几何证明的好方法截长补短

1、几何证明的好方法一一截长补短有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或“差”及其比例关系。这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解。所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已知线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系。所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等。然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系。有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解。截长法：(1)过某一点作长边的垂线(2)在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。补短法(1)延长短边。(2)通过

2、旋转等方式使两短边拼合到一起。几种截长补短解题法类型我们大致可把截长补短分为下面几种类型；类型a±b=c类型a±b=kc类型abc类型c2=a-b对于类型，可采取直接截长或补短，绕后进行证明。或者化为类型证明。对于，可以将a±b与c构建在一个三角形中，然后证明这个三角形为特殊三角形，如等边三角形，等腰直角三角形，或一个角为30°的直角三角形等。对于类型，一般将截长或补短后的a±b与c构建在一个三角形中，与类型相同。实际上是求类型中的k值。对于类型，将c2=a-b化为W=b的形式，然后通过相似三角形的比例关系进ac行证明。在证明相似三角形的过程中

3、，可能会用到截长或补短的方法。例：在正方形ABCD中，DE=DFDGCE,交CA于G,GHAF,交AD方法一（好想不好证）方法二（好证不好想）例题不详解。于P,交CE延长线于H,请问三条粗线DG,GH,CH的数量关系（第2页题目答案见第3、4页）AB(1)正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，EAF=45o求证：EF=DE+BF(1)变形a正方形ABCD中，点E在CD延长线上，点F在BC延长线上，EAF=4S请问现在ERDE、BF又有什么数量关系(1)变形b正方形ABCD中，点E在DC延长线上，点F在CB延长线上，EAF=4S请问现在ERDE、BF又有什么数量关系(1)变形cA正三角形

4、ABC中，E在AB上，F在AC上EDF=450。DB=DQBDC=12。请问现在ERBE、CF又有什么数量关系(1)变形d正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，EAD=150,FAB=3。AD=3求AEF的面积(1)解：(简单思路)延长CD到点G,使得DG=BF5连接AG。由四边形ABCD是正方形得ADG=ABF=90oAD=AB又DG=BF所以ADGABF(SASGAD=FABAG=AF由四边形ABCD是正方形得DAB=90o=DAF+FAB=DAF+GAD=GAF所以GAE=GAF-EAF=90o-45o=45oGAE=FAE=46又AG=AFAE=AE所以EAGEAF(SASEF

5、=GE=GD+DE=BF+DE变形a解：（简单思路）EF=BF-DE在BC上截取BG,使得BG=DF连接AG。由四边形ABCD是正方形得ADE=ABG=90oAD=AB又DE=BG所以ADEABG(SAS)EAD=GABAE=AG由四边形ABCD是正方形得DAB=90o=DAG+GABDAG+EAD=GAE所以GAF=GAE-EAF=90o-45o=45oGAF=EAF=45o又AG=AEAF=AF所以EAFGAF(SASef=gf=bf-bg=bf-de变形b解：（简单思路）EF=DE-BF在DC上截取DG,使得DG=BF5连接AG。由四边形ABCD是正方形得ADG=ABF=90oAD=AB

6、又DG=BF所以ADGABF(SASGAD=FABAG=AF由四边形ABCD是正方形得DAB=90o=DAG+GAB=BAF+GAB=GAF所以GAE=GAF-EAF=90o-45o=45oGAE=FAE=46又AG=AFAE=AE所以EAGEAF(SASEF=EG=ED-GD=DE-BF变形c解：（简单思路）EF=BE+FC延长AC到点G,使得CG=BE连接DG。由ABC是正三角形得ABC=ACB=6C0又DB=DGBDC=12C0所以DBC=DCB=3CoDBE=ABC+DBC=6Co+30o=90oACD=ACB+DCB=6Co+30o=90o所以GCD=180o-ACD=90oDBE=

7、DCG=90o又DB=DGBE=CG所以DBEDCG(SASEDB=GDCDE=DG又DBC=120=EDB+EDC=GDC+EDC=EDG所以GDF=EDG-EDF=120o-60o=60oGDF=EDF=60o又DG=DEDF=DF所以GDFEDF（SASef=gf=cg+fc=be+fc变形d解：(简单思路)延长CD到点G,使得DG=BF5连接AG。过E作EHAG.前面如（1）所证，ADGABF,EAGEAFGAD=FAB=3C0,SEAG=SEAF在RtADG中，GAD=30o,AD=3AGD=6C0,AG=2设EH=x在RtEGH中和RtEHA中AGD=6C0,HAE=4SHG<

8、;3x,AH=xLAG=2=HG+AH=x+x,EH=x=3-3SEAF=SEAG=EHAG2=3-3.（第5页题目答案见第6页）DC(2)正方形ABCD中，对角线AC与BD交于。，点E在BD上，AE平分DAC求证：AC2=AD-EO(2)加强版正方形ABCD中，M在CD上，N在DA延长线上，CM=AN,点E在BD上，NE平分DNM。请问MN、AD、EF有什么数量关系(2)解：(简单思路)过E作EGAD于G因为四边形ABCD是正方形ADC=9C0,BD平分ADC,ACBD所以ADB=ADC2=45o因为AE平分DAC,EOAC,EGAD所以EAO=EAGDGE=AOE=AGE=9C0又AE=A

9、E所以AEOAEG(AAS)所以AG=AO,EO=EG又ADB=45o,DGE=9Cf所以DGE为等腰直角三角形DG=EG=EOAD-DG=AD-EO=AG=AO=AC/(2)加强版解：(简单思路)BCMN/2=AD-EF过E作EGAD于G,作EQAB于Q,过B做BPMN于P按照(2)的解法，可求证，GNEFNE(AAS)DGE为等腰直角三角形AG=AD-DG=AD-EF因为四边形ABCD为正方形，ABC=GAQ=BCM=90oBD平分ABC,BC=BAABD=ABC/2=45o,又EQB=90oEQB为等腰Rt三角形，BEQ=45o因为GAQ=EGA=EQA=90o所以四边形AGEQ为矩形，

10、【例1】PAH=CBM=Cba=cBAPMBDH= /BCo oEQ=AG=AD-EFEQooAb Ab Ab Ac ?c Cp CpBC-ACBCACBCACPb?BPb?ACE3BCACJ3?A?B、2PCPCPCPCPC22PaPbPc?c22型史"B"B吟产BeCDCDCDCDBpBpMNNCMNNCDEDEDE而F2世”ANMNANMNDCDCDC222,OM彳匹W-21AcMD2MC2MD2MC222DC,2AD4MAgMBMAgMBMD2MC2(MDMC)22MAg、2MBMD2MC2o-ABCA60BDCEMAgMBMAgMBMAgMBMAgMBABC.ACBBDCEOBECDBCMABDABBDMN60MNZDBANDMMNBCCEAEBCCE求证：BE+DF=AE【例2】五边形ABCDE中，AB=AE,BC+DE=CD,ZABC+ZAED=180；求证：AD平分ZCDE【例3】如图所7K,ABC是边长为1的正二角形,BDC是顶角为120的等腰三角形，以D为顶点作一，个60的MDN，点M、N分别在AB、AC上）求AMN的周长.板块二、全等与角度【例71如图,在ABC中:BAC60:AD是BAC的平分线，且ACABBD,求ABC的度数.由已知条件可以想到将折线ABD“拉直”成AE,利用角平分线AD可以