不动点的性质与应用(教师版)

1、精品不动点的性质与应用一、不动点：对于函数f ( x)( xD ) ，我们把方程f ( x)x 的解 x 称为函数f (x) 的不动点，即 yf ( x) 与 yx 图像交点的横坐标 .例 1 ：求函数f ( x)2x1的不动点 .解：有一个不动点为1例 2 ：求函数 g x2x21的不动点 .( )解：有两个不动点1 、21二、稳定点：对于函数 f ( x)( xD ) ，我们把方程f f ( x)x 的解 x 称为函数 f (x) 的稳定点，即 yf f (x) 与y x 图像交点的横坐标 .很显然，若 x0 为函数 yf ( x) 的不动点，则x0 必为函数 yf (x) 的稳定点 .证

2、明：因为 f (x0 )x0 ，所以 f ( f ( x0 )f ( x0 )x0 ，故 x0 也是函数 yf (x) 的稳定点 .例 3 ：求函数f ( x)2x1的稳定点 .解：设 f ( x)2x1，令 2(2x 1) 1x，解得 x1故函数 y 2 x1有一个稳定点 1【提问】有没有不是不动点的稳定点呢？答：当然有例 4 ：求函数 g( x) 2x 21的稳定点 .解：令 g g( x)x ，则 2(2x21)21x2(4x44x21)1 x 0 8x48x2x 1 0 ，因为不动点必为稳定点，所以该方程一定有两解x11 ,x2128x48x2x 1必有因式 (x 1)(2x1)2x2

3、x1可得 ( x1)(2x1)( 4x22x 1)0另外两解 x3 ,415，4感谢下载载精品gxx2115 、 15 ，其中1 5故函数)21 的稳定点是、1是稳定点，但不是不动点(、4244下面四个图形，分别对应例1、 2、3、4.yf ( x) 2x 1yg( x) 2x2 1yxyxxx图 -1图 -2yf (x)2x 1yg( x)2x 21yxy1 x1x22xyx12yx图 -3图 -4由此可见，不动点是函数图像与直线yx 的交点的横坐标，稳定点是函数y f ( x)( x D ) 图像与曲线 xf ( y)( y D ) 图像交点的横坐标（特别，若函数有反函数时，则稳定点是函数

4、图像与其反函数图像交点的横坐标） .由图 1 和图 3 ，我们猜测命题：若函数 yf (x)( xD) 单调递增，则它的不动点与稳定点或者相同，或者都没有 .证明：（ 1）1若函数 yf (x)( x D ) 有不动点 x0，即 f ( x0 )x0f ( f ( x0 )f ( x0 )x0 ，故 x0 也是函数 yf (x) 的稳定点；2 若函数 yf (x)( xD ) 有稳定点 x0 ，即 f ( f ( x0 )x0 ，假设 x0 不是函数的不动点，即f ( x0 )x0若 f （x0 ） >x 0 ，则 f（ f（ x0 ） >f （ x0），即 x0>f （ x

5、0 ）与 f （ x0 ） >x 0 矛盾，故不存在这种情况；感谢下载载精品若 f （x0 ） <x 0 ，则 f （ f（ x0 ） <f （x0），即 x0<f （ x0）与 f （ x0 ）<x 0 矛盾，故不存在这种情况；综上， f（ x0 ） =x 0x0 是 f（ x）的不动点（ 2 ） 1 若函数 yf ( x)( xD ) 无不动点，由（1 ）知若函数有稳定点，则函数必有不动点，矛盾，故函数无稳定点；2 若函数 yf (x)( xD ) 无稳定点，由（1）知若函数有不动点，则函数必有稳定点，矛盾，故函数无不动点；综上， 若函数 y f (x)( x

6、D ) 单调递增，则它的不动点与稳定点或者相同，或者都没有.例 5 、对于函数 f( x)，我们把使得 f(x)= x 成立的 x 称为函数 f(x )的不动点。把使得f(f(x)= x 成立的 x 称为函 数 的 f(x) 的 稳 定 点 ， 函 数 f (x) 的 不 动 点 和 稳 定 点 构 成 集 合 分 别 记 为 A和 B.即A= x|f(x)= x ,B= x|f(f(x)= x，（ 1 ）请证明： A? B；（ 2 ） f (x)x2a(aR, x R) ，且 A= B? ，求实数 a 的取值范围 .解：（ 1 ）证明：若 A时， AB若 A时，对任意的xA ，有 f ( x

