高中数学选修4-4-简单曲线的极坐标方程讲课教案

1、高中数学选修4-4-简单曲线的极坐标方程曲线的极坐标方程一 定义：如果曲线上的点与方程f(,)=0有如下关系（）曲线上任一点的坐标（所有坐标中至少有一个）符合方程f(,)=0 ；（）以方程f(,)=0的所有解为坐标的 点都在曲线上。则曲线的方程是f(,)=0 。 二 求曲线的极坐标方程的步骤：与直角坐标系里的情况一样建系建系 （适当的极坐标系）（适当的极坐标系）设点设点 （设（设M M（ ，) )为要求方程的曲线上任意一点）为要求方程的曲线上任意一点）列等式（构造列等式（构造，利用三角形边角关系的定理列关于，利用三角形边角关系的定理列关于M M的等式）的等式） 将等式坐标化将等式坐标化化简化简

2、 （此方程此方程f(,)=0即为曲线的方程）即为曲线的方程）例1.半径为a的圆的圆心坐标为(a,0)(a0)，极坐标方程：xC(a,0)OMA(,) 2acos 2 ,( , )cos2 cos .(1)(0,), (2 ,0)(1)2OAOAaMOAOMAMRt AMOOMOAMOAaOAa 解：圆经过极点 。设圆与极轴的另一个交点是 ，那么设为圆上除点 ，以外的任意一点，那么。在中即 可以验证，点的坐标满足等式的点都在这个圆上。等式，可以验证，坐标适合满足的条件，另一方面坐标就是圆上任意一点的极所以，等式) 1 (),() 1 (OC(a,0)AxM (,)例例2.已知圆已知圆O的半径为的

3、半径为r，极坐标方程？，极坐标方程？xOrM a简单。上比式合时的极坐标方程在形显然，使极点与圆心重即为圆上任意一点，则设都等于半径何特征就是它们的极径几图），那么圆上各点的为极轴建立坐标系（如出发的一条射线为极点，从解：如果以圆心) 1 (,),(.rrOMMrOO例例3.半径为半径为a的圆的圆心坐标为的圆的圆心坐标为(a, /2)(a0)求圆的极坐标方程。求圆的极坐标方程。OxMA 2asin 例例4.如图，半径为如图，半径为a的圆的圆心坐标为的圆的圆心坐标为 a0)，圆的极坐标方程，圆的极坐标方程？xOMA(,)1,C a1,C a12 cos()a例例5.如图，如图，( 1, 1)，半

4、径为，半径为r圆的极坐标方圆的极坐标方程程？解解:设设P(,)为圆周上任意一点为圆周上任意一点,如下图所示如下图所示,在在OCP中中,CP=r,OC=1,OP=.根据余弦定理根据余弦定理,得得CP2=OC2+OP2-2OCOPcos(-1),即即r2=12+2-21cos(-1).也就是也就是2-21cos(-1)+(12-r2)=0. 即：即： 2+ 1 2 -2 1 cos( - 1)= r2这就是圆在极坐标系中的一般方程这就是圆在极坐标系中的一般方程.(1)中心在极点，半径为中心在极点，半径为a；(2)中心在中心在(a,0)，半径为，半径为a；(3)中心在中心在(a, /2)，半径为，半

5、径为a；(4)中心在中心在(a, 1)，半径为，半径为a；(5)中心在中心在( 1, 1)，半径为，半径为r。 a 2acos 2asin 2+ 1 2 -2 1 cos( - 1)= r2圆的几种极坐标方程圆的几种极坐标方程12cos()a53 cos5 sin已 知 一 个 圆 的 极 坐 标 方 程 是，求 在 直 角 坐 标 系 下 圆 心 坐思 考 ：标 和 半 径 。222225 3cos5sin5 3 cos5 sin5 355 35()()25225 35(,),522xyxyxy解： 两边同乘以 得即化为直角坐标为即所以圆心为半径是你可以用极坐标方程直接来求吗？你可以用极坐标

6、方程直接来求吗？3110(cossin)10cos()226(5,),56解：原式可化为所以圆心为半径为11( ,)(0)2 cos()aaaaO结论：圆心为半径为 ，圆的极坐标方程为 ，此圆过极点 。5 3cos5sin已知一个圆的极坐标方程是 ，求圆心坐标和半径。练习21.以极坐标系中的点以极坐标系中的点(1,1)为圆心，为圆心，1为为半径的圆的方程是半径的圆的方程是( ) 1 12 21 12 24 42 24 42 2 sin.Dcos.Csin.Bcos.A方程是什么？化为直角坐标、曲线的极坐标方程sin424)2(22 yx3cos()4、极坐标方程所表示的曲线是（ ）A、双曲线、

