- 2 ?2bn- 3 ?22nbnb?2n- 22n- 1(n ? N * )L + b2 ?2n- 3* 关于周期数列：1.已知数列 an中， a11 , an1n2, n N * ，则a100 =2an12.已知数列 an中， a11 ,an1n2, nN *，则a2012 =2an 13

13、.已知数列 an中， a11, an11n2, nN *，则 a15 =2an 14.数列 an中， a13, an 1an1 (n2) ，求这个数列的通项公式，并计算1an1a1 a2 La2000 的值。因为以上数列的递推式其对应的函数f(x) 都是周期函数（ a 0 ，为常数）：(1)1( f ( x) ? 0) ，则 f ( x) 的周期 T=2a ；f ( x+ a) =f ( x)(2)1( f ( x) ? 0) ，则 f ( x) 的周期 T=2a ；f ( x + a) = -f ( x)(3)1( f (x) ? 0) ，则 f (x) 的周期 T=3a ；f ( x+ a

14、) = 1-f (x)感谢下载载精品1+ f ( x)f (x)T=4a(4) f ( x + a) =( f ( x) ? 1)1-f (x)三、递推式为an+1 = a 2 nb (b,d 为常数 ) 型的数列2and200721f (x)=x 2 +x 1, , f(x) ,f/xf (x)a1 =1,a n+1 =a n f (an ) (n=1,2)f ( an )(1) , ;(2) :n,an ;(3) b n =lnan(n=1,2),b nnsnan(3)b n :an+1an21an21 15an21(15)an125 =2an =1=2an112an2(an12 5)2(

15、an)2( )=1=2an12anan+1 =an21 = ( an) 2( )2an12an1()():an 1(an)2lnan 1anan 1=) 2an 1=2 ln(ananb n=lnan,b n+1=2b nb n an感谢下载载精品1152=4ln 15 ，公比为 2的等比数列 ,故 b n=2 n+1 ln 15 。b 1 =ln221152(an15)2当然由 b n =2ln可求 a n 。(an15 )2方程 f (x)=x 2+x 1=0的两根,与递推式 an+1 =a n f ( an )=an21 有何f ( an )2an1关系呢 ?仔细推敲 ,方程 x2 +x

16、 1=0正好是不动点方程 x=x 21的变形， ,也是不2x1动点方程 x=x21 的两根。2x1n+1an2aanb ( , ,d为常数）”的数列都可是不是所有递推式形如“ a=cana b cd用上述换元方法求 an 通项呢？下面举一反例给予否定。例如：对 an+1 =an23x 23解得 x1 =1,33an1(n=1,2)，令 x=1x2= -3x2an+1 1=an23 1 =an23n23an13an1显然n 2 3a n+2( an1)2。a当系数 a,b,c,d 怎样时，才可运用上述换元方法求呢？an2aanban2(a c )an b dan+1 - =candcan d令

17、an2 + (a c) a n + (b d ) = ( a n )2 = an22 an2由恒等式得：感谢下载载精品=?0?a?a - ca = - 2a?2T?c = 2?da = a?2?b-?+ da - b = 0L L L L L (6)?a把 ()式中改为 x 得 : x2 + d x b =0()方程（）正好是当 a=0,c=2an2bx 2b时递推式“an+1 =”的不动点方程 x=2 xd2and的变形。1nn+1an2b所以 ,对已知初始值 a(或数列 a 的某一项 ),递推式为 a=2an（ b,dd为常数， n 为正整数）的数列 an ，设,是不动点方程 x=x2b 的两根 ,可2xd按下列方法求数列 an 的通项：1当 a1 = 或，数列an 为常数数列， an = 或；2当a1且a1，若 ，设 b n=ln|an| ,证bn 为等比数列，后求ann；a2xb3当 a1= 时，由不动点方程 x=得 x2 + d x b =0 = d 2+4b=0，b = d