7、) xf f (x) f ( x)x x BAB综上，得 AB（2）Q Ax2ax 0 有解1 4a 0 a14Q B（ x2 -a ） 2 -a=x有解x4-2ax 2-x+a 2-a=0Q A ? B 即 x4 -2ax 2 -x+a 2 -a=0 的左边有因式x2 -x-a ；(x2 -x-a)(x 2 +x-a+1)=0；又 A=B x2+x-a+1=0 无实数根，或实数根是方程x2-x-a=0 的根；若 x2+x-a+1=0无实数根，则 =1-43（ -a+1 ） <0a4若 x2+x-a+1=0有实根，且实根是方程x2-x-a=0 的根；作差，得 2x+1=0x132a4综上

8、， a 的取值范围为 1 , 344感谢下载载精品例 6 、已知函数 yf (x), xD ，若存在x0 D ，使得 f (x0 )x0 ，则称 x0 为函数 f ( x) 的不动点；若存在 x0D ，使得f f ( x )x，则称 x为函数f (x)的稳定点，则下列结论中正确的是填上所000_(有正确结论的序号). 1 、1是函数 f (x) 2x2 1 的两个不动点；2若 x0 为函数 yf ( x)若 x0 为函数 yf ( x)的不动点，则x0 必为函数 yf (x)的稳定点，则x0 必为函数 yf (x)的稳定点；的不动点；函数f ( x)2x21 共有三个稳定点； f (x)exx

9、 的不动点与稳定点相同。考点： 命题的真假判断与应用解：解 2x21x 得： x11 , x211 、1是函数 f (x)2故2x2 1 有两个不动点，即正确；2若 x0 为函数 y= f(x)的不动点，则 f ( x0 )x0 ，此时 f f ( x0 )f ( x0 )x0 ，则 x0 必为函数 y= f(x)的稳定点，故正确；若 x0 为函数 y= f(x)的稳定点，则 x0 不一定为函数y= f (x)的不动点 (见结论 )，故错误；解 2(2x21) 21x8x48x2x10 ，得 x=1或 x1515或 x=14或 x42即函数 f ( x) 2x21 共有四个稳定点，故错误；因

10、f ( x)exx 在定义域上为增函数，故它的不动点与稳定点相同。故答案为：例 7 、设函数f ( x)xa (aR) .若方程 f(f(x)= x 有解 ,则 a 的取值范围为 ()感谢下载载精品A. (1B.1C.(1D.1,+ ), 0,488解：法二：设f(x)= t ,t ? 0,则方程 f (f( x)= x 等价为 f(t)= x，即xat，t= x，即 f (x)= x，tax xax 在 x? 0 时有解， ax2x设 gxx2xx( x1)则 ag( x)maxg( 1)1 ，故选： A.24例 8 ：已知 fxx3bx ，若 fx在 1,) 上单调（ 1 ）求 b 的取值

11、范围；（ 2 ）已知 f xx3bx ，若设 x01, f ( x0 )1，且满足 f f (x0 )x0 ，求证： f ( x0 )x0 解：（ 1 ）法一：令 1x1x2，则 fx1fx2x13bx1x23bx2( x1x2 )( x12x1x2x22b) 0x12x1 x2x22b0bx12x1 x2x22 恒成立b1 113（ 2 ）（证法一）设f (x0 )m ，由 f f ( x0 )x0 得 f (m)x0 ，于是有x03bx0m (1)m3bmx0 (2)（ 1 ）（ 2 ）得： ( x03m3 )b( x0m)mx0 ，化简可得(x0m)( x02mx0m21b)0 ， Q

