初中二次函数计算题专项训练及答案

1、初中二次函数计算题专项训练及答案姓名：_班级：_考号：_1、如下图，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为(3,4)，B点在轴上.   （1）求的值及这个二次函数的关系式；（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为，点P的横坐标为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由.2、如图

2、，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，A点坐标为（4，0），B点坐标为（1，0），以AB的中点P为圆心，AB为直径作P与轴的正半轴交于点C。（1）求经过A、B、C三点的抛物线对应的函数表达式。（2）设M为（1）中抛物线的顶点，求直线MC对应的函数表达式。（3）试说明直线MC与P的位置关系，并证明你的结论。3、已知；函数是关于的二次函数，求：    (1)满足条件m的值。    (2)m为何值时，抛物线有最底点?求出这个最底点的坐标，这时为何值时y随的增大而增大?    (3)m为何值时，抛物线有最大值?最大

3、值是多少?这时为何值时，y随的增大而减小4、如图所示，在梯形ABCD中，已知ABCD， ADDB，AD=DC=CB，AB=4以AB所在直线为轴，过D且垂直于AB的直线为轴建立平面直角坐标系（1）求DAB的度数及A、D、C三点的坐标；（2）求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其对称轴L（3）若P是抛物线的对称轴L上的点，那么使PDB为等腰三角形的点P有几个?（不必求点P的坐标，只需说明理由）5、如图，在平面直角坐标系中，抛物线=+经过A（0，4）、B（，0）、 C（，0）三点，且-=5      （1）求、的值；（2）在抛物线上求一点D，使得四边

4、形BDCE是以BC为对角线的菱形；（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由 6、已知：如图，抛物线与轴交于点，点，与直线相交于点，点，直线与轴交于点（1）写出直线的解析式（2）求的面积（3）若点在线段上以每秒1个单位长度的速度从向运动（不与重合），同时，点在射线上以每秒2个单位长度的速度从向运动设运动时间为秒，请写出的面积与的函数关系式，并求出点运动多少时间时，的面积最大，最大面积是多少？7、王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物线，其中（m）是球的飞行高度，（m）是球

5、飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2m（1）请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴（2）请求出球飞行的最大水平距离（3）若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其解析式8、已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表：（1）求该二次函数的关系式；（2）当为何值时，有最小值，最小值是多少？（3）若，两点都在该函数的图象上，试比较与的大小9、一家电脑公司推出一款新型电脑，投放市场以来3个月的利润情况如图所示，该图可以近似看作为抛物线的一部分，请结合图象，解答以下问题：（1）求该抛物线对应的二次函数解析式。（2）该公司在经营此款

6、电脑过程中，第几月的利润最大？最大利润是多少？（3）若照此经营下去，请你结合所学的知识，对公司在此款电脑的经营状况（是否亏损？何时亏损？）作预测分析。10、我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线如图，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为(0，-3)，AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为(1,0)，半圆半径为2(1)    请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；(2)你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗？试试看；(3)开动脑筋想一

7、想，相信你能求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式11、如图，二次函数yax2bxc(a0)与坐标轴交于点A、B、C且OA1，OBOC3 （1）求此二次函数的解析式（2）写出顶点坐标和对称轴方程（3）点M、N在yax2bxc的图像上(点N在点M的右边)，且MN x轴，求以MN为直径且与x轴相切的圆的半径12、如图，在平面直角坐标系中，圆M经过原点O，且与轴、轴分别相交于两点（1）求出直线AB的函数解析式；（2）若有一抛物线的对称轴平行于轴且经过点M，顶点C在M上，开口向下，且经过点B，求此抛物线的函数解析式；（3）设（2）中的抛物线交轴于D、E两点，在抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请求出点P

8、的坐标；若不存在，请说明理由13、如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点（1）求抛物线的解析式及其顶点的坐标；（2）设直线交轴于点在线段的垂直平分线上是否存在点，使得点到直线的距离等于点到原点的距离？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）过点作轴的垂线，交直线于点，将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段总有公共点试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？14、如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OBOC ，tanACO（1）求这个二次函数的表达式（