7、双曲线 B、椭圆、椭圆 C、抛物线、抛物线 D、圆、圆D为半径的圆。为圆心，以解：该方程可以化为21)4,21()4cos(41)42()42(02222sin22cos224sinsin4coscos22222yxyxyx即解：410cos()3、圆 的圆心坐标是)0 , 5( 、A)3, 5(、B)3, 5(、C)32, 5(、D（ ）C5(2,)2A、写出圆心在点处且过极点的圆的极坐标方程，并把它化成直角坐标方程。222224cos()4sin24 sin4(2)4xyyxy解： 化为直角坐标系为即2126:2cos ,:2 3 sin20,CC、已知圆圆试判断两圆的位置关系。所以两圆相

8、外切。半径为，圆心半径为圆心坐标方程为解：将两圆都化为直角21)3, 0(1)3(:1)0 , 1 (, 1) 1( :2122221221OOOyxCOyxC思考：思考：在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中过点过点(3,0)且与且与x轴垂直的直线方程为轴垂直的直线方程为 ;过点过点(2,3)且与且与y轴垂直的直线方程为轴垂直的直线方程为 x=3y=3四四 直线的极坐标方程：直线的极坐标方程：例例1：求过极点，倾斜角为求过极点，倾斜角为 的射线的极坐标方程。的射线的极坐标方程。4 oMx4 (0)4 （2）求过极点，倾斜角为）求过极点，倾斜角为 的射线的极坐标方程。的射线的极坐标方程。54 5

9、(0)4 （3）求过极点，倾斜角为）求过极点，倾斜角为 的直线的极坐标方程。的直线的极坐标方程。4 (0)4 5(0)4 和和 和前面的直角坐标系里直线方程的表示形和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？0 为了弥补这个不足，可以考虑允许极径可以为了弥补这个不足，可以考虑允许极径可以取全体实数。则上面的直线的极坐标方程可取全体实数。则上面的直线的极坐标方程可以表示为以表示为()4R 或或5()4R 例例2、求过点求过点A(a,0)(a0)，且垂

10、直于极轴的，且垂直于极轴的直线直线L的极坐标方程。（学生们先自己尝试做）的极坐标方程。（学生们先自己尝试做）解：如图，建立极坐标系，设点解：如图，建立极坐标系，设点( , )M ox AM在在 中有中有 Rt MOA cosOMMOAOA 即即cosa 可以验证，点可以验证，点A的坐标也满足上式。的坐标也满足上式。为直线为直线L上除点上除点A外的任意一点，外的任意一点，连接连接OM交流做题心得归纳解题步骤：求直线的极坐标方程步骤求直线的极坐标方程步骤1、据题意画出草图；、据题意画出草图；2、设点、设点 是直线上任意一点；是直线上任意一点；( , )M 3、连接、连接MO；4、根据几何条件建立关

11、于、根据几何条件建立关于 的方的方程，程， 并化简；并化简；, 5、检验并确认所得的方程即为所求。、检验并确认所得的方程即为所求。 练习练习1求过点求过点A (a, /2)(a0)，且平行于，且平行于极轴的直线极轴的直线L的极坐标方程。的极坐标方程。解：如图，建立极坐标系，解：如图，建立极坐标系，设点设点 为直线为直线L上除点上除点A外的任意一点，连接外的任意一点，连接OM( , )M 在在 中有中有 Rt MOA 即即可以验证，点可以验证，点A的坐标也满足上式。的坐标也满足上式。Mox A sin aIOMI sinAMO=IOAI课堂练习课堂练习2 设点设点A的极坐标为的极坐标为 ，直线，

12、直线 过点过点( ,0)a ll解：如图，建立极坐标系，设点解：如图，建立极坐标系，设点( , )M 为直线为直线 上异于上异于A点的任意一点，连接点的任意一点，连接OM，l在在 中，由正弦定理中，由正弦定理 得得MOA sin()sin()a 即即sin()sina 显然显然A点也满足上方程点也满足上方程A且与极轴所成的角为且与极轴所成的角为 ,求直线求直线 的极坐标方程。的极坐标方程。化简得化简得 oMx A例例3：设点设点P的极坐标为的极坐标为 ，直线，直线 过点过点P且且与极轴所成的角为与极轴所成的角为 ,求直线求直线 的极坐标方程。的极坐标方程。 11(,) lloxMP 1 1 A

13、解：如图，设点解：如图，设点( , )M 的任意一点，连接的任意一点，连接OM，则，则,OMxOM1O P 1xO P 为直线上除点为直线上除点P外外由点由点P的极坐标知的极坐标知设直线设直线L与极轴交于点与极轴交于点A。则在。则在 中中MOP 1,()OMPOPM 由正弦定理得由正弦定理得11sin()sin() 11sin()sin() 显然点显然点P的坐标也是上式的解。的坐标也是上式的解。即即OMPOPOPMOMsinsin练习练习3 求过点求过点P(4, /3)且与极轴夹角为且与极轴夹角为 /6的直线的直线 的的方程。方程。l2)6sin(直线的几种极坐标方程直线的几种极坐标方程1、过极点，倾斜角为、过极点，倾斜角为 2、过点、过点 垂直于极轴垂直于极轴4、过点、过点 ，且与极轴成的角度，且与极轴成的角度3、过点、过点A (a, /