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文档简介
1、2021/6/71复合函数的单调性复合函数的定义:设复合函数的定义:设y=f(u)y=f(u)定义定义域域A A,u=g(x)u=g(x)值域为值域为B B,若,若A BA B,则则y y关于关于x x函数的函数的y=fg(x)y=fg(x)叫做函叫做函数数f f与与g g的复合函数,的复合函数,u u叫中间量叫中间量2021/6/72复合函数的单调性复合函数的单调性由两个函数共同决定;引理1:已知函数y=fg(x),若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数,其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数,那么,原复合函数y=fg(x)在区间(a,b)上是增函数。证明:在区间
2、(a,b)内任取两个数x1,x2,使ax1x2b,因为u=g(x)在区间(a,b)上是增函数,所以g(x1)g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2),即u1u2,且u1,u2 (c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数,所以f(u1)f(u2), 即y=fg(x1) y=fg(x2),故函数y=fg(x)在区间(a,b)上是增函数。2021/6/73复合函数的单调性引理2:已知函数y=fg(x),若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数,其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数,那么,原复合函数y=fg(x)在区间(a,b)上是增函数。证明:在区
3、间(a,b)内任取两个数x1,x2,使ax1x2g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2),即u1u2,且u1,u2 (c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数,所以f(u1)f(u2), 即y=fg(x1) y=fg(x2),故函数y=fg(x)在区间(a,b)上是增函数。2021/6/74复合函数的单调性复合函数的单调性若u=g(x)增函数减函数增函数减函数y=f(u)增函数减函数减函数增函数则y=fg(x)增函数增函数减函数减函数规律:当两个函数的单调性相同时,其复合函数是规律:当两个函数的单调性相同时,其复合函数是增增函数函数;当两个函数的单调性不相同时,其复合函
4、数是;当两个函数的单调性不相同时,其复合函数是减函数减函数。 “同增异减同增异减”2021/6/75复合函数的单调性例1:求下列函数的单调性y=log4(x24x+3) 解 设 y=log4u,u=x24x+3.由 u0, u=x24x+3,解得原复合函数的定义域为x1或x3.当x(,1)时,u=x24x+3为减函数,而y=log4u为增函数,所以(,1)是复合函数的单调减区间;当x(3,)时,u=x24x+3为增函数y=log4u为增函数,所以,(3,+)是复合函数的单调增区间. 2021/6/76解:设u=x24x+3 ,u=x24x+3=(x2)21,x3或x1,(复合函数定义域)x2
5、(u减)解得x1.所以x(,1)时,函数u单调递减.由于y=log4u在定义域内是增函数,所以由引理知:u=(x2)21的单调性与复合函数的单调性一致,所以(,1)是复合函数的单调减区间. u=x24x+3=(x2)21,x3或x1,(复合函数定义域)x2 (u增)解得x3.所以(3,+)是复合函数的单调增区间. 代数解法:代数解法:2021/6/77解: 设 y=logu,u=2xx2.由u0,u=2xx2 解得原复合函数的定义域为0 x2. 由于y=log13u在定义域(0,+)内是减函数,所以,原复合函数的单调性与二次函数 u=2xx2的单调性正好相反.易知u=2x-x2=-(x1)2+
6、1在x1时单调增. 由 0 x2 (复合函数定义域) x1,(u增)解得0 x1,所以(0,1是原复合函数的单调减区间. 又u=(x1)2+1在x1时单调减,由 x2, (复合函数定义域) x1, (u减) 解得0 x2,所以0,1是原复合函数的单调增区间.例2 求下列复合函数的单调区间: y=log(2xx2)2021/6/78例例3:求函数:求函数 的单调性。的单调性。23221)(xxxf解:设 , f(u)和u(x)的定义域均为R因为,u在 上递减,在 上递增。而 在R上是减函数。所以, 在 上是增函数。在 上是减函数。232xxuuuf)21()(23,23uuf)21()(2322
7、1)(xxxf23,232021/6/79例4:求 的单调区间.1223 . 0 xxy解: 设 由uR, u=x22x1, 解得原复合函数的定义域为xR.因为 在定义域R内为减函数,所以由二次函数u=x22x1的单调性易知,u=x22x1=(x1)22在x1时单调减,由 xR, (复合函数定义域) x1, (u减)解得x1.所以(,1是复合函数的单调增区间.同理1,+)是复合函数的单调减区间. uy3 . 0uy3 . 02021/6/710复合函数的单调性小结复合函数y=fg(x)的单调性可按下列步骤判断: (1) 将复合函数分解成两个简单函数:y=f(u)与u=g(x)。其中y=f(u)又称为外层函数, u=g(x)称为内层函数; (2) 确定函数的定义域; (3) 分别确定分解成的两个函数的单调性; (4) 若两个函数在对应的区间上的单调性相同(即都是增函数,或都是减函数),则复合后的函数y=fg(x)为
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