几何基础课程教学大纲甘肃广播电视大学

1、几何基础课程期末复习指导几何基础课程是中央广播电视大学数学与应用数学专业的一门必修的重要基础课。该课程共54学时，3学分。本课程采用形成性考核和期末考试相结合的方式，满分为100分：期末考试成绩满分为100分，占考核成绩的80；平时作业占考核成绩的20。本课程的试题难易程度分为易、中等、较难三个等级，其大致的比例为40：40：20。考试题型分为三种：填空选择题、计算题和证明题，相应的比例大致为30：40：30。其中选择题为单项选择题，即备选答案中只有一项是正确的。由于本课程本学期使用的是借用教材，内容与大纲及考试要求有一定差距，希望任课教师及学生学习时，以IP课件讲述的内容及网上辅导内容为准。

2、下面逐章给出本课程的复习要求。第1章向量方法考核知识点：1 向量的基本运算：向量的加法、数乘、数量积、向量积；线性相关与线性无关。2 平面几何的向量方法。3 立体几何的向量方法。考核要求：1. 了解向量的基本运算；2. 熟练掌握向量方法解决平面几何问题和立体几何问题。第2章仿射变换考核知识点：仿射平面：仿射平面、图形的仿射性质、仿射坐标系和2维向量、平面仿射。考核要求：1 知道仿射平面的概念；2 了解仿射平面的性质。第3章射影平面考核知识点：1. 无穷远元素：无穷远点、无穷远直线、射影直线的基本性质；2. 平面射影几何的基本特征：中心射影和中心射影的性质。3. 齐次坐标、直线坐标、向量运算。4

3、. 笛沙格定理和平面对偶原则：笛沙格透视定理、平面对偶原则。考核要求：1. 了解无穷远元素，平面射影几何的基本特征；2. 理解笛沙格透视定理、平面对偶原理。第4章射影变换考核知识点：1. 点列和线束；2. 交比：点列的交比、线束的交比；3. 透视对应：透射对应、Pappus定理；4. 一维图形的射影几何；5. 点列的射影对应：射影对应、对合、笛沙格第二定理。考核要求：1 .了解交比的概念，熟练掌握其计算。2 .知道透视对应、点列的射影对应。3 .理解Pappus定理、笛沙格第二定理。第5章二次曲线考核知识点：1 .二次曲线的代数定义和射影定义；2 .二阶曲线的极点、极线；3 .几个定理：Pas

4、cal定理、Brianchon定理；4 .二阶曲线的仿射性质（中心、直径）、渐近线。考核要求：1. 了解二阶曲线和二级曲线的定义。2. 理解Pascal定理、Brianchon定理。3. 了解二次曲线的性质，熟练掌握中心、直径、渐近线的计算。第6章公理化方法与几何体系考核知识点：1 .公理化方法：公理化方法的起源、公理化方法的思想、公理体系的相容性、独立性和完备性、公理的意义；2 .希尔伯特公理体系。考核要求：1 .知道公理化方法、公理化体系的相容性、独立性和完备性；2 .了解希尔伯特公理体系。附：几何基础模拟练习题一、选择与填空题1 .非零向量a与b的内积ab0,那么（）.A.a与b平行B.

5、a与b垂直C.a与b线性相关D.无法判定2 .若向量a与b线性相关，那么（）.A.存在实数k1,k2,使k1ak2b0B.存在不全为0的实数k1,k2,使k1ak2b0C. a与b不平行D. a与b垂直3 .设a与b是两个非零向量，则下列结论正确的是（）.（A）abab（B）aba|b（C）abab（D）abab4 .平行射影保持如下哪种关系和量不变（）。（A）垂直关系（B）平行关系（C）长度（D）角度5平行射影把().A.平行线投影为平行线C.保持线段的长度不变6中心射影下，如下哪种量不变(B.把平行线投影为相交线D.保持图形面积不变)。(A)角度(C)面积7在中心射影下，(A.交比不变.(