9、2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度（4）如图，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，APG的面积最大？求出此时P点的坐标和APG的最大面积.15、已知，在RtOAB中，OAB90°，BOA30°，AB2。若以O为坐标原点，OA所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内。将Rt

10、OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处。（1）求点C的坐标；（2）若抛物线（0）经过C、A两点，求此抛物线的解析式；（3）若抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一点，过P作轴的平行线，交抛物线于点M。问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由。注：抛物线（0）的顶点坐标为，对称轴公式为16、已知抛物线yax2bxc与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB<OC）是方程x210x160的两个根，且抛物线的对称轴是直线x2。（1）求A、B、C三

11、点的坐标；（2）求此抛物线的表达式；（3）连接AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EFAC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（4）在（3）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时BCE的形状；若不存在，请说明理由。17、已知抛物线y=ax+bx+c与y轴交于A(0,3)，与x轴分别交于B(1,0)、C(5, 0)两点      (1)求此抛物线的解析式；(2)若一个动点P自OA的中点M出

12、发先到达x轴上的某点(设为点E)，再到达抛物线的对称轴上某点(设为点F)，最后运动到点A，求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长18、已知点A（a，）、B（2a，y）、C（3a，y）都在抛物线上.（1）求抛物线与x轴的交点坐标；（2）当a=1时，求ABC的面积；（3）是否存在含有、y、y，且与a无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由.19、某宾馆有客房间，当每间客房的定价为每天元时，客房会全部住满当每间客房每天的定价每涨元时，就会有间客房空闲如果旅客居住客房，宾馆需对每间客房每天支出元的各种费用(1)请写出该宾馆每天的利润（元）与每间客

13、房涨价（元）之间的函数关系式；(2)设某天的利润为元，元的利润是否为该天的最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请求出最大利润，并指出此时客房定价应为多少元？(3)请回答客房定价在什么范围内宾馆就可获得利润？20、如下图，抛物线与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2。（1）求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；参考答案一、计算题1、解：(1) 点A(3,4)在直线y=x+m上， 4=3+m.     

14、;                          m=1.                        

15、                设所求二次函数的关系式为y=a(x-1)2.              点A(3,4)在二次函数y=a(x-1)2的图象上，        4=a(3-1)2,      

16、60; a=1.        所求二次函数的关系式为y=(x-1)2.    即y=x2-2x+1.                   (2) 设P、E两点的纵坐标分别为yP和yE . PE=h=yP-yE          

17、                    =(x+1)-(x2-2x+1)         =-x2+3x.                     即h=-x2

18、+3x (0x3).               (3) 存在.                          解法1：要使四边形DCEP是平行四边形，必需有PE=DC. 点D在直线y=x+1上, 点D的坐

19、标为(1,2), -x2+3x=2 .即x2-3x+2=0 .                        解之，得  x1=2，x2=1 (不合题意，舍去)    当P点的坐标为(2,3)时，四边形DCEP是平行四边形.  解法2：要使四边形DCEP是平行四边形，必需有BPCE.  设直线CE的函数关系式

20、为y=x+b. 直线CE 经过点C(1,0), 0=1+b, b=-1 . 直线CE的函数关系式为y=x-1 .    得x2-3x+2=0.       解之，得  x1=2，x2=1 (不合题意，舍去)   当P点的坐标为(2,3)时，四边形DCEP是平行四边形.2、解：（1）连结PC，A（4，0），B（1，0）， AB=5P是AB的中点，且是圆P的圆心P=PA=，OP=C（0，2）设经过A、B，C三点的抛物线为，抛物线为即    

21、                                     （2）将配方，得顶点M（，）设直线MC为，则有，解得：直线MC为        

22、60;                              （3）直线MC与圆P相切。证明：设MC与轴相交于点N，在中，令，得，             PCN=90° MC

