勾股定理竞赛试卷(含解答)

1、八年级数学勾股定理竞赛试卷（时间：120分钟，总分：120分）、选择题（每小题5分，共25分）1、4ABC周长是24,M是AB的中点MC=MA=5,则ABC的面积是（）A.12;B.16;C.24;D.302、如图，在正方形（ ）ABCD中，N是CD的中点，M是AD上异于D的点，且/NMB=/MBC,贝UAM:AB=A.-;B.;C.-;D.332第（1）题图第（2）题图第（3）题图3、如图，已知O是矩形ABCD内一点，且OA=1,OB=3,OC=4,那么OD的长为（2;.3;4、如图，P为正方形ABCD内一点，PA=PB=1Q并且P点到CD边的距离也等于10,那么，正方形ABCD的面积是（A

2、. 200; B. 225; C. 256;D. 150+10 v 25、如图，矩形最小值为（ABCD 中，AB=20 )A. 12; B.10 . 2 ; C. 16;D. 20BC=10,若在 AB、AC上各取一点这个二、填空题（每小题5分，共25分）6、如图， ABC中,AB=AC=2, BC边上有10个不同的点R,P2,MiAPi2P BPiC( i1,2,M1 M2M 10 =那P10第（6）题图7、如图，设/MPN=20°,A为OM上一点，OA=4J3,D为ON上一点，OD=8J3,C为AM上任一点,B是OD上任意一点，那么折线ABCD的长最小为第（8）题图第（7）题图8

3、、如图，四边形ABCD是直角梯形，且AB=BC=2ABPA=1,PB=2,PC=3那么梯形ABCD的面积=9、若x+y=12,那么Jx24JT29的最小值=。10、已知一个直角三角形的边长都是整数，且周长的数值等于面积的数值，那么这个三角形的三边长分别为。三、解答题（共70分）11、（本题10分）如图ABC三边长分别是BC=17,CA=18,AB=19,过ABC内的点P向4ABC三边分别作垂线PD,PE,PF,且BD+CE+AF=27求BD+BF的长度。12、（本题15分）如图，在ABC中，AB=2,AC=J3,/A=/BCD=45,求BC的长及BDC的面积。13、（本题15分）设a,b,c,

4、d都是正数。求证：,a2 c2d22cdb2 c2a2 b2 d2 2ad14、（本题15分）如图,四边形ABCD 中,/ABC=135 , / BCD=120° , AB=V6 , BC=5-V3 , CD=6,求AD。15、（本题15分）如图，正方形ABCD内一点E,E到A、B、C三点的距离之和的最小值为<2J6,求此正方形的边长。答案一、选择题1. .C2. A3. B4. C5. C解答：1 .MA=MB=MC=5,/ACB=90°知周长是24,贝UAC+BC=14AC2+BC2=102,2ACBC=(AC+BC2-(AC2+BC2)=142-102=4X24

5、一1SABCACBC242O,连 TO,则4 BAMA TOB2.如图，延长MN交BC的延长线于T,设MB的中点为.AM:MB=OB:BTMB2=2AM-BT(1)令DN=1,CT=MD=k,贝UAM=2-k所以BM=.AB2AM24(2k)2BT=2+k代入(1),得4+(2-k)2=2(2-k)(2+k)所以k=3所以AM:AB=2:2=1333 .如图，过O作EFLAD于E,交BC于F;过O作GHI±DC于G,交AB于H设CF=x,FB=y,AH=s,HB=x,所以OG=x,DG=s所以OF2=OB2-BF2=OC2-CF2即42-x2=32-y2所以x2-y2=16-9=7(

6、1)同理有OH2=12-s2=32-t2所以t2-s2=32-12=8又因为OH2+HB2=OB2即y2+t2=9(1) -(2)得(x2+s2)-(y所以OD2=x2+s2=(y2+12)T=9-1=8所以OD=224 .如图，过P作EF，AB于E,交CD于F,贝UPF±CD所以PF=PA=PB=10E为AB中点设PE=x贝UAB=AD=10+x所以AE=-AB=-(10+x)22在RtAPAE中，PA2=PE2+AE2所以102=x2+(10+X)2所以X=6所以正方形ABCD面积=AB2=(10+6)2=2565 .如图，作B关于AC的对称点B，连AB，则N点关于AC的对称点N