12、x01, f ( x0 )m1，x02mx0m21b 4b10 ，故 x0m0 ，即有 f (x0 )x0 （证法二）假设f ( x0 )x0 ，若 f （x0 ） >x0 ，则 f（ f（ x0 ） >f （ x0），即 x0>f （ x0 ）与 f （ x0 ） >x 0 矛盾，故不存在这种情况；若 f （x0 ） <x0 ，则 f （ f（ x0 ） <f （x0），即 x0<f （ x0）与 f （ x0 ）<x0 矛盾，故不存在这种情况；综上， f（ x0 ） =x 0例 9 ：已知 fxax2bxc a0 ，且方程 fx x 无实根。

13、现有四个命题 方程 f f xx 也一定没有实数根； 若 a0，则不等式 ffxx 对一切 xR 成立； 若 a0 ，则必存在实数 x0 使不等式 f fx0x0 成立； 若 abc0 ，则不等式 ff xx 对一切 xR 成立。其中真命题的个数是（C）（A）1 个（B）2 个（C）3 个（D）4 个感谢下载载精品【提问】由以上例题我们还可以得到什么结论呢？【性质】1、函数 f ( x)( xD ) 不动点构成的集合是f f ( x)( x D ) 不动点构成的集合的子集；2、若函数 f ( x) 在 D 上单调递增，则f ( x)( x D ) 不动点构成的集合与 f f ( x)( xD

14、) 不动点构成的集合相等；3 、若 f ( f ( x) 有唯一不动点，则f (x) 也有唯一不动点；证明：4 、若函数f ( x)( xD ) 是自反函数，则在D 内任何实数均是f f (x)( xD ) 的不动点；证明：5 、若函数f f ( x)( xD ) 不动点构成的集合是非无限集，则f (x)( xD ) 不动点构成的集合的元素个数与 f f ( x)( xD ) 不动点构成的集合的元素个数同为偶数或同为奇数.证明：感谢下载载精品【课后练习】1 、对于函数f x ，若 fx0x0 ，则称 x0为函数 yf ( x) 的不动点；若f ( f (x0 )x0 ，则称 x0 为函数 yf

15、 ( x) 的稳定点 . 如果 fx x2a aR的“稳定点”恰是它的“不动点”，那么a 的取值范围是（）A、,1B、3 ,C、3 , 1D 、3 , 1444444解： x0 为函数 fx的不动点，则方程 fxx ，即 x2xa0 有实根 x0 ， 14a01；a4x0 是方程 ff xx 的根，即x22ax如果稳定点恰是它的不动点，则ax2x a x2x a 1 0，因为函数 fxx2a aR 的稳定点恰是它的不动点，所以 若方程 x2x a1 0无实根14 a10a3；4若方程 x2xa1 0 有实根，且实根是方程x2xa0 的根，作差，得 2x+1=0x11132a244综上：3a1，

16、故选 D442 、方程 f xx 的根称为函数f (x) 的不动点，若函数fxx有唯一不动点，且x1 1000 ，a x2感谢下载载精品1xn 1， n1 ， 2， 3， ，则 x20172008.1fxn3 、对于函数yf ( x) ,若 x0 满足 f ( x0 )x0 ,则称 x0 为函数 f ( x) 的一阶不动点 ,若 x0 满足 f f ( x0 )x0 ,则称 x0 为函数f (x) 的二阶不动点，（ 1 ）设 f(x)=2 x+3, 求 f (x)的二阶不动点。（ 2 ）设 fxexxa, aR ,若 f(x) 在0,1 上存在二阶不动点x0 ，求实数 a 的取值范围 .考点：

17、 函数与方程的综合运用, 函数的值 解：（ 1 ）若 f (x)=2 x+3, 则 f f(x)=2(2 x+3)+3=4x+9 ，由 f f( x)= x,得 4 x+9= x,解得 x= - 3 ；2xRf x e x a a（ ）函数,在 R 上单调递增，则由 (2) 可知 ,若 f(x )在 0,1上存在二阶不动点x0 ，感谢下载载精品则 f(x)在 0,1 上也必存在一阶不动点x0 ；反之 ,若 f(x)在0,1 上存在一阶不动点x0 ,即 f ( x0 )x0 ，那么 f f ( x0 )f ( x0 )x0 ,故 f (x)在 0,1 上也存在二阶不动点x0 .所以函数 f (x

