几个导数零点问题的例子

1、壹会找点基础练习题1:讨论函数fx)=lex/且(x>0)的零点个数:x解：当&60时，f(x)>2ex>0恒成立，显然无零点：当8>0时.p(x)=4护+旦>0包成立，所以f(x)在(0;+上单调递增，且f(a)=le3/1>0当此才V号且bv那t/(b)v2曲/4=0:由寥点存在定理，结合单调性，f(x)往(0;+7)上有唯一零点。2;讨论函数/(x)=0(l/x/2x)/a;(x>0)的零点个数：解：P(x)=ex(l/x/2x/2x/2)=/e*(x+4x+1)<0包成立(x>0)所以/(x)在0;+7)上单调递感/(x)m

2、ax="0)=1/a:当8>1时.f(x)max=l/avO眦时无零点：当a=1时，/(x)max=1/a=0:结合单调性知/(X)有唯一零点0:当8V1时./(x)max=1/2>0:即兀0)>0;当b>1且b>匕务;f(b)<(1/2b/b)/a<r(l/2b)/a<Q由零点存在定理，结合单调性知：当a61时./(x)在0;+T)上有唯一笨点：3:讨论函数/(x)=e*z的零点个数：X3解：当a60时；兀x)>少0包成立，显然无寥点：当a>0时；护(力=0+绍此处进行不下去了，情况太多，考虑分壅重来)aJE少/=0亍a=

3、xeA=g(x);g(%)-x(x+0)x2所以g(x)住(/7;/2)和(0;+7)上单调递堀(/2;0)上单调递减.4g(x)=g(/2)=Ag(x)科=g(o)=o/)4当0va产(x)在(/2;0)上有一个零点当x2(/7;/2)时？g(/2)二一±气八11当bv/玄且bv/2时，g(b)v"ea3炉=日？(苏神教的)a3由窣点存在定理，结合单调性可知：/(x)A(/r；/2)上有一个辈点当x2(0;+7)时，g(0)=0v日pg(a)=ae3由零点存在定理，结合单调性知：/(x)仁(0;+7)上有一个笨点4即当0vav一时，产(x)有3个零点ii)当a=时,x=/

4、为/(x)的一个零点e2且当x2(/7;/2)t/(/2;0)时都有g(x)vg(/2)=0;此时无零点当x2(0;+7)时,g(0)=0<a;giAa)=aeAA>a由零点存在定理.结合单调性可知：介x)在(0;+7)上有一个零点4即当曰=一叶；丸x)有两个零点e2iii)当a>ax2(/7;0)时;g(x)6g(/2)='va;此时无零点e2e2pP_当x2(0;+7)时,g(0)=0va;g(a)=ae3>a由零点存在定理.结合单调性可知：/(x)在(O;+7)上有一个零点即当a>二时，产(x)有一个零点e2综上所述：日60;无零点：0<a&l

5、t;rA-;三个零点：4a两个零点：4a>一个零点；4?讨论函数f(x)=lnx+-?a的零点个数：x解：尸(x)=±/=0>x=1x护点所以/(X)在(0;1)上单调递感(1;+7)上单调递熠：/U)mm=/(l)=l/a7)当l/a>0即QV1时，f(x)无琴点：ii)当1/自=0即a=l时,/(x)有唯一零点x=l;iii)当1/av0即时，产(力阿=产(1)=1/av011111当x2(0?l)时.令bv手且bvp"3>Px/a>0由寒点存在定理，结合单调性知：/(x)在(0;i)上有一个笨点当x2(l;+7)时/(1)=1/a<

6、0;/(护)=a+e/a/a>Os辈点存在定理，结合单调性知：/(x)在(1;+1)上有一个笨点所以当a>l时，/(x)有两个零点：5:讨论函数于3=夕jax;(x>0)的零点的个数：彳敢当a6。时；r(x)>e*>0恒成立，此时无零点：当8>0时.fxj=a/a=0)x=lna/)当0<a6lsilna60;f(x)在(0;+7)单调递J曾，f(x>/(O)=1此时无零点：ii)当a>lH,lna>O;r(x)A(O;lna)单调递减：(Ina;+7)单调递增dxjmin=f(lna)=a/aIna=a(l/Ina)当1vave时，

7、/(A)nun>0;此时无零点；当8=e时，ax)mm=。；此时有唯一零点X=l;当8>e时，/(A)nun=Aina)<0当x2(O;ln曰)时f(O)=1>0由字点存在定理，结合单调性矩Ax)仁(0;lna)有一个；当x2(liia;+7)时f(a)=ea/a>Q由零点存在定理，结合单调性矩/(x)往(lna;+7)有一个罕点所以a>e时，/(x)有两个零点?X6?讨论函数/(x)=lnx/ax,a6的零点个数：解:护(x)=U白x77)当a60时，代x)>0包成立,/(x)在(0;+7)上单调递增/Aea)=a/ae3=a(l/ea)60:/(l)=/a>0;由字点存在定理，结合单调性知：/(x)在(0;+7)有唯一一个笨点ii)当a>0时，护(x)=0=a所以/(x)在0;-上单调递鲁-；+1上单调递城，f(x)niax=f±=ln±/a?±=/11ftaaaaawa6-:)/liia>1;)/(x)max=/liia/1>0e当8=，时./(X)max=0;/(x)只有一个寥点；当+1时产，=ln，/Xx)在-;+ 1有一个零点a当av，时，产(xln