7、'在AB'上，这时，B到M到N的最小值等于B-M-N的最小值，等的距离BH',连B与AB'和DC的交点P,贝uSABP=iX20X10=100,ABP2由对称知识，/PAC=/BAC=ZPCA所以PA=PC令PA=x,贝UPC=x,PD=20-x,于B到A B在RtAADP中，PA2=PD2+AD2所以x2=(20-x)2+102所以x=1因为Sabp=_PABH2所以BH,空金也上16PA12.5二、填空题1 .40;2 .12;3 .生354 24. 13;5. 6,8,10或5,12,13解答:1.如图，作ADLBC于D,在RtABD和RtAPjD中，AB

8、2=AD2+BD2APi2AD2RD2所以ABAPi2AD2BD2(AD2PiD)2BD2PiD2(BDPD)(BDPD)PiCPiB所以AP2PiCPiBAB24所以Mi4所以M1M2M10401.如图，作A关于ON的对称点A,D关于OM的对称点D,连结A,B,CD,，则A'B=AB,c'd=cr从而ab+bc+cd=Ab+bc+cD>a'd'因为/A,ON=/MON=/MOD,=20°,所以/AOD=60。又因为Oa,=OA=4a'1'3,OD'=OD=8v1'3,所以OD'=2OA,即OD'a

9、'为直角三角形，且/OA,d'=90°所以a'd'=.OD'2OA'2(83)2(43)212所以，折线ABCD的长的最小值是123.如图，作PMLAB于M,PNLBC于N,设AB=m,PM=x,PN=y,贝Ux2y24(1)x2(my)21(2)(mx)2y29(3)由(2)、(3)分别得，22-2.一xm2myy1(3)222ym2mxx9(4)将（1）代入（4）得m22my30m23；2m将（1）代入（5）得m22mx50_2m5J2m把x,y的表达式分别代入（1)得m410m2170因为m2>0所以m2=5+2，2所以AB

10、=m,522,BC522,AD152,22所以SABCD1(ADBC)AB32242PC, PD,4 .如图，AB=12,AC=2,BD=3,且AB±AC,ABXBD,P在AB上且PA=x,PB=y,连在RtACAP和RtDBP中PCAC2PA2x24,PD.BD2PB2,yL9如图，P点在P0位置时，PC+PD的值最小，为线段CD的长度，而B 3 DCD=,(23)212213所以Jx24斤9的最小值为13。5 .设三边长为a,b,c,其中c是斜边，则有2.22/小abc(1),ababc(3)2(2)代入(1)得a2b2Cabab)2即电(ab4a4b8)024因为abw0所以a

11、b-4a-4b+8=08所以a4(a,b为正整数)b4所以b-4=1,2,4,8,所以b=5,6,8,12;a=12,8,6,5;c=13,10,10,13,所以，三边长为6,8,10或5,12,13三、解答题1 .如图，连结PA,PBPC,设BD=x,CE=y,AF=z,贝UDC=17-x,EA=18-y,FB=19z在RtPBD和RtPFB中，有x2PD2(19z)2同理有：y2PE2(17x)2PD2z2PF2(18y)2PE2PF将以上三式相加，得x2y2z2(17x)2(18 y)2 (19 z)2即17x+18y+19z=487又因为x+y+z=27，所以x=z-1,所以BD+BF

12、=x+(19-z)=z-1+19-z=182 .如图，作CE!AB于E,贝UCE=AE=-2AC22所以BE=AB-AE=2-24.6一222又BCCEBE所以BC=CE2BE2,72661再过D作DF,BC,交CB延长线于F,并设DF=CF=x贝UBF=x-BC=x+1-.6又RtADFBsRtACEB,r.646所以DF:BF=CEBE,即x：(x+1-6)=223 26所以x=211,c八32696所以SbcdBCDF(61)22242.如图，构造一个边长为(a+b)、(c+d)的矩形ABCD,在RtABE中，BEK,AE2AB2d2 2cd所以BE=,a2一(c在RtBCF中，22BF

13、=.BCCF.(ab)2d2,b2 c222在RtDEF中，EF=jDE2DF2在BEF中，BE+EF>BF即,a2c2d22cd.b2c2,a2b2d22ab3.如图， 过B作BH AE 于 F,彳CG, AE 于 G过A作AE/BC交CD于E,则/1=45则RtAABF为等腰直角三角形，BCFG为矩形,又因为AB=v6,BC=5-J3,所以BF=AF='2AB=3,所以CG=BF=3,所以所以AE=AF+FG+GE=AF+BC+GE=6CE=-；-CG=2,EG=CG=1.33DE=CD-EC=6-2=4过D作DMAE延长线于M-120°=60°/MED=180°-/AED=180°-/BCD=180°所以EM=1DE=2,DM=-3DE=23在RtAMD中，AD=JAM2DM2,(62)2(23)22195.如图，以