18、)在0,1 上存在二阶不动点x0 等价于 f(x)= x 在 0,1 上有解 ,即方程 exxax 在 0,1 上有解，aex 在0,1 上有解a 的取值范围是- e,- 1.4 、已知函数f ( x)6x26x，设函数 g1 ( x)f ( x), g2 ( x)f g1 (x),g3 ( x) f g2 ( x),gn ( x)f gn 1( x),（1 ）求证 :如果存在一个实数x0 ，满足g1 ( x0 )x0 ，那么对一切n N ,gn (x0 ) x0 都成立都成立；（ 2 ）若实数 x0 满足 gn ( x0 )x0，则称 x0 为稳定不动点，试求出所有这些稳定不动点；（3）设区

19、间 A(0,) ，对于任意 xA ，有 g1 ( x)f (x) a0, g2 ( x)f g1 (x)f(0)0 ，且n 2时， gn (x)0 .试问是否存在区间B(A B) ,对于区间内任意实数x ，只要 n2，都有gn ( x) 0 .解析 :(1) 证明 : 当n=1 时， g1 ( x0 )x0 ，显然成立；设 n=k 时，有 gk (x0 )x0 (kN) 成立，则 gk 1 ( x0 )f gk ( x0 )f ( x0 )g1( x0 )x0 ，即n= k +1时，命题成立 .对一切 nN ,gn ( x0 )x0 都成立都成立（ 2 ）由（ 1 ）知，稳定不动点x0 ，只需

20、满足f ( x0 )x0由 f (x0 )x0 ，得 f ( x)6x026x0 x0x0 0 或 x056稳定不动点为0 和.（ 3 ）f(x) 0 ，得6x26x0x0 或 x 1.gn ( x)0f gn 1 (x)0 或 g n 1( x)1感谢下载载精品要使一切 n2 ，都有 gn ( x)0 ，必须有 g1 (x)0 或 g1( x)1 .由 g1( x)06x26 x0x 0 或x 1由 g1( x) 16x 26x 1故对于区间 ()和 (1,+ )内的任意实数x,只要 n2, nN ，都有 gn ( x)0 .【真题】（ 2012年北京东城一模文）对于函数 f (x)，我们把

21、使得 f(x )= x 成立的 x 成为函数 f(x)的不动点，把使得f(f (x)= x成立的 x 成为函数的f(x) 的稳定点，函数f(x)的不动点和稳定点构成集合分别记为A和B.即A=| ()=,= |()=x，x f xx B x f f x(1) 设函数 f(x)=3 x +4 ，求集合 A 和 B；(2) 求证： A? B；(3) 设函数 f xax2bx c a0，且 A= ?，求证： B= ? .考点： 集合的包含关系判断及应用,空集的定义、性质及运算、方程无解的证明解： (1) 令 f(x)=3 x +4=x，解得 x= - 2,故有 A= - 2由于 f f(x)=3(3

22、x+4)+4=9x+16 ，令 9 x+16= x,得 x= - 2,故有 B= - 2(2) 若 A= ?，则 A? B 显然成立；若 A?，设 t A，则 f(t)= t ,f(f(t)= f(t)= t，t B，故 A? B.(3) Q Af ( x)x 无解f ( x)x 或 f ( x)x感谢下载载精品1o a0 时，则 f ( x)x 在 xR上恒成立f f ( x)f ( x)xB2o a0 时，则 f (x)x 在 xR 上恒成立f f ( x)f ( x)xB综上， B（上海中学2015学年第一学期高一期终考试）一、填空题 /12 、若实数 x0 满足 f (x0 )x0 ，

23、则称 x0 为函数 f (x) 的不动点，有下面三个命题：（ 1）若 f (x) 是二次函数，且没有不动点，则函数f f ( x) 也没有不动点；（ 2）若 f (x) 是二次函数，则函数f f ( x) 可能有 4 个不动点；（ 3）若 f (x) 的不动点的个数是2 ，则 f f ( x) 的不动点的个数不可能是 3.它们中所有真命题的序号是_（ 1）、（ 2 ）、（ 3 ） _.三、解答题 /5 、对定义在 1,) 上的函数 f ( x) 和常数 a、 b ，若 f (2 x)af ( x) b 恒成立， 则称 ( a, b) 为函数 f ( x) 的一个“凯森数对” .（ 1）若 (1