23、与圆P相切         3、解：(1)由已知得：解得：        (2)当m=2时，抛物线有最低点，最低点的坐标为(0,0)当时，y随的增大而增大。    (3)当m= 3时，抛物线有最大值，最大值为0，当时，y随的增大而减小。4、解：（1） DCAB，AD=DC=CB，  CDB=CBD=DBA，     DAB=CBA， DAB=2DBA，DAB+DBA=90， D

24、AB=60，  DBA=30，AB=4， DC=AD=2，  RtAOD，OA=1，OD=， A（-1，0），D（0， ），C（2， ）  4分（2）根据抛物线和等腰梯形的对称性知，满足条件的抛物线必过点A（1，0），B（3，0），故可设所求为  =（+1）（ -3） 将点D（0， ）的坐标代入上式得， =所求抛物线的解析式为  =    其对称轴L为直线=1（3） PDB为等腰三角形，有以下三种情况：因直线L与DB不平行，DB的垂直平分线与L仅有一个交点P1，P1D=P1B， P1DB为等腰三角形； 

25、因为以D为圆心，DB为半径的圆与直线L有两个交点P2、P3，DB=DP2，DB=DP3， P2DB， P3DB为等腰三角形；与同理，L上也有两个点P4、P5，使得 BD=BP4，BD=BP5  由于以上各点互不重合，所以在直线L上，使PDB为等腰三角形的点P有5个5、解：（1）解法一：抛物线=+经过点A（0，4），                    =4 又由题意可知，、是方程+=0的两个根，

26、+=，  =6由已知得（-）=25又（-）=（+）4              =24   24=25                            &

27、#160;          解得=± 当=时，抛物线与轴的交点在轴的正半轴上，不合题意，舍去= 解法二：、是方程+c=0的两个根， 即方程23+12=0的两个根=，=5，   解得 =±        （以下与解法一相同）    （2）四边形BDCE是以BC为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D必在抛物线的对称轴上，又=4=（+）+    

28、;抛物线的顶点（，）即为所求的点D（3）四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，点B的坐标为（6，0），根据菱形的性质，点P必是直线=-3与抛物线=-4的交点， 当=3时，=×（3）×（3）4=4，   在抛物线上存在一点P（3，4），使得四边形BPOH为菱形   四边形BPOH不能成为正方形，因为如果四边形BPOH为正方形，点P的坐标只能是（3，3），但这一点不在抛物线上6、解：（1）在中，令，又点在上的解析式为（2）由，得  ，（3）过点作于点由直线可得：在中，则，此抛物线开口向下，当时，当点运动2秒时，的面积达到最大，最

29、大为7、解：（1）抛物线开口向下，顶点为，对称轴为（2）令，得：解得：，球飞行的最大水平距离是8m（3）要让球刚好进洞而飞行最大高度不变，则球飞行的最大水平距离为10m抛物线的对称轴为，顶点为设此时对应的抛物线解析式为又点在此抛物线上，  8、解：（1）根据题意，当时，；当时，所以解得所以，该二次函数关系式为（2）因为，所以当时，有最小值，最小值是1（3）因为，两点都在函数的图象上，所以，所以，当，即时，；当，即时，；当，即时，9、解：（1）因为图象过原点，故可设该二次函数的解析式为：，由图知：，解得，（2）当时，利润最大，最大值为（万元）（3）当 ，解得：或（舍）故从第15个月起，

30、公司将出现亏损10、解：(1)解法1：根据题意可得：A(-1,0)，B(3,0)；则设抛物线的解析式为(a0) 又点D(0，-3)在抛物线上，a(0+1)(0-3)=-3，解之得：a=1  y=x2-2x-3自变量范围：-1x3解法2：设抛物线的解析式为(a0)根据题意可知，A(-1,0)，B(3,0)，D(0，-3)三点都在抛物线上，解之得：y=x2-2x-3                   