6、B)交比(D).长度C.直角角形变成直角8点列之间的射影对应是由(A)三对对应点唯一确定(C)四对对应点唯一确定9仿射变换把正方形变成(A)正方形(C)平行四边形10仿射对应下，哪些量不变。角形)。B.平行线变成平行线.D.平行四边形变成平行四边形.(B)两对对应点唯一确定(D)无限对对应点唯一确定).(B)(D)(A)长度(B)(角度矩形不能确定)(C)单比(D)面积11仿射对应是平行射影的充分必要条件为()。(A)象点与原象点的连线平行(C)不可判定(B)象点与原象点的连线交于一点(D)象点与原象点不平行12.在实轴R上，点A,B,C坐标分别为2,5,6，那点的单比ABC为(A.4C.0B

7、.D.13.线段AB的中点C与AB上哪一点调和共轲)。(A)A(C)AB上无穷远点(B)B(D)C14.在射影平面上，两直线3x12x24x30与x1x20的交点为A.4,4,5B.0,1,C.2,1,2D.3,2,1.15.仿射平面上无穷远直线与有穷远直线().A.有一个交点C.有无数个交点16.在射影平面上，A.角形与圆B.没有交点D.无法判定下面哪些图形可以区别开来B.圆与椭圆).C.四边形与正方形16.A.BGD为直线上的互异的四点,(A)大于零(C)等于零D.等腰(B)(D)角形与直角C、D在A小于零无穷大B之内，则四点交比(角形AB，CD)。17方程u1u22u30表示的点为()。

8、(A)(1，(C)(11，118.直线上A、(A)大于零(C)等于零2)1)B、C、D为互异的四点,(B)(D)(2，1，1，11)2)CD在AB之内，则四点交比(AB(B)小于零(D)CD)。19无穷远点关于二次曲线的极线称为二次曲线的()。(A)半径(B)直径(C)渐近线20.若点P在二次曲线上,22.(A)切线渐近线无穷大若点P在二次曲线(A)切线(C)半径极线上的点与极点(A)共轲(C)可能不共轲(D)那么它的极线一定是(B)切线的(直径(C)半径(D)上,那么它的极线一定是(B)直径(D)渐近线(B)不共轲(D)不可判定23.24.(A) 一条二次曲线(C) 一个点在仿射平面上，若A

9、.椭圆C.抛物线(B) 一条直线(D)两个点次曲线与无穷远直线有B.双曲线D.圆个交点则这条曲线是(25 .欧氏几何与非欧几何的本质区别在于(A.平行公理不同C.结合公理不同26 .三角形内角和等于180度(A)与欧氏平行公设等价(C)与椭圆几何平行公设等价B.长度的算法不同 D.角度的算法不同 )。(B)与罗氏平行公设等价 (D)不可判定、计算题1.已知向量a 1,2,3 , b 2,1,0，计算a, b的模长与夹角。两个不共心的射影对应的线束，对应直线的交点全体是(2 .设通过A(3,2)与B(6,1)两点的直线被直线x3y60截于点P,求单比(ABP).3 .求点P1(3,1),P2(7

10、,5)与P3(6,4),P4(9,7)的交比(P1P2,P3P4)。4 .计算直线x12x20上无穷远点的齐次坐标。5 .计算下列各点的非齐次坐标：A(2,4,1),B(0,4,3),C(0,1,1)。6 .欧氏平面上直线的方程为axbyc0,求出该直线在齐次坐标下的方程.7 .平面上过A1,2,3与B1,2,1的直线，与入轴和x2轴的交点分别为C与D,四点的交比AB,CD.228 .求一次曲线3x1x24x15x2x2x30在点0,1,5处的切线方程.9 .求二次曲线6xfx224xf11x2x30在(1,2,1)点的切线方程。10 .求二次曲线x122x23x；x1x30在(2,J5,1)点的切线方程。211 .求由两个射影线束Xix30 , X2决定的二次曲线的方程。三、证明题1 .证明在两个三角形中，三组对应边的交点共线，则三组对应顶点连线共点.2 .利用向量方法证明三角形三条中线交于一点。3 .利用向量方法证明三角形三条高交于一点。4 .若三角形ABC的二顶点B与C分别在定直线与上移动，三边ABBCCA分别通过共线的定点P,QR,求证顶点A也在一定直线上移动。225 .设(xyi)为一已知点，证明它对二次曲线x21的极线为笃岑1。abab6 .证明点(X