24、,1)是 f (x) 的一个“凯森数对”，且 f (1) 3，求 f (16) ；（ 2）已知函数 f1( x) log 3x 与 f 2 ( x) 2x 的定义域都为1, ) ，问它们是否存在“凯森数对”？分别给出判断并说明理由；（ 3）若 (2,0) 是 f (x) 的一个 “凯森数对” ，且当 1 x2 时， f ( x)2x x2 ，求 f ( x) 在区间 (1, )上的不动点个数（不动点的概念参考填空题第12 题）.解：（ 1 ） f (16)7（ 2） f1 (x) log 3x 存在“凯森数对” (a, b)(1,log 3 2)f 2 ( x) 2x 不存在“凯森数对”（ 3

25、）不动点个数为0感谢下载载精品（杨浦区 2016 学年度第一学期高一年级期中质量调研）21 、（本题满分 12分）本题共有 2 个小题，第（ 1 ）小题满分 2 分，第（ 2 ）小题满分4 分，第（ 3 ）小题满分 6 分.对于函数 f ( x) ，称满足 f ( x0 )x0 的 x0 为函数 f (x) 的“不动点” ，称满足 f f ( x0 )x0的 x0 为函数 f(x) 的“稳定点” .（ 1）求函数f ( x)x2 的“不动点”；（ 2）求函数f ( x)| x1| 的“稳定点”；（ 3）已知函数yf ( x)ax (a 0, a 1,a2) 有无数个 “稳定点” ，若 x x

26、|1x 2 且 xb ，x b求 y 的取值范围（用 a 表示） .解：（ 1）0、1（ 2 ） x0,1（ 3 ） 1o a1 或 a2 时，则 y 2a ,a2a1a2o 1 a2 时，则 y ( , a U 2a ,)1a2a感谢下载载精品（ 2017年全国中学生数学能力竞赛高一年级组决赛）17 、对于函数 f(x)，若 f (x)= x，则称 x 为 f (x)的“不动点”，若 f(f(x)= x ，则称 x 为 f(x)的“稳定点”。函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B，即A=| ()=x， = |()=x.x f xB x f f x( )求证： A? B；( )若

27、fxax21 a R, xR，且A B，求实数 a 的取值范围 .考点： 集合的包含关系判断及应用,集合的相等 ,函数单调性的性质 解： ( )若 A= ?，则 A? B 显然成立；若 A?，设 t A， 则 f(t)= t ，f(f(t)= f(t )= t ， t B，故 A? B()Q Aax2 1 x 有解1 4a 0 a14Q Ba(ax 21)1x 有解a3x42a2 x2xa 10QA?Ba3 x42a2 x2xa1 0的左边有因式 ax 2x1(ax 2x1)(a 2 x2axa1)0 ；又 A=Ba2 x2axa 10 无实数根，或实数根是方程ax2x10 的根；若 a 2

28、x2axa1 0 无实数根，则a24a 2 (a1)014a4 0 a34若 a 2 x2axa1 0 有实根，且实根是方程 ax 2x10 的根得 a 2 x2ax a 2ax 1 0 x1111 031 a3132a4a2a4a4a 的取值范围为 ,44【数列中的应用】感谢下载载精品1 、求线性递推数列的通项：a1a，且 pq( p1)0an 1panq法四： 不动点法 构造等比数列令 xpxq xqpxq 的不动点，递推公式两边同减不动点，为函数 y1p得 an 1qppanqqp(anq )11 p1p若 aq0，则 anq1p1；p若 a1qp0 ，则 anqp(a1q) pn 1an( aq ) pn 1q.1p1 p1pa1a2 、形如an1panq 型 ：不动点法构造等比数列或线性递推数列ta ns将 an 1,an均换成 x ，得 xpxqx , x 是函数 fxpxq 的两个不动点txs12( )stx两边同减两个不动点，得an 1x1pa nqpx1q( psqt )(anx1 ) tanstx1s(ta ns)(tx1s)an 1x2panq