31、;       自变量范围：-1x3 (2)设经过点C“蛋圆”的切线CE交x轴于点E，连结CM，在RtMOC中，OM=1，CM=2，CMO=60°,OC=在RtMCE中，OC=2，CMO=60°，ME=4 点C、E的坐标分别为(0，)，(-3,0) 切线CE的解析式为 (3)设过点D(0，-3)，“蛋圆”切线的解析式为：y=kx-3(k0) 由题意可知方程组只有一组解即有两个相等实根，k=-2过点D“蛋圆”切线的解析式y=-2x-3。11、解：（1）依题意分别代入解方程组得所求解析式为

32、（2）顶点坐标，对称轴（3）设圆半径为，当在轴下方时，点坐标为把点代入得同理可得另一种情形圆的半径为或12、解：（1）设AB的函数表达式为 直线AB的函数表达式为（2）设抛物线的对称轴与M相交于一点，依题意知这一点就是抛物线的顶点C。又设对称轴与轴相交于点N，在直角三角形AOB中，因为M经过O、A、B三点，且M的直径，半径MA=5，N为AO的中点AN=NO=4，MN=3CN=MC-MN=5-3=2，C点的坐标为（-4，2）设所求的抛物线为则所求抛物线为 （3）令得D、E两点的坐标为D（-6，0）、E（-2，0），所以DE=4又AC=直角三角形的面积假设抛物线上存在点当故满足条件的存在它们是13

33、、解：（1）设抛物线解析式为，把代入得，顶点（2）假设满足条件的点存在，依题意设，由求得直线的解析式为，它与轴的夹角为，设的中垂线交于，则则，点到的距离为又 平方并整理得：存在满足条件的点，的坐标为 （3）由上求得若抛物线向上平移，可设解析式为当时，当时，或 若抛物线向下移，可设解析式为由，有，向上最多可平移72个单位长，向下最多可平移个单位长14、方法一：由已知得：C（0，3），A（1，0）    将A、B、C三点的坐标代入得     解得：       

34、;               所以这个二次函数的表达式为： 方法二：由已知得：C（0，3），A（1，0）设该表达式为：                 将C点的坐标代入得：          

35、60;                所以这个二次函数的表达式为：           （注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分）（2）方法一：存在，F点的坐标为（2，3）            理由：易得D（1，4），所以直线C

36、D的解析式为：E点的坐标为（3，0）                              由A、C、E、F四点的坐标得：AECF2，AECF以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形存在点F，坐标为（2，3）        

37、            方法二：易得D（1，4），所以直线CD的解析式为：E点的坐标为（3，0）                         以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形F点的坐标为（2，3）或（2，3）或（4，3） &#

38、160; 代入抛物线的表达式检验，只有（2，3）符合存在点F，坐标为（2，3）                         （3）如图，当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R（R>0），则N（R+1，R），代入抛物线的表达式，解得 当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r>0），则N（r+1，r），代入抛物线的表达式，解得 

39、60; 圆的半径为或   （4）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，易得G（2，3），直线AG为设P（x，），则Q（x，x1），PQ               当时，APG的面积最大此时P点的坐标为，15、（1）过点C作CH轴，垂足为H在RtOAB中，OAB900，BOA300，AB2OB4，OA由折叠知，COB300，OCOACOH600，OH，CH3C点坐标为（，3）（2）抛物线（0）经过C（，3）、A（，0）两点 &#

40、160;           解得：        此抛物线的解析式为：（3）存在。因为的顶点坐标为（，3）即为点C       MP轴，设垂足为N，PN，因为BOA300，所以ON       P（，）       作PQCD，垂足为Q，MECD，垂足为E把

41、代入得：        M（，），E（，）       同理：Q（，），D（，1）       要使四边形CDPM为等腰梯形，只需CEQD       即，解得：，（舍）       P点坐标为（，）      存在满足条件的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形，此时P点的坐为（，）16、解：（1）解方程x210x160得x12，x28 点B在x轴的正半轴上，点C